立方差公式.docx
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立方差公式
立方差公式
立方差公式:
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
推导过程
1.证明如下:
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
所以a3-b3=(a-b)3-(-3a2b+3ab2)
=(a-b)(a-b)2+3ab(a-b)
=(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2)
2.(因式分解思想)证明如下:
a3-b3=a3-a2b-b3+a2b
=a2(a-b)+b(a2-b2)
=a2(a-b)+b(a+b)(a-b)
=(a-b)[a2+b(a+b)]
=(a-b)(a2+ab+b2)
立方和公式及其推广:
(1)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
(2)an+bn=(a+b)[a(n-1)-a(n-2)×b+...+(-1)^(r-1)×a^(n-r)×b^(r-1)+...+b^(n-1)](n为大于零的奇数,r为中括号内项的序数)(后面括号中各项式的幂之和都为n-1)。
an表示a的n次方。
字母表达
(k+1)3 -k3 =(k3 +3k2 +3k+1)-k3 =3k2 +3k+1
利用上面这个式子有:
23 -13 =3×12 +3×1+1
33 -23 =3×22 +3×2+1
43 -33 =3×32 +3×3 +1
53 -43 =3×42 +3×4+1
……
(n+1)3 -n3 =3×n2 +3n+1
把上述各等式左右分别相加得到:
(n+1)3-13 =3×(12+22+32+……+n2)+3×(1+2+3+……+n)+n×1
n3 +3n2 +3n+1-1=3×(12+22+32+……+n2)+3×n(n+1)/2+n
(1)
其中12 +22 +32 +……+n2 =n(n+1)(2n+1)/6
代入
(1)式,整理後得13 +23 +33 +……+n3=[n(n+1)/2]2
迭代法二
取公式:
系数可由杨辉三角形来确定
那么就得出:
…………⑴
…………⑵
…………⑶
…………
…………(n).
于是⑴+⑵+⑶+…+(n)有
左边=
右边=
把以上这已经证得的三个公式代入,
得
移项后得
等号右侧合并同类项后得
即
推导完毕。
排列组合法
设数列{
}=n(n+1)(n+2),其n项和为
,且设
=
+
+
+…+
,则
=1×(1+1)×(1+2)+2×(2+1)×(2+2)+…+n(n+1)(n+2)
=
=
=
+3
+2
=
+3×
+2×
=
+
+n(n+1)
又
=1×(1+1)×(1+2)+2×(2+1)×(2+2)+…+n(n+1)(n+2)
=
+
+
+…+
=
(
+
+
+…+
)
=
(
+
+
+…+
)
=
(
+
+
+…+
)
=
(
+
+…+
)
=…
=
=6
∴
由此得
=
。
[1-2]
因式分解证明
3几何验证编辑
图象化立方和公式
透过绘立体的图像,也可验证立方和。
根据右图,设两个立方,总和为:
把两个立方体对角贴在一起,根据虚线,可间接得到:
要得到
,可使用
的空白位置。
该空白位置可分割为3个部分:
·
·
·
把三个部分加在一起,便得:
=
=
之后,把
减去它,便得:
公式发现两个数项皆有一个公因子,把它抽出,并得:
=
可透过完全平方公式,得到:
=
=
这样便可证明: