直线平面垂直的判定及其性质.docx

1、直线平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质最新考纲 1. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线 面垂直的有关性质与判定定理； 2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些 空间图形的垂直关系的简单命题 .知识梳理1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线 l 与平面 内的任意直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直 .(2) 判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的 两条相交直线都垂直，则 该直线与此平面垂直l a l b abO ? l a? b?性质定理两直线垂直于同一个平 面，那么这两条直线平行ab ? ab

2、b2.直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所 成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行 或在平面内，则它们所成的角是 0的角 .(2)范围： 0，2 .3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面 内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角(3)二面角的范围： 0 ，.4.平面与平面垂直(1) 平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2) 判

3、定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的l l ? ? 一条垂线，则这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直， 则在 一个平面内垂直于它们交线 的直线垂直于另一个平面a?l la l? 微点提醒 1. 两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 .(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线 ( 证明 线线垂直的一个重要方法 ).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂 直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面” .基础自测1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打“”或“”

4、)(1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l .( )(2) 垂直于同一个平面的两平面平行 .( )(3)若 两 平 面 垂 直 ， 则 其 中 一 个 平 面 内 的 任 意 一 条直 线 垂 直 于另 一 个 平 面.( )(4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .( )解析 (1) 直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则有 l 或 l 与 斜交 或 l?或l ，故(1) 错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故 (2) 错误 .(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与 另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在

5、另一平面内，故 (3) 错误 .(4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的所有直线，则 ，故 (4) 错 误.答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 2P66练习改编)已知直线 a，b和平面 ，且 ab，a，则b与 的位置关系为 ( )A.b? B.bC.b? 或 b D.b 与 相交答案 C3.( 必修 2P67练习 2改编)已知 P为 ABC所在平面外一点，且 PA，PB，PC两两 垂直，有下列结论： PA BC； PB AC； PCAB； ABBC. 其中正确的是 ( )A. B.C. D.解析 如图，因为 PAPB，PAPC，PBPCP，且 PB?平面 PBC，PC? 平面

6、PBC，所以 PA平面 PBC. 又 BC?平面 PBC，所以 PABC，同理可得 PBAC， PC AB，故正确 .答案 A4.(2019 安徽江南十校联考 )已知 m和 n是两条不同的直线， 和 是两个不 重合的平面，下面给出的条件中一定能推出 m 的是 ( )A. 且 m? B.mn 且 nC.mn 且 n D.mn 且 解析 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知 C 正确.答案 C5.(2017 全国卷 )在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E为棱 CD的中点，则( )A.A1EDC1 B.A1EBDC.A1EBC1 D.A1EAC解析 如图，由题设知， A1B1平面

7、BCC1B1 且 BC1? 平面 BCC1B1 ，从而 A1B1 BC1. 又 B1C BC1，且 A1B1B1CB1，所以 BC1平面 A1B1CD，又 A1E?平面 A1B1CD，所以 A1EBC1.答案 C6.(2018 安阳二模 )已知 a，b表示两条不同的直线， ， 表示两个不同的平 面，下列说法错误的是 ( )A. 若 a，b， ，则 abB.若 a，b，ab，则 C.若 a，ab， ，则 bD.若 a，ab，则 b 或 b 解析 对于 A，若 a ， ，则 a，又 b ，故 a b，故 A 正确； 对于 B，若 a，ab，则 b?或 b，存在直线 m? ，使得 mb， 又 b，m

8、，.故 B正确；对于 C，若a，ab，则 b?或b，又 ，所以 b?或b，故 C错误；对于 D，若 a，ab，则 b 或 b，故 D正确 .答案 C考点一 线面垂直的判定与性质【例 1】 (2018全国卷 ) 如图，在三棱锥 PABC中，ABBC2 2，PAPB PCAC4，O为 AC的中点 .(1)证明： PO平面 ABC；(2)若点 M在棱 BC上，且 MC2MB，求点 C到平面 POM的距离 .(1)证明 因为 AP CPAC4，O为 AC的中点， 所以 OP AC，且 OP 2 3.连接 OB. 因为 ABBC 22AC，所以 ABC为等腰直角三角形，且 OBAC，OB12AC2.由

9、OP2OB2PB2知， OPOB.由 OPOB，OPAC且 OB ACO，知 PO平面 ABC.(2)解 作 CHOM，垂足为 H.又由 (1) 可得 OPCH，所以 CH平面 POM. 故 CH的长为点 C到平面 POM的距离 .由题设可知 OC 2AC2， CM 3BC 3 ， ACB452 3 3规律方法 1. 证明直线和平面垂直的常用方法有：(1) 判定定理； (2) 垂直于平面的传递性 ( ab， a? b)；(3) 面面平行的性质(a，? a) ；(4) 面面垂直的性质 (，a， l a， l ? ? l ).2. 证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性

10、 质 . 因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 .【训练 1】 (2019南宁二中、柳州高中联考 ) 如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，已 知 AB侧面 BB1C1C，ABBC1，BB12， BCC160.(1) 求证： BC1平面 ABC；(2)E 是棱 CC1上的一点，若三棱锥 EABC的体积为 123，求线段 CE的长.(1) 证明 AB平面 BB1C1C， BC1? 平面 BB1C1C，ABBC1， 在CBC1中，BC1，CC1BB12，BCC160， 由余弦定理得 BC1 BC CC12BC CC1cos BCC1 1 2 212cos 60 3， BC1

11、3，BCBC1CC1， BC BC1，又 AB，(2) 解BC? 平面 ABC，BCABB，BC1平面 ABC.AB平面 BB1C1C，VEABCVAEBC13SBCEAB13SBCE1 123，S BCE4312CEBCsinBCE12CE 23，CE1.考点二 面面垂直的判定与性质【例 2】 如图，在四棱锥 PABCD中， ABCD，ABAD，CD2AB，平面 PAD 底面 ABCD，PAAD，E和 F分别是 CD和 PC的中点，求证：(1) PA底面 ABCD；(2) BE平面 PAD；(3)平面 BEF平面 PCD.证明 (1) 平面 PAD底面 ABCD，且 PA垂直于这两个平面的交

12、线 AD，PA? 平面 PAD， PA底面 ABCD.(2) ABCD，CD2AB，E为 CD的中点，ABDE，且 ABDE.四边形 ABED为平行四边形 . BEAD.又 BE?平面 PAD，AD?平面 PAD，BE平面 PAD.(3) ABAD，而且 ABED为平行四边形 . BECD，ADCD，由(1) 知 PA底面 ABCD， CD? 平面 ABCD，PACD，且 PAADA，PA，AD? 平面 PAD， CD平面 PAD，又 PD? 平面 PAD， CDPD.E和 F分别是 CD和 PC的中点，PDEF.CDEF，又 BECD且 EFBEE，CD平面 BEF，又 CD? 平面 PCD

13、，平面 BEF平面 PCD.规律方法 1. 证明平面和平面垂直的方法： (1) 面面垂直的定义； (2) 面面垂直 的判定定理 .2. 已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 .【训练 2】 (2019泸州模拟 ) 如图，在四棱锥 SABCD中，底面 ABCD是梯形，ABDC， ABC90，ADSD，BCCD21AB，侧面 SAD底面 ABCD.(1)求证：平面 SBD平面 SAD；(2) 若 SDA120，且三棱锥 SBCD的体积为 126，求侧面 SAB的面积 .(1) 证明 设 BCa，则 CD a， AB 2a，由

14、题意知 BCD是等腰直角三角形，且 BCD90，则 BD 2a， CBD45，所以 ABD ABCCBD45，在 ABD中，AD AB DB2ABDBcos 45 2a，因为 AD2BD24a2AB2，所以 BDAD，由于平面 SAD底面 ABCD，平面 SAD平面 ABCDAD， BD? 平面 ABCD， 所以 BD平面 SAD，又 BD? 平面 SBD，所以平面 SBD平面 SAD.(2) 解 由(1) 可知 ADSD 2a，在 SAD中， SDA120， SA2SDsin 60 6a.作 SH AD，交 AD的延长线于点 H，则 SH SDsin 60 26a，由(1) 知 BD平面 S

15、AD， 因为 SH? 平面 SAD，所以 BDSH.又 AD BD D，所以 SH平面 ABCD，所以 SH为三棱锥 SBCD的高，所以 VSBCD3 2a12a 126，解得 a1.由 BD平面 SAD， SD? 平面 SAD，可得 BD SD， 则 SB SD BD 2 2 2.又 AB2，SA 6 ，在等腰三角形 SBA中，边 SA上的高为 4 4 210，则 SAB的面积为 12 6 210 215.考点三 平行与垂直的综合问题 多维探究角度 1 多面体中平行与垂直关系的证明【例 31】(2018北京卷 ) 如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD为矩形，平 面 PAD平面 ABC

16、D，PAPD，PAPD，E，F分别为 AD，PB的中点 .所以 AB AD.又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD， 所以 AB平面 PAD.所以 AB PD. 又因为 PAPD，且 PAABA， 所以 PD平面 PAB.又 PD?平面 PCD， 所以平面 PAB平面 PCD.(3)如图，取 PC中点 G，连接 FG， DG. 因为 F，G分别为 PB，PC的中点，1所以 FG BC，FG2BC.因为 ABCD为矩形，且 E 为 AD的中点，1所以 DE BC，DE2BC.所以 DE FG，DEFG.所以四边形 DEFG为平行四边形 .所以 EF DG.又因为 EF?

17、平面 PCD，DG? 平面 PCD， 所以 EF平面 PCD.规律方法 1. 三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面 垂直间的转化 .2. 垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用 . 角度 2 平行与垂直关系中的探索性问题【例 32】 如图，三棱锥 PABC中， PA平面 ABC，PA1，AB1，AC2， BAC60.(1) 求三棱锥 P ABC的体积；(2)在线段 PC上是否存在点 M，使得 ACBM，若存在点 M，求出 MC的值；若不存在，请说明理由解 (1) 由题知 AB1， AC2，BAC60由 PA平面 ABC，可知 PA是三棱锥 PAB

18、C的高 .又 PA1，所以三棱锥 PABC的体积 V 1 SABCPA 3.36(2) 在平面 ABC内，过点 B作 BNAC，垂足为 N. 在平面 PAC内，过点 N作 MNPA 交 PC于点 M，连接 BM.由 PA平面 ABC知 PAAC，所以 MN AC. 由于 BN MNN，故 AC平面 MBN.又 BM? 平面 MBN，所以 AC BM.1在 RtBAN中， AN ABcos BAC2，从而 NC ACAN2.PM AN 1由 MNPA，得 MCNC 31.规律方法 1. 求条件探索性问题的主要途径： (1) 先猜后证，即先观察与尝试给 出条件再证明； (2) 先通过命题成立的必要

19、条件探索出命题成立的条件，再证明 充分性 .2. 涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点 .角度 3 空间位置关系与几何体的度量计算【例 33】 (2019 湖北六市联考 ) 如图，在 RtABC中，ABBC3，点 E，F 分别在线段 AB，AC上，且 EFBC，将 AEF沿 EF折起到 PEF的位置，使得二 面角 PEFB 的大小为 60.(1)求证： EF PB；(2)当点 E 为线段 AB的靠近 B 点的三等分点时，求四棱锥 PEBCF的侧面积(1) 证明 因为在 Rt ABC中， AB BC3，

20、所以 BC AB.又因为 EF BC，所以 EFAB，翻折后垂直关系没变，仍有 EFPE，EFBE，又 因为 PEBEE，PE，BE?平面 PBE，所以 EF平面 PBE，所以 EF PB.(2) 解 因为 EFPE，EFBE，所以 PEB是二面角 PEF B的平面角， 即 PEB60，在 BEP中， PE2，BE 1，由余弦定理得 PB 3， 所以 PB2BE2PE2，所以 PBBE，所以 PB， BC，BE两两垂直， 又 EFPE，EFBE，所以 PBE， PBC，PEF均为直角三角形2由 AEF ABC可得， EF3BC2，3在四边形 BCFE中，过点 F作 BC的垂线，垂足为 H，则

21、FC2FH2HC2BE2(BC EF) 22，FC 2.在 PFC中， FC 2，PC BC2PB22 3，PF PE2 EF2 2 2，由余弦定则 sin PFC 4 ，SPFC 2PFFCsin PFC 2 .所以四棱锥 PEBCF的侧面积为 SPBC SPBESPEF SPFC22 3 215. 规律方法 1. 本题的综合性较强，属于翻折问题，其关键是看翻折前后线面位 置关系的变化情况根据翻折的过程，把翻折前后一些线、面位置关系中没有 变化和发生变化的量准确找出来，应用到求解中2第 (1) 问证明线线垂直，这类问题的一般是通过证明线面垂直来证明第 (2)问的解决过程中要清楚二面角 P E

22、FB 的平面角是哪一个，并且利用这个角的 大小找出四棱锥中各线、面的位置关系，确定各侧面三角形的形状，即可求四 棱锥的侧面积【训练 3】 (2019长沙模拟 ) 在如图所示的几何体中，四边形 CDEF为正方形， 四边形 ABCD为等腰梯形， ABCD，AC 3，AB 2BC2，ACFB.所以BCD的面积为 S 4.所以四面体 FBCD的体积为 VFBCD13SFC 123.(3)解 线段 AC上存在点 M，且点 M为 AC中点时，有 EA平面 FDM. 证明如下：连接 CE，与 DF交于点 N，取 AC的中点 M，连接 MN. 因为四边形 CDEF是正方形，所以点 N为 CE的中点所以 EAM

23、N. 因为 MN? 平面 FDM，EA?平面 FDM，所以 EA平面 FDM.所以线段 AC上存在点 M，且 M为 AC的中点，使得 EA平面 FDM成立考点四 线面角、二面角的概念及应用【例 4】 ( 1)(2018 全国卷 )已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB互相垂直， SA 与圆锥底面所成角为 30.若 SAB的面积为 8，则该圆锥的体积为 解析 由题意画出图形，如图，设 AC是底面圆 O的直径，连接 SO，则 SO是圆锥12 的高设圆锥的母线长为 l ，则由 SASB， SAB的面积为 8，得21l 28，得 l 4. 在 Rt ASO中，由题意知 SAO30，所以 SO2l 2，

24、AO 2 l 2 3.故该圆锥的体积 V3 AO SO3 (2 3) 28.33答案 8(2) 已知正三棱锥 PABC的侧面与底面所成的二面角为 60，且正三棱锥的体3积为 24 ，则其侧面积为 解析 如图所示，设 AB 的中点为 M，连接 CM，PM，由正三棱锥的性质可知 PMAB，CMAB，所以 PMC60，设点 P 在平面 ABC上的射影为 H，则 H 是CM靠近 M的三等分点，设 ABa，则 MH 63a，在直角三角形 PMH中，PH12a，故三棱锥 PABC的体积为 13 43a 21a 243a 243，解得 a 1，则 PM 3 ，故 SPAB21 3 6 ，所以三棱锥的侧面积为

25、 3S PAB3 3 3.62答案 23规律方法 (1) 解决这类问题的关键是根据线面角、二面角的定义找出或做出这 个角，利用线面角或二面角的大小计算几何体中的相关的量(2) 找出或做出线面角和二面角的平面角都要根据其定义，恰当地利用图形中的 垂直关系如 (1) 题中圆锥的轴线与底面垂直， (2) 题中 PM与 AB，CM与AB垂直 【训练 4】 (1)(2018 全国卷 )在长方体 ABCDA1B1C1D1中， ABBC2，AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30，则该长方体的体积为 ( )A8 B6 2C8 2 D8 3解析 连接 BC1 ，因为 AB平面 BB1C1C，所以 AC1

26、B30， AB BC1，所以ABC1 为直角三角形又 AB2，所以 BC1 2 3. 又 B1C1 2，所以 BB1( 2 3)2222 2，故该长方体的体积 V222 28 2.答案 C(2) 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD是正方形，且 AB2，若平面 A1BD和 平面 ABCD所成的二面角为 45，则 A1A 解析 如图所示，连接 AC，交 BD于 O，则 AOBD，连接 A1O，由于 A1B A1D，所 以 A1OBD，则 A1OA即为二面角的平面角，即 A1OA45，所以 A1A AO 2AB 2.答案 2 思维升华 1.证明线面垂直的方法： (1) 线面垂直的

27、定义： a 与 内任何直线都垂直 ? a ；(3)判定定理 2：ab，a? b；(4)面面垂直的性质： ， l ，a? ，al ? a ；2.证明面面垂直的方法(1) 利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2) 判定定理： a?，a? .3.转化思想：三种垂直关系之间的转化 易错防范 1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件 .2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视 .3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直

28、和线面垂直的相互转化直观想象立体几何中的动态问题1直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形 式特别是图形，理解和解决数学问题的素养2立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动 角的范围等3一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥 曲线的定义推断出动点的轨迹【例 1】 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M、 N分别是直线 CD、AB上的动点，点 P是A1C1D内的动点（不包括边界 ），记直线 D1P与 MN所成角为 ，若 的最小值为 3 ，则点 P 的轨迹是 （ ）A圆的一部分 B椭圆的一部分C抛物线的一部分 D双曲线的一部分解析 把 MN平移到平面 A1B1C1D1中，直线 D1