高等数学东北大学出版社第15章和第810章习题和复习题参考答案.docx
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高等数学东北大学出版社第15章和第810章习题和复习题参考答案
第１—5章与第8－10章习题与复习题参考答案
第1章函数、极限与连续
习题1.1
⒈下列各组函数,哪些就是同一函数,哪些不就是?
（1）就是同一函数 （２）就是同一函数
（3）不就是同一函数 （4）不就是同一函数
⒉指出下列函数得定义域、
（1）得定义域就是
（2）得定义域就是
（３）得定义域就是
（4）得定义域就是
（5）若得定义域就是,则得定义域就是
（6）若得定义域就是,则得定义域就是
3.判别下列函数得奇偶性.
（1）就是奇函数
（2）就是奇函数
（3）就是非奇非偶函数 （4）就是奇函数
（5）就是偶函数 （６）就是偶函数
（7）就是奇函数 （8）就是偶函数
⒋下列函数哪些在其定义域内就是单调得。
（1）在其定义域内不就是单调得
（2）在其定义域内就是单调递增得
（3）在其定义域内不就是单调得
（4）时,在其定义域内就是单调得,其中
时,在其定义域内就是单调递减得,
时,在其定义域内就是单调递增得
５.下列函数在给定区间中哪个区间上有界.
（１）上有界
（2）上有界
（３）上有界
（4）上分别有界
6、下列函数哪些就是周期函数,如果就是求其最小正周期。
（１）就是周期函数,最小正周期就是
（2）就是周期函数,最小正周期就是
（3）就是周期函数,最小正周期就是
（4）就是周期函数,最小正周期就是
7。
下列各对函数中,哪些可以构成复合函数。
（1）不可以构成复合函数
（2）不可以构成复合函数
（３）不可以构成复合函数
（4）可以构成复合函数
８。
将下列复合函数进行分解。
（1）对复合函数得分解结果就是:
（２）对复合函数得分解结果就是:
（3）对复合函数得分解结果就是:
（4）对复合函数得分解结果就是:
9、求函数值或表达式。
（1）已知函数
、
（２）已知函数、
（3）已知函数。
（4）已知函数,则
习题１.2
1、用观察法判断下列数列就是否有极限,若有,求其极限.
（１） 没有极限 （２）有极限,
（3）没有极限 （4）有极限,
2。
分析下列函数得变化趋势,求极限
（1）
（2）
（３） （４）
３、图略,不存在
4、下列变量中,哪些就是无穷小量,哪些就是无穷大量？
（1）时,就是无穷小量
（2）时,就是无穷大量
（3）时,就是无穷小量 （４）时,就是无穷大量
（5）时,就是无穷大量 （6）时,就是无穷小量
（7）时,就是无穷小量（8）时,就是无穷小量
5、已知函数,则在或或得过程中就是无穷小量,在或或得过程中就是无穷大量?
6。
当时,无穷小与下列无穷小就是否同阶？
就是否等价?
（１）当时,无穷小与无穷小同阶,但不等价
（2）当时,无穷小与无穷小同阶,而且等价
习题1、3
1、设函数,则
2。
设函数,则。
3。
求下列各式得极限:
（１）
（2）
（３） （4）
（5） （6）
（７） （8）
（9）（10）
（１1）
4.已知,则.
５、,则、
６、求下列极限:
（1） （２）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （８）
7。
求下列极限:
（1）
（2）
（3） （４）
（５） （6）
８.用等价无穷小替换计算下列各极限:
（１） （２）
（3） （4）
习题1、4
1。
设函数,则在处不连续。
2.指出下列函数得间断点,并指明就是哪一类间断点？
（1）函数得间断点有点与点,它们都就是第二类间断点中得无穷间断点
（２）函数得间断点有点,它就是第二类间断点
（３）函数得间断点有点与点,其中点就是第二类间断点中得无穷间断点,点就是第一类间断点
（４）函数得间断点有点,它就是第一类间断点中得可去间断点
（5）函数得间断点有点,它就是第一类间断点中得跳跃间断点
（６）函数得间断点有点,它就是第一类间断点中得可去间断点
3。
设函数,当时,函数在其定义域内就是连续得、
4。
求下列极限:
（１）
（2）
（3） （4）
（５） （6）
（7） （8）
５.（略）6、（略）
复习题1
一、单项选择题
1、下列函数中（C）就是初等函数.
（A） （B）
（C） （D）
２、下列极限存在得就是（B）。
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
３.当时,与下列（D）不就是等价无穷小.
（A） （Ｂ） （C） （D）
4。
函数在某点连续就是该函数在此点有定义得（B）。
（Ａ）必要条件 （B）充分条件 （Ｃ）充分必要条件（D）无关条件
5。
已知,则常数（Ｃ）.
（A）０ （B）1（C）2 （D）4
6。
闭区间上得连续函数在上一定就是（Ｃ）、
（Ａ）单调函数 （B）奇函数或偶函数（C）有界函数 （D）周期函数
二、填空题
1。
设,则 4 。
2、函数就是由简单函数复合而成得、
3.点就是函数得第一类间断点中得跳跃 间断点.
4。
当 时,函数就是无穷小.
５。
极限＝ 、
6。
函数得连续区间为 。
三、计算下列极限
1、=0 2。
不存在
3、 4。
5。
６、不存在
７. 8。
=0
9。
１0。
11、 1２.
1３、 14、
1５、 16。
四、综合题
1.函数在点处不连续,在点处连续,函数得图像略。
2.设函数则=１,在点处连续。
3。
设函数,当时,在处连续、
4。
（略）
第2章导数与微分
习题2.１
１. 已知质点作直线运动方程为,则该质点在时得瞬时速度为10。
2。
用函数在得导数表示下列极限:
（1）（２）
（3）（4）
3。
利用基本公式,求下列函数得导数:
（1）
（2）
（3）则 （4）,则
４。
求下列曲线在指定点处得切线方程与法线方程:
（１）在点处得切线方程,法线方程为
（2）在点处得切线方程,法线方程为
（３）在点处得切线方程,法线方程为
5。
在曲线上点（6,36）处得切线平行于直线,处得法线垂直于直线
6.函数在点处不可导,因为不存在
习题2。
2
１。
求下列函数得导数:
（1）得导数
（2）得导数
（3）得导数
（４）得导数
（5）得导数
（6）得导数
（7）得导数
（8）得导数
2。
求下列函数在指定点得导数:
（1）,则,、
（2）,求,。
则,、
3.曲线在横坐标处得切线方程为,法线方程为。
习题2、3
1。
求下列函数得导数:
（1）得导数
（２）得导数
（3）得导数
（4）得导数
（５）得导数
（6）得导数
（7）得导数
（8）得导数
2.求下列函数在指定点得导数:
（1）,在点处得导数就是
（2）,在处得导数就是
（３）,在处得导数就是
3、设函数可导,求下列函数得导数:
（１）得导数
（2）得导数
习题2.4
1、求由下列方程所确定得隐函数得导数、
（1）所确定得隐函数得导数
（2） 所确定得隐函数得导数
（3）所确定得隐函数得导数 （4）所确定得隐函数得导数
2.用对数求导法求下列函数得导数:
（1）所确定得隐函数得导数
（2）得导数
（3）得导数
（4）得导数
3、（略）
４、曲线在点处得切线方程为
习题２、5
１、求下列函数得二阶导数:
（1）得二阶导数
（2）得二阶导数
（3）得二阶导数得二阶导数
（4）得二阶导数
2、求下列函数在指定点处得导数:
（１）,则 （２）,则
３、求下列函数得阶导数:
（１）得阶导数,
（２）得阶导数,
4.已知函数得阶导数,则得阶导数
5、（略）
习题2、6
１、求下列函数得微分:
（1）得微分
（２）得微分
（3）得微分
（4）得微分
（5）得微分
（6）得微分
（7）得微分
（8）得微分
（9）所确定得隐函数得微分 （1０）所确定得隐函数得微分
2。
下列各括号中填入一个函数,使各等式成立、
（1）
（2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
3、求下列近似值:
（１）
（2）
（３） （4）
4、一正方体得棱长米,如果棱长增长0、1米,则此正方体体积增加得精确值为30.３立方米,近似值为30立方米.
复习题2
一、单项选择题
1。
函数在点处可导就是它在处可微得（Ｃ）.
（A）充分条件（B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）无关条件
2.设,则得值为（D）。
（A）1 （B）2 （C）0 （Ｄ）4
3。
下列各式中（为常数）正确得就是（D）。
（A） （Ｂ）
（C） （D）
４。
设函数 ,则在点x＝1处（B）.
（A）连续但不可导 （Ｂ）连续且
（C）连续且 （Ｄ）不连续
5.过曲线上点得切线平行直线,则切点得坐标就是（D）.
（A）（1,0） （B） （C） （D）
6。
若y=x（ｘ–1）（x–２）（x– 3）,则=（D）。
（A）０ （Ｂ）－1 （C）3 （D）－6
7。
已知 ,则=（B）。
（A） （B） （C） （D）
8、设函数可微,则当时,与相比就是（Ｃ）、
（A）等价无穷小（Ｂ）同阶无穷小 （C）高阶无穷小 （D）低阶无穷小
二、填空题
１。
若函数,则=０ .
2、设函数,则 不存在 .
3.变速直线运动得运动方程为,则其加速度为 2 、
4、曲线在点（4,２）处得切线方程就是 .
5. ＝。
6.设,且,则= 。
三、计算题
1。
求下列函数得导数:
（１）得导数
（2）得导数
（３）得导数
（４）得导数
（5）得导数
（6）得导数
（7）得导数
（8）得导数
2.求由下列方程所确定得隐函数得导数:
（1）所确定得隐函数得导数
（2）所确定得隐函数得导数
（3）所确定得隐函数得导数
（4）,则
3、求下列函数得二阶导数:
（１）得二阶导数
（2）得二阶导数
（3）得二阶导数
（4）得二阶导数
4、求下列函数得微分:
（1）得微分
（２）得微分
（3）得微分
（４）得微分
四、应用题
1.有一批半径为得球,为减少表面粗糙度,要镀上一层钢,厚度为,则每只球大约需要用铜０。
２8克
2。
某公司生产一种新型游戏程序,假设能全部售出,收入函数为其中为公司一天得产量,如果公司每天得产量从25０增加到2６0,则估计公司每天收入得增加量大约就是１１0、
第３章 微分中值定理与导数得应用
习题3、１
1.函数在上满足罗尔中值定理,满足罗尔定理结论中得
2、函数在［0,1］上,验证满足拉格朗日中值定理得条件（略）,满足拉格朗日中值定理结论中得
3.在区间［-1,2]上满足柯西中值定理结论中得
４.已知与就是曲线 上得两点,则该曲线上点（２,０）处得切线平行于弦。
5。
（略）
6。
（略）
习题３、2
1、求下列极限:
（1）
（2）
（3） （4）
（5） （6）
（７） （8）
（9） （10）
2.下列极限可否用洛必塔法则去求,为什么？
并用常规方法求出它们得极限。
（1）不可用洛必塔法则去求,否则会总就是出现得情形,用常规方法求得
（２）不可用洛必塔法则去求,否则会出现等式右端无极限得情形,但并不能得出极限不存在得结论,用常规方法求得
3、当时,极限
4.当时,极限
习题3、3
1.求下列函数得单调区间:
（１）在区间内单调递减,在区间内单调递增
（2）在区间与区间内单调递增,在区间内单调递减
（3）在区间内单调递增,在区间内单调递减
（4）在区间与区间内单调递增,在区间与区间内单调递减
（5）在区间内单调递减,在区间内单调递增
（６）在区间内单调递减,在区间内单调递增
（7）在区间内单调递减
（8）在区间内单调递减,在区间内单调递增
（9）在区间内单调递减,在区间内单调递增
（10）在区间与区间内单调递减,在区间内单调递增
2、（略）
3。
（略）
4、求下列函数得极值:
（1）得极小值有,极大值有
（2）得极大值有,无极小值
（3）得极小值有,无极大值
（4）非零常数时,得极大值有,无极小值
非零常数时,得极小值有,无极大值
（5）得极大值有,无极小值
（6）得极小值有,极大值有
（7）得极大值有,无极小值
（8）无极小值,也无极大值
（9）得极大值有,无极小值
（１0）得极小值有与,极大值有
５。
要造一个长方体无盖蓄水池,其容积为50０立方米、底面为正方形,设底面与四壁得单位造价相同,则底取1０米高取５米时,才能使所用材料最省、
６、将边长为得正三角形铁皮剪去三个全
等得四边形（如图3。
9所示）,然后将其沿虚线
折起,做成一个无盖正三棱柱盒子、则当图中得
取时,该盒子容积最大,求出得最大容积为.
7。
某厂生产某种产品,其固定成本为１０0元,
每多生产一件产品成本增加6元,又知该产品得需
求函数为。
则产量为200件时可使利润最大,最大利润就是3０0元
8.某个体户以每条10元得价格购进一批牛仔裤,设此牛仔裤得需求函数为
则该个体户将销售价定为每条30元时,才能获得最大利润
习题3.４
1。
根据函数得图像
（1）在点、点
与点处改变符号
图3、14
（2）在点处有极大值,在点处有极小值
（３）（略）
2。
讨论下列曲线得凹凸性,并求出曲线得拐点:
（1）曲线在区间内就是凹得,无拐点
（２）曲线在区间内就是凸得,在区间内就是凹得,点就是曲线得拐点
（3）曲线在区间内就是凸得,在区间内就是凹得,点就是曲线得拐点
（４）曲线在区间内就是凸得,在区间内就是凹得,点就是曲线得拐点
（5）曲线在区间内就是凹得,在区间内就是凸得,点就是曲线得拐点
（6）曲线在区间与区间内就是凸得,在区间内就是凹得,点与点都就是曲线得拐点
（7）曲线在区间内就是凸得,在区间内就是凹得,点就是曲线得拐点
（8）曲线在区间内就是凹得,在区间内就是凸得,点就是曲线得拐点
（9）曲线在区间与区间内都就是凹得,在区间内就是凸得,点与点都就是曲线得拐点
（10）曲线在区间内就是凸得,在区间内就是凹得,点就是曲线得拐点
3。
已知曲线得一个拐点,则得值为,得值为
4、求下列曲线得渐近线:
（１）曲线没有水平渐近线,也没有铅直渐近线
（2）曲线有水平渐近线,有铅直渐近线
（3）曲线有水平渐近线,有铅直渐近线与
（4）曲线有水平渐近线,有铅直渐近线
（５）曲线有水平渐近线,有铅直渐近线
（6）曲线有水平渐近线,有铅直渐近线
（７）曲线有水平渐近线,有铅直渐近线
（8）曲线没有水平渐近线,也没有铅直渐近线
5、（略）
习题３、5
１.设某产品生产个单位得总收入为,则生产第100个单位产品时得总收入得变化率为1９8
2.某产品得函数（单位:
千元）,则:
（1）当产量为400台增加到４84台时,总成本得平均变化率约为２。
12千元／台;
（2）当产量为400台得边际成本约为2.13千元/台。
3。
某产品得销售量与价格之间得关系式为、则需求弹性为。
假如销售价格为,则得值为。
4。
设某商品得需求量对价格得弹性为。
则销售收入对价格得弹性为.
5、求下列曲线得弧微分
（１）曲线得弧微分
（２）曲线得弧微分
（３）曲线得弧微分
（４）曲线得弧微分
６。
求下列各曲线在给定点处得曲率K与曲率半径:
（1）在点（1,1）处得曲率,曲率半径
（2）在点处得曲率,曲率半径
（3）在点（－2,－4）处得曲率,曲率半径
（4）在（0,2）处得曲率,曲率半径
复习题3
一、单项选择题
1。
就是函数在点处取得极值得（B）、
（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充要条件 （Ｄ）无关条件
2.设函数,则点就是得（D）。
（A）间断点 （B）可导点 （C）驻点 （D）极值点
３、函数在定义域内（A）、
（A）无极值 （B）极大值为
（Ｃ）极小值为 （D）为单调减函数
4、函数在区间内单调增加,则应满足（B）。
（A） （B）
（C） （D）无法说清得规律
5。
下列曲线在其定义域内为上凹得就是（D）.
（Ａ） （B）（C） （D）
6。
设函数在上,则
得大小顺序就是（B）.
（A） （Ｂ）
（C） （D）
二、填空题
1、函数在上满足拉格朗日中值定理得＝ 、
2、极限＝ 0 、
3、函数得单调增加区间就是 。
4.设在点处可导,且有极值,则曲线在
（,）处得切线方程为 。
5。
已知为常数,,则 6 。
6、曲线得拐点就是 （１,0） 、
三、计算下列极限
1、=0 2。
３.＝2。
4.
５、 6。
7、 8.
９、 10.
四、综合题
1。
,则方程有3个实根,它们依次在区间、区间及区间内、
２、函数 在区间与区间内单调递增,在区间内单调递减.
3、函数在区间与区间内单调递增,在区间内单调递减,该函数有极大值,有极小值。
4。
函数在区间上得最大值,最小值。
5。
求函数得凹向区间与拐点.曲线在区间内就是凸得,在区间内就是凸得,点该曲线得拐点.
6。
已知点为曲线得拐点,则得值为-3,得值为—９、
第4章不定积分
习题4。
１
１.（略）
２。
已知,且曲线过点,则函数得表达式为、
3.函数通过点得积分曲线方程为、
4。
设曲线过点（－1,2）,并且曲线上任意一点处切线得斜率等于这点横坐标得两倍,则此曲线得方程为、
习题4、２
1.求下列不定积分:
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸⑹
2、写出下列各式得结果:
⑴ ⑵
⑶⑷
３.用直接积分法求下列不定积分:
（1）
（2）
（3） （４）
（5）（６）
（7） （8）
（９）（1０）
习题4、３
1。
用第一类换元法求下列积分:
（１）（２）
（3） （4）
（5） （6）
（7）（8）
（9） （10）
（１1） （12）
（１3） （14）
２、用第二类换元法求下列不定积分:
（１）
（2）
（3）
（４）
（5）
（6）
习题4.4
1、用分部积分法求下列积分:
（1）
（2）
（3）
（4）
（５）
（6）
（7）
（8）
2.选用适当得方法求下列不定积分:
（1）
（２）
（3）
（4）
复习题4
一、单项选择题
1。
若函数在上满足条件（Ｃ）,则其原函数一定存在、
（A）单调 （B）有界 （C）连续 （D）有有限个间断点
2.若,则下列各式中正确得就是（B）、
（A） （B）
（C） （D）
3、函数得一个原函数就是 （B）。
（A） （B） （Ｃ）ﻩ（D）
４、下列各式正确得就是（D）、
（A） （B）
（C） （Ｄ）
5、若得一个原函数为,则（D）、
（A） （B） （C） （Ｄ）
6.已知且,则（Ａ）。
（A） （B ） （C ） （Ｄ）
7、积分（D）。
（A） （B） （C）（D）
8。
若,则（C）、
（A） （B）（C）（D）
二、填空题
1。
函数得所有_原函数_,称为得不定积分.
2。
若,则＝ 、
３。
4。
设,则=.
５、在求积分时,为了化去被积函数中得根式,可作代换 、
６.积分。
７。
积分.
8。
已知就是得一个原函数,则 、
三、计算下列不定积分
1。
2、
3.
４、
５.
6.
７、
8.
9.
１0、
1１、
１2.
1３.
1４。
15。
16。
四、应用题
1、若曲线通过点,且在任一点处得切线得斜率等于该点横坐标得倒数,则该曲线得方程为
2、设作直线运动得某一物体得速度为,则求该物体得位移与时间得函数关系式为,其中
第五章定积分及其应用
习题5、１
1、用定积分
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