三年级奥数高斯求和.docx
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三年级奥数高斯求和
高斯求和
一、知识要点
被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时,就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的结果。
小高斯是用什么办法算得这么快呢?
原来,他用了一种简便的方法:
先配对再求和。
数列的第一个数(第一项)叫首项,最后一个数(最后一项)叫末项,如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差是一个不变的数,这样的数列叫做等差数列,这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和,可以用以下关系式:
等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2
末项=首项+公差×(项数-1)
项数=(末项-首项)÷公差+1
二、精讲精练
【例题1】你有好办法算一算吗?
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=()
练习1:
速算。
(1)1+2+3+4+5+……+20
(2)1+2+3+4+……+99+100
(3)21+22+23+24+……+100
【例题2】计算。
(1)21+23+25+27+29+31
(2)312+315+318+321+324
练习2:
计算。
(1)48+50+52+54+56+58+60+62
(2)108+128+148+168+188
【例题3】有一堆木材叠堆在一起,一共是10层,第1层有16根,第2层有17根,……下面每层比上层多一根,这堆木材共有多少根?
练习3:
(1)体育馆的东区共有30排座位,呈梯形,第1排有10个座位,第2排有11个座位,……这个体育馆东区共有多少个座位?
(2)有一串数,第1个数是10,以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90,这串数连加的和是多少?
(3)有一个钟,一点钟敲1下,两点钟敲2下,……十二点钟敲12下,分钟指向6敲1下,这个钟一昼夜敲多少下?
【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。
练习4:
计算。
(1)95+96+97+98+99
(2)2006+2007+2008+2009
(3)9997+9998+9999(4)100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19
【例题5】计算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81
练习5:
计算。
(1)1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1
(2)1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19
(3)2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16
植树问题
一、知识要点
爸爸给晶晶出了一道题:
“小朋友们在路的一边植树,先植一棵树,以后每隔3米植一棵,已经植了9棵,问第一棵和第九棵树相距多少米?
”晶晶一看,随口答题:
“27米。
”同学们,晶晶答对了吗?
这一类应用题我们通常称为“植树问题”。
解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔长和棵数三者之间的关系。
解答植树问题先要考虑植树的方式,一般在不封闭的线路上植树,棵数=总距离÷间隔长+1;在封闭的线路上植树,棵数=总距离÷间隔长。
另外,生活中还有一些问题,可以用植树问题的方法来解答。
比如锯木头、爬楼梯问题等等,这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间隔长”、“棵数”对应起来。
二、精讲精练
【例题1】小朋友们在路的一边植树,先植一棵树,以后每隔3米植一棵,已经植了9棵,问第一棵和第九棵树相距多少米?
【思路导航】要得出正确的结果,我们可以画出如下的示意图:
根据“已经植了9棵”,从图中可以看出,第一棵树和第九棵树之间的间隔是9-1=8(个),每个间隔是3米,所以第一棵和第九棵相距3×8=24(米),具体列式如下:
3×(9-1)=3×8=24(米)答:
第一棵和第九棵树相距24米。
练习1:
(1)在路的一侧插彩旗,每隔5米插一面,从起点到终点共插了20面,这条道路有多长?
(2)在学校的走廊两边,每隔4米放一盆菊花,从起点到终点一共放了20盆,这条走廊长多少米?
【例题2】在一条长42米的大路两侧栽树,从起点到终点一共栽了14棵,已知相邻两棵树之间的距离都相等,问相邻两棵树之间的距离是多少米?
【思路导航】根据“在路的两侧共栽了14棵树”这个条件,我们可以先求出每一侧栽了14÷2=7(棵)树,那么从第1棵树到第7棵树之间的间隔是7-1=6(个)。
42米长的大路平均分成6段,每段是42÷6=7(米)。
列式如下:
42÷(14÷2-1)=42÷(7-1)=42÷6=7(米)答:
相邻两棵树之间的距离是7米。
练习2:
在公园一条长30米的路的两侧放椅子,从起点到终点共放了12把椅子,相邻两把椅子的距离相等,相邻两把椅子之间相距多少米?
【例题3】把一根钢管锯成小段,一共花了28分钟,已知每锯开一段需要4分钟,这根钢管被锯成了多少段?
【思路导航】我们先求出钢管被锯开了28÷4=7(处),因而被锯开的段数有7+1=8(段)。
列式如下:
28÷4+1=7+1=8(段)答:
这根钢管被锯成了8段。
练习3:
一根圆木锯成2米长的小段,一共花了12分钟。
已知每锯下一段要3分钟,这根圆木长多少米?
【例题4】甲、乙两人比赛爬楼梯,甲跑到4楼时,乙恰好跑到3楼,照这样计算,甲跑到16楼时,乙跑到了多少楼?
【思路导航】解答爬楼梯问题时,不能以楼层进行计算,而要用楼梯段数进行计算,因为第一层楼是不用爬的,“楼层数-1”才是要走的“楼梯段数”,根据题意“甲跑到4楼时,乙恰好跑到3楼”,实际上是说“甲跑3段楼梯与乙跑2段楼梯所用的时间相同。
”照这样计算,甲跑到16楼,也就是跑了15段楼梯,应是甲跑3段楼梯所用的时间的5倍,在同一时间里,乙跑的楼梯段数也是他跑2段楼梯的5倍,也就是这时乙跑了10段楼梯,即他跑到了第10+1=11(楼)。
列式如下:
(3-1)×[(16-1)÷(4-1)]+1=2×5+1=11(楼)
答:
甲跑到16楼时,乙跑到了11楼。
练习4:
小明和小红两人爬楼梯比赛,小明跑到第4层时,小红跑到第5层,照这样计算,当小明跑到第16层时,小红跑到了第几层?
【例题5】一个圆形跑道长300米,沿跑道周围每隔6米插一面红旗,每两面红旗中间插一面黄旗,跑道周围各插了多少面红旗和黄旗?
【思路导航】在圆周上插旗,插的面数正好等于分成的段数,所以插了红旗300÷6=50(面),由于每两面红旗中间插一面黄旗,所以黄旗的面数就等于红旗的面数,也是50面。
300÷6=50(面)答:
跑道周围插了50面红旗和50面黄旗。
练习5:
(1)有一个正方形水池,周长是200米。
如果沿着水池周围每隔10米装一盏红灯,再在相邻的两盏红灯中间等距离地装4盏黄灯。
问水池周围一共装了几盏红灯?
几盏黄灯?
(2)一条公路长480米,在两旁植树,两端都植。
每隔12米植一棵樟树,两棵樟树中间又等距离地栽了3棵柳树。
问樟树和柳树各栽了多少棵?
简单推理
一、知识要点
数学课上,老师布置了一道题:
□+△=28□=△+△+△□=()△=()
要得出正确的结论,就要进行分析、推理。
学会了推理,能使你变得更聪明,头脑更灵活。
数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。
解答这类推理题时,要求小朋友仔细观察,认真分析等式中几个图形之间的关系,寻找解题的突破口,然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。
二、精讲精练
【例题1】下式中,□和△各代表几?
□+△=28□=△+△+△□=()△=()
【思路导航】根据□+△=28,我们可以得出□=28-△;由□=△+△+△得到28=△+△+△+△,4个△等于28,一个△等于28÷4=7;由□=△+△+△可求出□=7+7+7=21。
练习1:
1.☆+○=18☆=○+○☆=()○=()
2.△+○=25△=○+○+○+○△=()○=()
3.○+□=36○=□+□+□+□+□○=()□=()
【例题2】下式中,□和△各代表几?
□×△=36□÷△=4□=()△=()
【思路导航】根据□÷△=4可知△为一份,□是这样的4份,即□=4△;又根据□×△=36,可以得到4△×△=36,即△×△=9,进一步得到△=3,□=4△=4×3=12。
练习2:
1.○和□各表示几?
○×□=16□÷○=4○=()□=()
2.想想,填填。
○×△=20○=△+△+△+△+△○=()△=()
3.□和○各代表几?
□=○+○+○+○○×□=16□=()○=()
【例题3】下式中,□和△各代表几?
□+□+△=16□+△+△=14□=()△=()
【思路导航】16里面有2个□,1个△;14里面有1个□,2个△,16减去14等于2,即□-△=2,那么如果把△换成了□,则16需要加上2,即□+□+□=16+2,那么□=(16+2)÷3=6,△=16-6×2=4。
练习3:
1.□+□+○+○=38□+□+○=22□=()○=()
2.□+□+□+△+△=52□+□+△+△+△=48
□=()△=()
3.○+△+□+□=10△+□+△+□=12△+○+□+○=12
○=()□=()△=()
【例题4】下式中,□和○各代表几?
□+□+○+○+○=34○+○+○+○+□+□+□=48
□=()○=()
【思路导航】34里面有2个□、3个○,48里面有3个□、4个○,用48减去34得到□+○=14,34中有2个(□+○)及1个○。
所以,○=34-14×2=6,□=(34-6×3)÷2=8。
练习4:
1.☆+☆+△+△+△=24△+△+△+△+☆+☆+☆=36
☆=()△=()
2.○+○+○+△+△=54△+△+△+○+○+○+○=76
○=()△=()
3.□+□+□+△+△+△+△=96△+△+△+△+△+□+□+□+□=123
□=()△=()
【例题5】下式中,□、☆和△各代表几?
☆+☆=□+□+□□+□+□=△+△+△+△☆+□+△+△=80
☆=()□=()△=()
【思路导航】因为2个☆等于3个□,3个□又等于4个△,所以2个☆等于4个△,那么1个☆等于2个△。
在☆+□+△+△=80中,2个△可以用1个☆替代,就变为☆+□+☆=80,而2个☆又可以用3个□替代,也就是□+□+□+□=80,所以□=20,☆=20×3÷2=30,△=20×3÷4=15。
练习5:
1.△+△=○+○+○○+○+○=□+□+□○+□+△+△=100
○=()□=()△=()
2.○+○=□+□+□□+□+□=△+△△+□+○=40
△=()□=()○=()
3.□+□=○+○+○○+○+○=☆+☆+☆+☆+☆+☆+☆+☆
□+○+☆+☆+☆+☆=320
○=()□=()☆=()