直线平面垂直的判定及其性质.docx
《直线平面垂直的判定及其性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线平面垂直的判定及其性质.docx（34页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
直线平面垂直的判定及其性质
直线、平面垂直的判定及其性质
最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.
知识梳理
1.直线与平面垂直
（1）直线和平面垂直的定义
如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.
（2）判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
l⊥al⊥ba∩b＝O?
la?
αb?
α
⊥α
性质定理
两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
a⊥α
b⊥α?
a∥b
b⊥α
2.直线和平面所成的角
（1）定义：
一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
（2）范围：
0，π2.
3.二面角
（1）定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
（2）二面角的平面角：
在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角
（3）二面角的范围：
[0，π].
4.平面与平面垂直
（1）平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直
（2）判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定
定理
一个平面经过另一个平面的
l⊥α
l?
β?
α⊥β
一条垂线，则这两个平面互相
垂直
性质
定理
如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
α⊥β
α∩β＝a
?
ll⊥al?
β
⊥α
[微点提醒]
1.两个重要结论
（1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
（2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线（证明线线垂直的一个重要方法）.
2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.
基础自测
1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.（）
（2）垂直于同一个平面的两平面平行.（）
（3）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.（）
（4）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.（）
解析
（1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l?
α或l∥α，故
（1）错误.
（2）垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故
（2）错误.
（3）若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故（3）错误.
（4）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故（4）错误.
答案
（1）×
（2）×（3）×（4）×
2.（必修2P66练习改编）已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为（）
A.b?
αB.b∥α
C.b?
α或b∥αD.b与α相交
答案C
3.（必修2P67练习2改编）已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，有下列结论：
①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的是（）
A.①②③B.①②④
C.②③④D.①②③④
解析如图，因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，且PB?
平面PBC，PC?
平面PBC，所以PA⊥平面PBC.又BC?
平面PBC，所以PA⊥BC，同理可得PB⊥AC，PC⊥AB，故①②③正确.
答案A
4.（2019·安徽江南十校联考）已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（）
A.α⊥β且m?
αB.m⊥n且n∥β
C.m∥n且n⊥βD.m⊥n且α∥β
解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.
答案C
5.（2017·全国Ⅲ卷）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）
A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BD
C.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC
解析如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1且BC1?
平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1.又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?
平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.
答案C
6.（2018·安阳二模）已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是（）
A.若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b
B.若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β
C.若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β
D.若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β
解析对于A，若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，故a∥b，故A正确；对于B，若a⊥α，a⊥b，则b?
α或b∥α，∴存在直线m?
α，使得m∥b，又b⊥β，∴m⊥β，∴α⊥β.故B正确；
对于C，若a⊥α，a⊥b，则b?
α或b∥α，又α∥β，所以b?
β或b∥β，故C错误；
对于D，若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确.
答案C
考点一线面垂直的判定与性质
【例1】（2018·全国Ⅱ卷）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.
（1）证明：
PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.
（1）证明因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝23.
连接OB.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12
AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.
（2）解作CH⊥OM，垂足为H.
又由
（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC＝2AC＝2，CM＝3BC＝3，∠ACB＝45
233
规律方法1.证明直线和平面垂直的常用方法有：
（1）判定定理；
（2）垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α?
b⊥α）；（3）面面平行的
性质（a⊥α，α∥β?
a⊥β）；（4）面面垂直的性质（α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?
β?
l⊥α）.
2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
【训练1】（2019·南宁二中、柳州高中联考）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°.
（1）求证：
BC1⊥平面ABC；
（2）E是棱CC1上的一点，若三棱锥E－ABC的体积为123，求线段CE的长.
（1）证明∵AB⊥平面BB1C1C，BC1?
平面BB1C1C，
∴AB⊥BC1，在△CBC1中，BC＝1，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝60°，由余弦定理得BC1＝BC＋CC1－2BC·CC1·cos∠BCC1＝1＋2－2×1×2cos60°＝3，∴BC1＝3，
∴BC＋BC1＝CC1，∴BC⊥BC1，
又AB，
（2）解
BC?
平面ABC，BC∩AB＝B，∴BC1⊥平面ABC.
∵AB⊥平面BB1C1C，∴VE－ABC＝VA－EBC＝13S△BCE·AB＝13S△BCE·1＝123，
∴S△BCE＝
43＝12CE·BC·sin∠BCE＝12CE·23，
∴CE＝1.
考点二面面垂直的判定与性质
【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
（1）PA⊥底面ABCD；
（2）BE∥平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD.
证明
（1）∵平面PAD⊥底面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA?
平面PAD，
∴PA⊥底面ABCD.
（2）∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
∴AB∥DE，且AB＝DE.
∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.
又∵BE?
平面PAD，AD?
平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
（3）∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，
由
（1）知PA⊥底面ABCD，CD?
平面ABCD，
∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD?
平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又PD?
平面PAD，∴CD⊥PD.
∵E和F分别是CD和PC的中点，
∴PD∥EF.
∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，
∴CD⊥平面BEF，又CD?
平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD.
规律方法1.证明平面和平面垂直的方法：
（1）面面垂直的定义；
（2）面面垂直的判定定理.
2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂
线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
【训练2】（2019·泸州模拟）如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是梯形，
AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，BC＝CD＝21AB，侧面SAD⊥底面ABCD.
（1）求证：
平面SBD⊥平面SAD；
（2）若∠SDA＝120°，且三棱锥S－BCD的体积为126，求侧面△SAB的面积.
（1）证明设BC＝a，则CD＝a，AB＝2a，由题意知△BCD是等腰直角三角形，且∠BCD＝90°，
则BD＝2a，∠CBD＝45°，
所以∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝45°，
在△ABD中，
AD＝AB＋DB－2AB·DB·cos45°＝2a，
因为AD2＋BD2＝4a2＝AB2，所以BD⊥AD，
由于平面SAD⊥底面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，BD?
平面ABCD，所以BD⊥平面SAD，
又BD?
平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAD.
（2）解由
（1）可知AD＝SD＝2a，在△SAD中，∠SDA＝120°，SA＝2SDsin60°＝6a.
作SH⊥AD，交AD的延长线于点H，
则SH＝SDsin60°＝26a，
由
（1）知BD⊥平面SAD，因为SH?
平面SAD，所以BD⊥SH.
又AD∩BD＝D，所以SH⊥平面ABCD，
所以SH为三棱锥S－BCD的高，
所以VS－BCD＝3×2a×12×a＝126，
解得a＝1.
由BD⊥平面SAD，SD?
平面SAD，可得BD⊥SD，则SB＝SD＋BD＝2＋2＝2.
又AB＝2，SA＝6，
在等腰三角形SBA中，
边SA上的高为4－4＝210，
则△SAB的面积为12×6×210＝215.
考点三平行与垂直的综合问题多维探究
角度1多面体中平行与垂直关系的证明
【例3－1】（2018·北京卷）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.
所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面PAD.
所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.又PD?
平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.
（3）如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，
1
所以FG∥BC，FG＝2BC.
因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，
1
所以DE∥BC，DE＝2BC.
所以DE∥FG，DE＝FG.
所以四边形DEFG为平行四边形.
所以EF∥DG.
又因为EF?
平面PCD，DG?
平面PCD，所以EF∥平面PCD.
规律方法1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.角度2平行与垂直关系中的探索性问题
【例3－2】如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.
（1）求三棱锥P－ABC的体积；
（2）在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出MC的值；若不存
在，请说明理由
解
（1）由题知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60
由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥P－ABC的高.
又PA＝1，所以三棱锥P－ABC的体积V＝1·S△ABC·PA＝3.
36
（2）在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.
由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.
又BM?
平面MBN，所以AC⊥BM.
1
在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝2，
从而NC＝AC－AN＝2.
PMAN1
由MN∥PA，得MC＝NC＝31.
规律方法1.求条件探索性问题的主要途径：
（1）先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；
（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.
2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索
点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.
角度3空间位置关系与几何体的度量计算
【例3－3】（2019·湖北六市联考）如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，点E，F分别在线段AB，AC上，且EF∥BC，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P－EF－B的大小为60°.
（1）求证：
EF⊥PB；
（2）当点E为线段AB的靠近B点的三等分点时，求四棱锥P－EBCF的侧面积．
（1）证明因为在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，
所以BC⊥AB.
又因为EF∥BC，所以EF⊥AB，翻折后垂直关系没变，仍有EF⊥PE，EF⊥BE，又因为PE∩BE＝E，PE，BE?
平面PBE，
所以EF⊥平面PBE，所以EF⊥PB.
（2）解因为EF⊥PE，EF⊥BE，所以∠PEB是二面角P－EF－B的平面角，即∠PEB＝60°，在△BEP中，PE＝2，BE＝1，由余弦定理得PB＝3，所以PB2＋BE2＝PE2，所以PB⊥BE，所以PB，BC，BE两两垂直，又EF⊥PE，EF⊥BE，所以△PBE，△PBC，△PEF均为直角三角形．
2
由△AEF∽△ABC可得，EF＝3BC＝2，
3
在四边形BCFE中，过点F作BC的垂线，垂足为H，则FC2＝FH2＋HC2＝BE2＋（BC－EF）2＝2，∴FC＝2.
在△PFC中，FC＝2，PC＝BC2＋PB2＝23，PF＝PE2＋EF2＝22，由余弦
定
则sin∠PFC＝4，S△PFC＝2PF·FCsin∠PFC＝2.
所以四棱锥P－EBCF的侧面积为S△PBC＋S△PBE＋S△PEF＋S△PFC＝2＋23＋215.规律方法1.本题的综合性较强，属于翻折问题，其关键是看翻折前后线面位置关系的变化情况．根据翻折的过程，把翻折前后一些线、面位置关系中没有变化和发生变化的量准确找出来，应用到求解中．
2．第
（1）问证明线线垂直，这类问题的一般是通过证明线面垂直来证明．第
（2）
问的解决过程中要清楚二面角P－EF－B的平面角是哪一个，并且利用这个角的大小找出四棱锥中各线、面的位置关系，确定各侧面三角形的形状，即可求四棱锥的侧面积．
【训练3】（2019·长沙模拟）在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC＝3，AB＝2BC＝2，AC⊥FB.
所以△BCD的面积为S＝4.
所以四面体FBCD的体积为VF－BCD＝13S·FC＝123.
（3）解线段AC上存在点M，且点M为AC中点时，有EA∥平面FDM.证明如下：
连接CE，与DF交于点N，取AC的中点M，连接MN.因为四边形CDEF是正方形，所以点N为CE的中点．
所以EA∥MN.因为MN?
平面FDM，EA?
平面FDM，
所以EA∥平面FDM.所以线段AC上存在点M，且M为AC的中点，使得EA∥平面FDM成立．
考点四线面角、二面角的概念及应用
【例4】
（1）（2018·全国Ⅱ卷）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为．
解析由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥
12的高．设圆锥的母线长为l，则由SA⊥SB，△SAB的面积为8，得21l2＝8，得l＝
4.在Rt△ASO中，由题意知∠SAO＝30°，所以SO＝2l＝2，AO＝2l＝23.
故该圆锥的体积V＝3π×AO×SO＝3π×（23）×2＝8π.
33
答案8π
（2）已知正三棱锥P－ABC的侧面与底面所成的二面角为60°，且正三棱锥的体
3
积为24，则其侧面积为解析如图所示，设AB的中点为M，连接CM，PM，由正三棱锥的性质可知PM⊥AB，CM⊥AB，所以∠PMC＝60°，设点P在平面ABC上的射影为H，则H是
CM靠近M的三等分点，设AB＝a，则MH＝63a，在直角三角形PMH中，PH＝12a，
故三棱锥P－ABC的体积为13×43a×21a＝243a＝243，
解得a＝1，则PM＝3，故S△PAB＝2×1×3＝6，
所以三棱锥的侧面积为3S△PAB＝3×3＝3.
62
答案23
规律方法
（1）解决这类问题的关键是根据线面角、二面角的定义找出或做出这个角，利用线面角或二面角的大小计算几何体中的相关的量．
（2）找出或做出线面角和二面角的平面角都要根据其定义，恰当地利用图形中的垂直关系．如
（1）题中圆锥的轴线与底面垂直，
（2）题中PM与AB，CM与AB垂直．【训练4】
（1）（2018·全国Ⅰ卷）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（）
A．8B．62
C．82D．83
解析连接BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以
△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以BC1＝23.又B1C1＝2，所以BB1＝
（23）2－22＝22，故该长方体的体积V＝2×2×22＝82.
答案C
（2）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且AB＝2，若平面A1BD和平面ABCD所成的二面角为45°，则A1A＝．
解析如图所示，连接AC，交BD于O，则AO⊥BD，连接A1O，由于A1B＝A1D，所以A1O⊥BD，则∠A1OA即为二面角的平面角，即∠A1OA＝45°，所以A1A＝AO＝2
AB＝2.
答案2[思维升华]
1.证明线面垂直的方法：
（1）线面垂直的定义：
a与α内任何直线都垂直?
a⊥α；
（3）判定定理2：
a∥b，a⊥α?
b⊥α；
（4）面面垂直的性质：
α⊥β，α∩β＝l，a?
α，a⊥l?
a⊥β；
2.证明面面垂直的方法
（1）利用定义：
两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理：
a?
α，a⊥β?
α⊥β.
3.转化思想：
三种垂直关系之间的转化
[易错防范]
1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.
2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.
3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误
4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定
定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化
直观想象——立体几何中的动态问题
1．直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．
2．立体几何中的动态问题主要包括：
空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等．
3．一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹．
【例1】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N分别是直线CD、AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点（不包括边界），记直线D1P与MN所成角为θ，若θ的最小
π
值为3，则点P的轨迹是（）
A．圆的一部分B．椭圆的一部分
C．抛物线的一部分D．双曲线的一部分
解析把MN平移到平面A1B1C1D1中，直线D1
升级会员 