完整版初三中考数学复习提纲知识点.docx
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完整版初三中考数学复习提纲知识点
初三数学应知应会的知识点
一元二次方程
1.一元二次方程的一般形式:
a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、b、c；其中a、b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2.一元二次方程的解法:
一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.
3.一元二次方程根的判别式:
当ax2+bx+c=0（a≠0）时，Δ=b2-4ac叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：
Δ＞0<=>有两个不等的实根；Δ=0<=>有两个相等的实根；
Δ＜0<=>无实根；Δ≥0<=>有两个实根（等或不等）.
4.一元二次方程的根系关系：
当ax2+bx+c=0（a≠0）时，如Δ≥0，有下列公式：
※5．当ax2+bx+c=0（a≠0）时，有以下等价命题：
（以下等价关系要求会用公式
x1+x2
=-b
a
，x1x2=a
；Δ=b2-4ac分析，不要求背记）
（1）两根互为相反数?
（2）两根互为倒数?
（3）只有一个零根?
-b=0且Δ≥0?
b=0且Δ≥0；
a
c=1且Δ≥0?
a=c且Δ≥0；
a
c=0且-b≠0?
c=0且b≠0；
aa
（4）有两个零根?
c=0且-b=0?
c=0且b=0；
a
（5）至少有一个零根?
a
c=0?
c=0；
a
（6）两根异号?
c＜0?
a、c异号；
a
（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值?
c＜0且-b＞0?
a、c异号且a、b异号；
aa
（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值?
c＜0且-b＜0?
a、c异号且a、b同号；
aa
（9）有两个正根?
c＞0，-b＞0且Δ≥0?
a、c同号，a、b异号且Δ≥0；
（10）有两个负根?
aa
c＞0，-b＜0且Δ≥0?
a、c同号，a、b同号且Δ≥0.
aa
6.求根法因式分解二次三项式公式：
注意：
当Δ＜0时，二次三项式在实数范围内不能分解.
⎛
ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）或ax2+bx+c=açx-
-
b+
b2-4ac⎫⎛
x-
-
b-
b2-4ac⎫
.
7.求一元二次方程的公式：
ç⎪ç
⎭⎝
2a⎪
x2-（x1+x2）x+x1x2=0.注意：
所求出方程的系数应化为整数.
8.平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x）：
（1）第一年为a,第二年为a（1+x）,第三年为a（1+x）2.
（2）常利用以下相等关系列方程：
第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和.
9.分式方程的解法：
10.二元二次方程组的解法：
※11．几个常见转化：
（2）
x-x
=2⇒⎧⎪1.分类为x1-x2=2和x1-x2=-2；
⎩
12⎨⎪2.
两边平方为（x1-x2）2=4
（3）
x1=4
x3
x216
（或1=）
x29
⎧
（1）
⇒⎨
分类为
x1=4
x23
和x1
x2
=-4
3；
22⎪
（2）
两边平方一般不用,因为增加次数.
解三角形
1.三角函数的定义：
在RtΔABC中,如∠C=90°，那么
sinA=对=a；cosA=对=b；B
斜c斜c
a
tanA=对=a；cotA=邻=b.
邻b对a
CbA
2.余角三角函数关系------“正余互化公式”如∠A+∠B=90°,那么：
sinA=cosB；cosA=sinB；tanA=cotB；cotA=tanB.
3.同角三角函数关系：
sin2A+cos2A=1；tanA·cotA=1.※tanA=sinA
cosA
※cotA=cosA
sinA
4.函数的增减性：
在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦，余切函数随角的增大，函数值反而减小.
5.
特殊角的三角函数值：
如图：
这是两个特殊的直角三角形，通过设k,它可以推出特殊角的直角三角函数值，要熟练记忆它们.
A
※6.函数值的取值范围：
在0°
60°
90°时.
K2K
正弦函数值范围：
0弦函数值范围:
1C
30°
3K0；B
1；余
正切函数值范围A：
0无穷大；余切函数值范围：
无穷大0.
7.解直角三角形：
对于直角2K三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有
一个是边.
※8.关于直角三角形的两个公式：
Rt△ABC中:
若∠C=90°,
9.坡度：
i=1:
m=h/l=tanα；坡角:
α.
45°
CKB
10.方位角：
11.仰角与俯角：
±±Æ«Î÷30±±
Ñö½Ç
12.解斜三角形：
已知“SAÇS¦´”¹Ïß“SSS”“ASA”“ËA®AÆS”½
¸©½Ç¶«
条件的任意三角形都可以经过“斜化直”求出其余
的边和角.
※13．解符合“SSA”条件的三角形：
若三Ä角ÏÆ形«¶存«7在且符合“SSA”条件，则可分三种情况：
（1）∠A≥90°，
图形唯一可解；
（2）∠A＜90°，∠A的对边大于或等于它的已知邻边，图形唯一可解；（3）
∠A＜90°，∠A的对边小于它的已知邻边，图形分两类可解.
14．解三角形的基本思路：
（1）“斜化直，一般化特殊”加辅助线的依据；
（2）合理设“辅助元k”，并利用k进一步转化是分析三角形问题的常用方法转化思想；
（3）三角函数的定义，几何定理，公式，相似形等都存在着大量的相等关系，利用其列方程（或方程组）是解决数学问题的常用方法方程思想.
函数及其图象
一函数基本概念
1.函数定义：
设在某个变化过程中，有两个变量x,、y,如对x的每一个值,y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量.
※2.相同函数三个条件：
（1）自变量范围相同；
（2）函数值范围相同；（3）相同的自变量值所对应的函数值也相同.
※3.函数的确定：
对于y=kx2（k≠0）,如x是自变量，这个函数是二次函数；如x2是自变量，这个函数是一次函数中的正比例函数.
4.平面直角坐标系：
y
（1）平面上点的坐标是一对有序实数，表示为:
M（x,y），x叫横坐标，y叫纵坐标-；-+++x
（2）一点，两轴，（四半轴），四象限，象限中点的坐标符号规律如右图：
__o+-
（3）x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0;即“x轴上的点纵为0，y轴上的点横为0”；反之也成立；
（4）象限角平分线上点M（x,y）的坐标特征:
x=y<=>M在一三象限角平分线上；x=-y<=>M在二四象限角平分线上.
（5）对称两点M（x1,y1）,N（x2,y2）的坐标特征：
关于y轴对称的两点<=>横相反，纵相同；
关于x轴对称的两点<=>纵相反，横相同；关于原点对称的两点<=>横、纵都相反.
5.坐标系中常用的距离几个公式“点求距”
（1）如图，轴上两点M、N之间的距离：
MN=|x-x|=x-x
y
Px
MoN
Q.
（2）如图，象限上的点M（x,y）:
12大
小,PQ=|y1-y2|=y大-y小
y
到y轴距离：
dy=|x|；到x轴距离:
dx=|y|；
x
到原点的距离：
r=.
（3）如图，轴上的点M（0,y）、N（x,0）到原点的距离：
MO=|y|；NO=|x|.
※（4）如图，平面上任意两点M（x2,y2）、N（x2,y2）之间的距离：
※6.几个直线方程:
y轴<=>直线x=0；x轴<=>直线y=0；与y轴平行，距离为∣a∣的直线<=>直线x=a；与x轴平行，距离为∣b∣的直线<=>直线y=b.
7.函数的图象：
M（x,y）y
xC=ay
b
o
xN（x,y）
y=b
x
（1）把自变量x的一个值作为点的横坐标，把与它对应的函数值y作为点的纵坐标，组成一对有序实数对，在平面坐标系中找出点的位置，这样取得的所有的点组成的图形叫函数的图象；
（2）图象上的点都适合函数解析式，适合函数解析式的点都在函数图象上；由此可得“图象上的点就能代入”
-------重要代入！
（3）坐标平面上，横轴叫自变量轴，纵轴叫函数轴；利用已知的图象，可由自变量值查出函数值，也可由函数值查出自变量值；可由自变量取值范围查出对应函数值取值范围，也可由函数值取值范围查出对应自变量取值范围；
（4）函数的图象由左至右如果是上坡，那么y随x增大而增大（叫递增函数）；函数的图象由左至右如果是下坡，那么y随x增大而减小（叫递减函数）.
8.自变量取值范围与函数取值范围：
一次函数
1.一次函数的一般形式：
y=kx+b.（k≠0）
2.关于一次函数的几个概念：
y=kx+b（k≠0）的图象是
¼´È¡µã
¶Ô½Ç0
一条直线，所以也叫直线y=kx+b,图象必过y轴上的点（0,b）和x轴上的点（-b/k,0）；注意：
如图，这两个点也是画直线图象时应取的两个点.b叫直线y=kx+b（k≠0）在y轴上的截距，b的本质是直线与y轴交点的纵坐标，知道截距即知道解析式中b的值.
3.y=kx+b（k≠0）中，k，b符号与图象位置的关系：
4.两直线平行：
两直线平行<=>k1=k2※两直线垂直<=>k1k2=-1.
5.直线的平移：
若m＞0,n＞0,那么一次函数y=kx+b图象向上平移m个单位长度得y=kx+b+m；向下平移n
个单位长度得y=kx+b-n（直线平移时，k值不变）.
6.函数习题的四个基本功：
（1）式求点：
已知某直线的具体解析式，设y=0，可求出直线与x轴的交点坐标（x0,0）；设x=0，可求出直线与y轴的交点坐标（0,y0）；已知两条直线的具体解析式，可通过列二元一次方程组求出两直线的交点坐标（x0,y0）；交点坐标的本质是一个方程组的公共解；
（2）点求式：
已知一次函数图象上的两个点，可设这个函数为y=kx+b，然后代入这两个点的坐标，得到关于k、b的两个方程，通过解方程组求出k、b，从而求出解析式待定系数法；
（3）距求点：
已知点M（x0,y0）到x轴,y轴的距离和所在象限，可求出点M的坐标；已知坐标轴上的点P到原点的距离和所在半轴，可求出点P的坐标；
（4）点求距：
函数题经常和几何相结合，利用点的坐标与它所在的象限或半轴特征可求有关线段的长，从而使得函数问题几何化.
正比例函数
1.
正比例函数的一般形式：
y=kx（k≠0）；属于一次函数的特殊情况；（即b=0的一次函数）它的图象是一条过原点的直线；也叫直线y=kx.
2.画正比例函数的图象：
正比例函数y=kx（k≠0）的图象必过（0,0）点和（1，k）点，注意：
如图，这两个点也是画正比例函数图象时应取的两个点，即列表如右：
3.y=kx（k≠0）中，k的符号与图象位置的关系：
4.求正比例函数解析式：
已知正比例函数图象上的一点，可设这个正比例函数为y=kx,把已知点的坐标代入后,可求k,从而求出具体的函数解析式待定系数法.
二次函数
1.二次函数的一般形式：
y=ax2+bx+c.（a≠0）
2.关于二次函数的几个概念：
二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c叫二次函数在y轴上的截距,即二次函数图象必过（0，c）点.
3.y=ax2（a≠0）的特性：
当y=ax2+bx+c（a≠0）中的b=0且c=0时二次函数为y=ax2（a≠0）;这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：
（1）图象关于y轴对称；
（2）顶点（0，0）；（3）y=ax2（a≠0）可以经过补0看做二次函数的一般式，顶点式和双根式，即：
y=ax2+0x+0,y=a（x-0）2+0,y=a（x-0）（x-0）.
4.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象及几个重要点的公式：
5.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，a、b、c与Δ的符号与图象的关系：
（1）a＞0<=>抛物线开口向上；a＜0<=>抛物线开口向下；
（2）c＞0<=>抛物线从原点上方通过；c=0<=>抛物线从原点通过；
c＜0<=>抛物线从原点下方通过；
（3）a,b异号<=>对称轴在y轴的右侧；a,b同号<=>对称轴在y轴的左侧；b=0<=>对称轴是y轴；
（4）Δ＞0<=>抛物线与x轴有两个交点；
Δ=0<=>抛物线与x轴有一个交点（即相切）；Δ＜0<=>抛物线与x轴无交点.
6.求二次函数的解析式：
已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值,从而求出解析式待定系数法.
8.二次函数的顶点式：
y=a（x-h）2+k（a≠0）；由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h,k），对称轴方程x=h和函数的最值y最值=k.
9.求二次函数的解析式：
已知二次函数的顶点坐标（x0,y0）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a（x
-x0）2+y0，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式.（注意：
习题无特殊说明，最后结果要求化为一般式）
10.二次函数图象的平行移动：
二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移动；y=a（x-h）2+k
的图象平行移动时，改变的是h,k的值,a值不变，具体规律如下：
k值增大<=>图象向上平移；k值减小<=>图象向下平移；
（x-h）值增大<=>图象向左平移；（x-h）值减小<=>图象向右平移.
11.二次函数的双根式：
（即交点式）y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）；由双根式直接可得二次函数图象与x轴的交点（x1,0）,（x2,0）.
12.求二次函数的解析式：
已知二次函数图象与x轴的交点坐标（x1,0），（x2,0）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a（x-x1）（x-x2），再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式.（注意：
习题最后结果要求化为一般式）
13.二次函数图象的对称性：
已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.
反比例函数
1.反比例函数的一般形式：
y=k
x
或y=kx-1（k≠0）;图象叫双曲线.
※2.关于反比例函数图象的性质：
反比例函数y=kx-1中自变量x不能取0,故函数图象与y轴无交点;函数值y也不会是0,故图象与x轴也不相交.
3.反比例函数中K的符号与图象所在象限的关系：
4.求反比例函数的解析式：
已知反比例函数图象上的一点，即可设解析式y=kx-1,代入这一点可求k值，从而求出解析式.
函数综合题
1.数学思想在函数问题中的应用：
数学思想经常在函数问题中得到体现，例如：
分析函数习题常常需要先估画符合题意的图象,利用数形结合降低难度；而点求式、式求点、点求距、距求点等基本操作则是转化思想在函数中应用；当函数问题与几何问题相结合时，方程思想则成为解决问题的基本思路；函数习题中，当图象与图形不唯一、点位置不唯一、可知条件不唯一时，往往造成函数问题的分类.
2.数学方法在函数问题中的应用：
建立坐标系、建立新函数、函数问题几何化、挖掘隐含条件、分类讨论、相等关系找方程、不等关系找不等式、等量代换、配方、换元、待定系数法、等各种数学方法在函数中经常得到应用，了解这些数学方法是十分必要的.
3.函数与方程的关系：
正比例函数y=kx（k≠0）、一次函数y=kx+b（k≠0）都可以看作二元一次方程，而二次
函数y=ax2+bx+c（a≠0）可以看作二元二次方程，反比例函数y=-k
x
（k≠0）可以看作分式方程，这些函数
图象之间的交点，就是把它们联立为方程组时的公共解.
4.二次函数与一元二次方程的关系：
（1）如二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的Δ＞0时，图象与x轴相交，函数值y=0，此时,二次函数转化为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），这个方程的两个根x1、x2是二次函数y=ax2+bx+c与x轴相交两点的横坐标，交点坐标为（x1,0）（x2,0）；
（2）当研究二次函数的图象与x轴相交时的有关问题时，应立即把函数转化为它所对应的一元二次方程，此时，一元二次方程的求根公式，Δ值，根系关系等都可用于这个二次函数.
（3）如二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的Δ＞0时，图象与x轴相交于两点A（x1,0）,B（x2,0）有重要关系式:
OA=|x1|,OB=|x2|,若需要去掉绝对值符号,则必须据题意做进一步判断；同样,图象与y轴交点C（0,c）,也有关系式:
OC=|c|.
5.二元二次方程组解的判断：
一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，若消去一个未知数，则转化为一元二次方程，此时的Δ值将决定原方程组解的情况，即：
Δ＞0<=>方程组有两个解；Δ=0<=>方程组有一个解；Δ＜0<=>方程组无实解.
初三数学应知应会的知识点（圆）
几何A级概念：
（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）
1.
垂径定理及推论:
如图：
有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”.
C
几何表达式举例：
∵CD过圆心
∵CD⊥AB
ƽ·ÖÓÅ
O¹ýÔ²ÐÄ
E´¹Ö±ÓÚÏÒ
ABƽ·ÖÏÒ
Dƽ·ÖÁÓ
∴AE=BE
AC=BCAD=BD
2.平行线夹弧定理：
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
ABO
几何表达式举例：
3.“角、弦、弧、距”定理：
（同圆或等圆中）
CD
“等角对等弦”；“等弦对等角”；B
“等角对等弧”；“等弧对等角”；E
“等弧对等弦”；“等弦对等（优，劣）弧”；A
“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.
几何表达式举例：
（1）∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD
（2）∵AB=CD
∴∠AOB=∠COD
4.圆周角定理及推论:
CF
D
几何表达式举例：
（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；
（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；（如图）
（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；
（4）“直径对直角”“直角对直径”；（如图）
（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图）
（1）
∵∠ACB=1∠AOB
2
∴……………
（2）∵AB是直径
∴∠ACB=90°
（3）∵∠ACB=90°
（1）C
（2）（3）（4）
C
∴AB是直径
（4）∵CD=AD=BD
O
BAOB
∴ΔABC是RtΔ
A
5.
圆内接四边形性质定理:
圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.BC
6.切线的判定与性质定理:
A
几何表达式举例：
∵ABCD是圆内接四边形
∴∠CDE=∠ABC
∠C+∠A=180°
几何表达式举例：
如图：
有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理.
（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；
DE
OÊǰ뾶
B
´¹Ö±
C
ÊÇÇÐÏß
A
（1）
∵OC是半径
∵OC⊥AB
∴AB是切线
（2）∵OC是半径
∵AB是切线
※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
7.切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线，A
它们的切线长相等；圆心和这一
点的连线平分两条切线的夹角.POB
8.弦切角定理及其推论:
（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；
（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；
（如图）
（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）
（1）
（2）D
∴OC⊥AB
（3）……………
几何表达式举例：
∵PA、PB是切线
∴PA=PB
∵PO过圆心
∴∠APO=∠BPO几何表达式举例：
（1）∵BD是切线，BC是弦
∴∠CBD=∠CAB
（2）
∵ED，BC是切线
∴∠CBA=∠DEF
9.相交弦定理及其推论:
EF
（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；
（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条
几何表达式举例：
（1）∵PA·PB=PC·PD
∴………
线段长的比例中项.
BC
（1）
（2）
（2）
∵AB是直径
∵PC⊥AB
∴PC2=PA·PB
10.切割线定理及其推论:
（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；
（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
（1）
（2）
11.关于两圆的性质定理:
（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；
（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.
（1）
（2）
几何表达式举例：
（1）∵PC是切线，
PB是割线
∴PC2=PA·PB
（2）∵PB、PD是割线
∴PA·PB=PC·PD
几何表达式举例：
（1）∵O1，O2是圆心
∴O1O2垂直平分AB
（2）∵⊙1、⊙2相切
∴O1、A、O2三点一
线
12．正多边形的有关计算:
公式举例：
360︒
（1）?
n=；
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