三角函数图像的综合运用doc.docx

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三角函数图像的综合运用doc

三角函数的图象与性质

一、基础知识：

1.三角函数的图象和性质

函数

y-sinx

y-cosx

y=tanx

图象

:

y

1

o

-1

y

L

1

1

）\

:

卫X

：

2

1

1

a

■

a

定义域

R

R

TT

{a|a*Att+~,AeZ}

值域

[-1J]

[-U]

R

周期性

2tt

2tt

TT

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调性

TTTT

在[2kTT・-,2kTr+-]（keZ）上増，

TT3

在[2kTT+-,2kn+nT]（keZ）上减

在[2kTT-TT,2kTr]（keZ上增,在[2kTT,2kTT+TT]（kwZ）上减

在定义域的每一个区间（kr--,k

TT

H+-）（keZ）rt是増函数

TITT

2.正弦函数y-sinx当x=2kTr+~（keZ）,取最大值1;当x=2kTi-~（keZ）时，取最小值・1.

3余弦函数y=cosx当x=2kTT（keZ）H寸，取最大值1;当%=2kTT+TT（keZ）H寸，取最小值-1.

TT

5.y-siny-cosx的对称轴分别为x=kn+~（keZ）S]_x=kTr（keZ）,y二tanx没有对称轴.

二、综合运用：

1、五点法绘y=As\r\（ajx+或y=Acos（a）x+

依据:

以y=4sin+卩）为例；sin0=0,sin^=1,sinn=0,sin乎二-1,sin2ti=0

在实际画图中，要分别令处+爭二0、p仇乎、211,再求出x与y的值，确定对应的五点坐标。

例：

“五点法”绘出y=2sin（3x+^）图像。

例：

“五点法”绘出y=V2sin（2x+f）的图像，其中xe[0,珂图像。

注：

正切函数的图像采用三点两线的办法。

2、解有关三角函数的方程。

思路：

在一个周期内，利用原始函数的图像求出对应的X的值，然后使用整体替代的思路，解出方程中的X.

例1:

sinx=--例2:

sin（3x—例3:

2cos（3x—-）=1

2626

例4:

|sin（2x+f）|二乎例5|cos（2x-^）|=y

注：

在解有关三解函数的非常规方程时，需要使用数形结合的思想，用图像交点的个数来代表方程的解的个数。

例：

分析方程x2-cosx=0的解的个数。

（2个）

例：

分析方程x-sinx=0的解的个数。

（1个）提示：

利用三角函数线的性质，0时，sina

【答题模板】解⑴原方程可化为sin（0+p

【例】设关于谢方程"cos&+sin0+a=0在区间（0,2tt）内有相异的两个实根a0.⑴求实数m的取值范围；

（2）求a+郦值.

TT

作出函数y-sin（x+y）（用（0,2tt））的图象］

（2）由图知：

当-y[3

例2：

sin（3x—|

例4:

sin（3x—中）

att

）时，直线y=・7与三角函数y=sin（x+~）的图象交于C、D

7a+07tt7tt

两点，它们中点的横坐标为R，/―-=—>：

^+/3=—.

6263

厂a、/3att

当-2

6T+0TTTTTT7

由对称性知,~—=7、：

・a+B=；・综上所述，a+0二匚或a+0二

26333

3、解有关三角函数的不等式。

思路：

在原始函数的一个周期内，标出有效范围（符合不等式条件的图像），再利用整体替代法求出x的范围。

例1:

sinx>-

2

例3:

sinxV乎注：

在求解三角函数的不等式中，若有效图像为2段，可以通过平移的办法把2段图像合并为一段，而端点的

横坐标遵循右移+211左移-2口的法则。

例：

求函数y=、2+log§x+寸tan劇定义域

x>0,

则s

tanx>0,

所以函数的定义域为

TT

^0

TT

ATT^A

TT

例:

函数・2cosx+lg（2sinx・1）的定义域为—

TT5tt、

—+2Att,—+2kn|_36丿

4、求有关三角函数的值域。

1“纯”三角函数：

求出有效角度的取值范围，并画出有效图像，确定最髙点和最低点，它们的纵坐标分别为函数的最大值和最小值。

例：

y=sinx,其中舟＜%＜孚分析值域。

例：

y二sin（2x-»），其中£SxS弓分析值域。

例：

y二cos（2x-中），其中0SxS中，分析值域。

2结合一次函数、二次函数、分式函数求值域。

例:

y=2sin（x一^）+1,0

例:

y二asinx+b,值域为[•扌,2],求a和b.{a=|,b=|或a二一右囲}

例:

函数F（x）=-2asin（2x+-）+2a+b,当xe[0,-]时,F（x）€[-5,1],求a和b。

{a=2,b=-5或a=-2,b=1}

62

a=12・6@\2a+b=-5

解得厂；若亦0,则厂,解得

b=・23+12^/3〔・冷3日+0二1

若莎0,则

1

（2）令t=sinx+cosx,贝Usinacos

-11r二尹1尸・1

a=・12+6卡Z?

=19-12^3

111

当COS时，J4nax=4,当COSX=・?

时，J4nin=・§,故函数值域为[-~,4]

.•.当t-・1时，J4nin=~1j当t-时，J4nax=~+、^・.•.函数值域为[-1>2+•

例：

求y=

3

（sinx）2+2sinx

的值域。

5、有关三角函数的奇偎性研究:

依据：

sin（-x）=-sinx,cos（-x）=cosx，故y=sinx为奇函数,y=cosx为偶函数。

推广：

y二Asinoox为奇函数，y二Acosoox为偶函数。

注：

（1）若f（x）=Asin（a）x+（p）或g（x）=Acos（cox+

例：

已知f（x）=2cos（3x-

（2）若f（x）=Asin（a）x+（p）或g（x）二Acos（o）x+

例:

f（x）=2sin（3x+（p）为偶函数，则

例:

f（x）=log（1-sinx）+log（14-sinx）的奇偶性。

［偶函数］

例:

f（x）=ax5+bsinx+7,若f（3）=8,则f（・3）=_6

6、三角函数图像平移、伸缩及对称与翻折：

2tt

—、图像概念：

当函数y=Asin（6cix+cp）（4>0,力>0），廉（・g,+8）表示一个振动量时，则A叫做振幅，T-——

U）

1

叫做周期、仁二叫做频率，S+0UI做相位，0UI做初相・二.图象变换基本法则：

函数p二/4sin（ex+°）（4>0,3>0）的图象可由函数y=sinx的图象作如下变换得到：

（1）相位变换［左右平移］:

y-siny-sin（x+（p）,把y=sinx图象上所有的点向左（°>0）或向右（陽0）平行移动⑷个单位•

（2）周期变换［伸缩变化］:

y=sin（x+y-sin（6zZ¥+,把y=sin（x+cp）图象上各点的横坐标伸长（0<少<1）或

1

缩短（0>1）到原来的一倍（纵坐标不变）.

（3）振幅变换：

y-sin（ex+/4sin（ex+°）,把二sin（ex+/）图象上各点的纵坐标伸长（4>1）或缩短（0

1<1）到原来的/I倍（横坐标不变）.

例：

说明y二2sin（3x+》+5是由y二sinx的图像经过怎样的变化得到的。

例：

说明y=sin（2x-=）的图像经过怎样的变化可以得到y=cos（2x+=）的图像？

66

（\

TT

例:

.（2011-池州月考）要得到函数y二sin2x・：

的图象，可以把函数y二sin2x的图象（B）

\4丿

TTTTTTTT

A.向左平移匚个单位B•向右平移匚个单位C.向左平移；个单位D•向右平移；个单位

8844

/\

TT

例：

.已知函数f（x）=sincox+—（xeR,u）>0）的最小正周期为tt.将y二f（x）的图象向左平移|（p|个单位长度，所得\4丿

TT3TTTTTT

图象关于y轴对称，贝ij（p的一个值是（D）A-B—C-D-

TT

例：

已知函数f（x）=sin（a）x+—）（xgR,u）>0）的最小正周期为tt,为了得到函数g（x）=coscox的图象，只要将y

=f（x）的图象（A）

TTTTTTTT

A.向左平移尹单位长度B.向右平移§个单位长度C.向左平暂个单位长度D.向右平右个单位长度

（3X图像的对称与翻折：

x相同时，y互为相反数，故两函数图像关于X轴对称

①y二sinx«:

>y=-sinx

沿x轴上下翻转

y=sinx=>y=-sinx

、沿x轴上下翻转沿x轴上下翻转

结论:

y=Asincoxy二一Asinax或者y=Acoscox=>y=-Acoscox

Y相同时，X互为相反数，故两函数图像关于Y轴对称

@y=sinx«:

》y=sin（-x）

沿Y轴左右翻转

y=sinx=>y=sin（-x）

、沿Y轴左右翻转

结论:

y=Asin（oox4-cp）ny=Asin（—cox+（p）或者

沿Y轴左右翻转

y=Acos（3x+

X轴上方图像不变，下方翻至上方

3y二sinx：

=>y=|sinx|

、x轴上方图像不变，下方翻至上方

结论：

y=Asin（cox+cp）;>y=|Asin（oox4-cp）|

Y轴右方图像不变，左方图像由右方图像对称得到

4y二sinx》y=sin|x|

注：

含绝对值符号的三角函数，可以用分段函数的意义进行分析。

7、三角函数单调性的研究：

思路：

以y二sinx和y二cosx的单调区间为依据，使用整体替代的思路，求出x的取值范围，在实际应用中，要注意负号和绝对值符号对单调区间的影响。

主要体现在负号可能使得单调区间的相互调换，而绝对值符号影响了原始函数和周期。

（、

例：

求函数的y=sin2x・;的单调区间。

\4丿

（、

例：

求函数y=2sin的单调区间.

（4丿

/、

例：

求函数y=sin~-2x,zg[-n,it]的单调递减区间；

2丿

/、

TTX

例：

求函数y=3tan-的周期及单调区间•

（64丿

例：

求函数y=|sin2x・十|单调递增区间。

\4丿

8、三角函数对称轴的求法及应用：

依据：

y二sinx图像中对称轴为：

x=kn+;y=cosx图像中对称轴为：

x=kn

（\

TT

例：

求y--2sin2x-—的对称轴。

V4丿

注：

（1）相邻对称轴之间的距离为半个周期；

（2）无论是正弦函数还是余弦函数，当图像上的点的横坐标取到对称轴数字时，所对应的正弦值或者余弦值为±1

例：

已知y=sin（2x4-o）的一条对称轴为x=£,且0VtrV兀，贝b二（£））

9、三角函数对称中心的求法及应用：

依据:

y=sinx图像中对称中心为:

（kir,0）;y=cosx图像中对称中心为（kir+夕,0）:

y=tanx的对称中心为（竽,0）

例：

求出y=3sin（2x-7）对称中心：

6

注：

^）y=Asm（cox+（p）和尹=/cos（如+卩）对称屮心实际上就函数图像与X轴的交点。

（2）y=/sin（亦+°）+B和y=/cos（亦+°）+B对称屮心发生了上下移动。

（3）对于y=A^x\（cox+（p）的对称屮心不一定在函数图像上。

（4）相邻对称中心Z间的距离为半个周期。

例：

已知y=3cos（3x-

10.有关三角函数周期的求法：

依据：

（1）函数y=/cos（6tzr+。

）、/sin（ex+g）的最小正周期为誅，=/tan（ex+°）的最

（2）正弦、余弦函数加绝对值符号，周期变为原来的一半，正切函数的周期不变。

（3）

利用对称轴、对称中心、以及图像的最高点、最低点之间的距离求周期。

例：

已知函数Xx）=/sin（3：

+0）⑺>0,血>0,|奶弓，xWR）的图象的一部分如图所示.求函数./（X）的解析式.

确定尹二力sin（ov+p）+b的解析式的步骤：

⑴求/,

（2）求o确定函数的2兀

周期T,则=⑶求参数（p是本题的关键，由特殊点求（P时，

M-mM+tn

（4）求B。

•确定函数的最大值M和最小值m,则A二二一，b=L-r~

?

7T?

7T7T

7T71

1.・・T0|Wf/⑴二2sin

解由图象可知/=2,卩二&「.e二〒二〒二才•方法一由图象过点（1,2）,

得2sin（jX1+J二

例：

已知函数Ax）=Asin（cox+（p）（A>0,^>0,|^|<|）的图象与y轴的交点为（0,1）,它在尹轴右侧的第一个最高点和

2

y

■

'、、Xo+2r/

Xo

第一个最低点的处标分别为（兀0.2）和（xo+2兀，—2）.

⑴求/⑴的解析式及兀o的值；⑵若锐角&满足cos求./（4〃）的值.

T2］

解⑴由题意可得：

力二2迈二2兀，即才=4兀,:

.co=2,

（\\兀兀1TI

j[x）=2sin@+卩丿，人0）=2sin（p=\.由妙|＜㊁,：

.（p=:

.f{x）=2sin（p;+石）

2k

•••兀0=亍

/Uo）=2sin（jx0+?

）二2,所以*x（）+?

二2hr+号，二4hr+乎（圧Z）,又x（）是最小的正数，

（2）/（4〃）二2sin（2O+3二V^sin20+cos20,•.•〃€（（）,另，cos〃二g,二sin,

774a/2厂4a/274石・7

/.cos26=2cos2/?

・1二sin20=2sin0cos3=~~r=\3X—~.

注：

若题Fl条件没有规定A>0,则先求◎再求s最后利用特殊点［非与X轴的交点］的坐标求A。

例:

/（x）=/sin（ex+0）（e>0,0<（p

图像中过点（夕，0）（TT,0）（|n,0）

选择题（每小题5分，共25分）

1

1

TT

6.设点P是函数/（a）=sinex的图象。

的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是：

8

则彳月的最小正周期是.

X

7.函数心）=2sin［对于任意的xeR,都有纺）S心）珂⑥，则凶・刈的最小值为.

/\

TT

8.（2010-江苏）定义在区间0，了上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P,过点P作P0

I2）

丄X轴于点只，直线PR与y=sinx的图象交于点Q,则线段的长为.

三、解答题（共38分）

2cos4x-3cos2x+1

9•（42分）（2011-厦门月考）已知函数心）二

cos2x

求它的定义域和值域,并判断它的奇偶性.

.（2011-黄山月考）已知函数y=sinx的定义域为旧，切，值域为［・1，-］,则力•日的值不可能是

TT3TT

5.（201「三明模拟）若函数y=sinx+心）在［・-,匸］上单调递增，则函数心）可以是（）

TT

10.（12分）（2010-福建改编）已知函数心）=2sin（^x+-）+a（aJ>0）与亦=2cos（2x+°）+1的图象的对称轴

完全相同.

（1）求函数/（a）的最小正周期；

（2）求函数彳力的单调递减区间；（3）当壮［0，才］时，彳力的最小值为・2,求日的值.

课后练习区

2tt4tt

1.A［画出函数y=sinx的草图（图略），分析知"m的取值范围为［丁，丁］,故选A.］

2.B［由题意知，函数的最小正周期为TT,则e二1,

Z盯、

故/（a）=\/3sin（jjx-coscux=2sinx-~的单调增区间满足：

7I6丿

TTTTTTTT2lT

2/jt・—

26233

3・A4・D

即

[因为y-sincosx

TT3TT

--

是・cosX.］

6.£解析依题意得［二夕，所以最小正周期7■二£

2482

XTT

7.4tt解析由心审心）臥砂知，/（罚、心分别为心）的最小值和最大值，而当-=2Arr・亍，即x=8k

XTT

tt-2tt（艇Z）时，心）取最小值；^~=2kn+~,即x=8/tt+2tt伙wZ）时，/（a）取最大值，

；.|%1-的最小值为4tt.

2

解得sin•所

2（n

8-解析线段只必的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx,xe0~

2

以线段RR的长为；.

TTATTTT

9.解由题意知cos2a*0,得2%#Att+-,解得+-（能Z）・

Att叮

.••心）的定义域为{AjA^R,且+-,艇Z}.

二心）是偶函数•

2cos4%-3cos2x+1（2cos2x-1）（cos2x-1）

又彳a）二==cos2%・1=-sin2%,

cos2x2cos2x•1

kntt1

显然・sin2A^[・1,0],又\+~,AsZ，二-sin2A*・-

.•.原函数的值域为-仁产冷或冷＜庐。

］

•••二者的周期相同，即3=2,心）二

2sin（2x+-）

2tt

+的最小正周期T=~=tt.

10・解⑴•.•心）和久力的对称轴完全相同，

TTTT3lTTT2TT

⑵当2Arr+~<2x+~<2krr+—,keZ,即kn+~

tt2tt

故函数心）的单调递减区间为［如•+：

如■+=］（艇Z）

63

TTTT7TTTTTT

2%+~e[-,—],/.2sin（2-+-）+a=・2,:

.a=-1.

一、选择题（每小题5分，共25分）

）

C.y=sin僅-D

单位，得到的图彖对应的解析式是（

A・1

A.y=sm2X

（2011-银川调研）如图所示的是某函数图象的一部分，则此函数是（）

B.y=sin@-劭

D.y=

2.

3.

A.

4.

A.y=sin（^x+^J为得到函数尸cos（2x+多的图彖，只需将函数y=sin2x的图象（）

向左平移誇个单位长度B.向右平移譬个单位长度C.向左平移罟个单位长度D.

血＞0）的图象如图所示，则/（0）等于

B.p=sin（2x-号

.kA.._.

已知函数/（x）=Jcos（cox+（p）（A>0,

ci

7T

1

D-2

向右平移〒个单位长度

21

A.—3B.~2

（2011-烟台月考）若函数y=Asin（cox+（p）+m（A＞0.莎0）的最人值为4,最小值

为0,最小正周期为刖直线兀=扌是其图象的一条对称轴，则它的解析式是（）

5.

A.

尹=4sin（4x+咼B.尹=2sin（2x+f）

+2C.尹=2sin（4x+3+2D・p=2sin（4x+?

）+。

71

y

1

ZTX-

3m

T

2ttx

D.y=cos（2x-号

1.将函数y=sm（x~^的图象上所有点的横世标伸长到原来的2倍（纵处标不变），再将所得的图象向左平移扌个

6.己知函数y=sm（cox+（p）（w＞0,—TiWgi）的图象如图所示，则（p=.

7T

7.（2010•潍坊五校联考）函数,/（x）=cos2x的图象向左平移扌个单位长度后

得到g（x）的图彖，则gg=.

8.（2010-福建）已知两数./（x）=3sin（0x—号⑹＞0）和g（x）=2cos（2x+p）+1的图象的

对称轴完全相同.若xe［o,刖，则./（x）的取值范|韦|是

三、解答题供38分）

9.（12分）已知函数/（x）=/sin（ex+e）（QO,少>0,|创<号，x^R）的图象的一部分女口下图所示.

（1）求函数.心）的解析式；

2

（2）当xe［-6,—§］时，求函数夕=心）+.心+2）的最人值与最小值及相应的x的值.

10.已知函数f{x）=As\x\（cdx+（p）（A>0,0

11.（2010-山东）己知函数/（x）=sin（7r—c（zx）・coscox+cos'ex（e>0）的最小正周期为兀，

（1）求e的值；

（2）

将函数y=J（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的*,纵坐标不变，得到函数p=g（x）的图象，求函数）一g⑴在区间0,佥上的最小值.

9.解

••・当*=■■彳，即x二・|时，y=./（%）+./（x+2）取得最大值&；当余=・兀，即x二・4时，尹=/（x）+/（x+2）取得最小值-2y［2.

10.解根据金）是R上的偶函数,图象过点M（0,2）,可得貳・x