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概率及其计算

本章知识结构图

随机抽样

统计

概率

第十三章概率与统计

用样本估计总体

简单随机抽样

抽签法

随机数表法

系统抽样

厂共同特点：

抽样、过程中每个个体被抽到的可能性

L（概率）相等J

频率分布表和频率分布直方图

样本频率分布估计总体

总体密度曲线

茎叶图

样本数字特征

1

众数、中位数、平均数

估计总体

方差、标准差

分层抽样

几何概型

-用随机模拟法求概率

条件概率

P（B|A）=

P（A□B）=P（A）•P（B）Jf

一事件的独立性

n次独立重复试验恰好发生k次的概率为kkn-k

QPn（k）=Gp（1-p）丿

□随机变量□常用的分布及

期望、方差

二项分布

X〜B（1,p）

I—两点分布

旦X）=p,D（X）=p（1-p）

X〜B（n,p）

E（X）=np,D（X）=np（1-p）

若Y=aX+b，贝U

E（Y）=aE（X）+b

JD（Y）=a2D（X）/

X〜H（N,M,n）

―超几何分布

M

E（X）=nn

nMfM'N—n

D（X）=Nl1-G•厂

NN-1

第一节概率及其计算

考纲解读

1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。

2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。

3.掌握古典概型及其概率计算公式。

4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。

5.了解几何概型的意义。

命题趋势探究

1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。

2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分

值稳定，难度中等或中等以下。

知识点精讲

一、必然事件、不可能事件、随机事件

在一定条件下：

1必然要发生的事件叫必然事件；

2一定不发生的事件叫不可能事件；

3可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。

二、概率

在相同条件下，做次重复实验，事件A发生次，测得A发生的频率为，当很大时，A发

生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫

做A的概率，记作。

对于必然事件A,;对于不可能事件A,=0.

三、基本事件和基本事件空间

在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空

间。

四、两个基本概型的概率公式

1、古典概型

条件：

1、基本事件空间含有限个基本事件2、每个基本事件发生的可能性相同

PfA1_A包含基本事件数二card（A）

-基本事件总数=cardD

2、几何概型

条件：

每个事件都可以看作某几何区域11的子集A，A的几何度量（长度、面积、体积或时

间）记为A.

JA

五、互斥事件的概率

1互斥事件

在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。

事件A与事件B互斥，则

PAUB=PAPB

2、对立事件

事件A,B互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B对立，记作B=A或A=B。

PApA

O

3、互斥事件与对立事件的联系

对立事件必是互斥事件，即“事件A,B对立”是”事件AB互斥“的充分不必要条件。

题型归纳及思路提示

题型176古典概型

思路提示

首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：

有限个不同的基本事件及各基本事件发

生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A所包含的基本事件数；最后计算

A包含基本事件数

PA一基本事件总数

例13.1设平面向量am二m,1，0二2,n，其中m,n^1.2,3,4：

（1）请列出有序数组m,n的所有可能结果;

（2）若“使得am—am-bn成立的m,n为事件A求事件a发生的概率。

变式1【2017课标II,文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再

随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为

113

A.—B.C.—

10510

变式2连抛两次骰子的点数分别为m,n，记向量才二m,n，向量b=1,-1，a与b的

（TT"1

夹角为二，^y•0,

的概率是（

）

2

5

1

7

5

A.B.

C.

—

D.—

12

2

12

6

例13.2【2017山东，理8】从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2

次，每次抽取1张•则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是

/A、5457

（A）（B）（C）—（D）-

18999

变式1【2017天津，文3】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为

4321

（A）经（B）°（C）（D）1

5555

变式2【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3，4,

5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是▲

变式3【2016高考上海文科】某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为

题型177几何概型的计算

思路提示

首先确定事件类型为几何概型并明确其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算出

基本事件区域的数值和事件A包含区域数值，最后计算

，解几何概型问题的关键是

A事件区域数值（长度、面积、体积或时间）

P（A）二基本事件区域数值（长度、面积、体积或时间）

画图、求面积。

例13.3【2017课标1,理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图•正方形内

切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称•在正方形内随机取一点，则

此点取自黑色部分的概率是

1

A.-

4

1

C.—

2

变式1【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:

00,8:

00,8:

30发车，小明在7:

50至8:

30之

间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率

是（）

/八、1123

（A）3（b）2（C）3（d）4

例13.4如图13-2所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影

部分的概率为（）

图13-2

变式1小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到

11

圆心的距离大于一，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于一，贝怯打篮球；否则,

24

在家看书，则小波周末不在家看书的概率为.

变式2【2016高考新课标2理数】从区间0,11随机抽取2n个数x1,x2，…，xn,y1,y2，…，

yn,构成n个数对x1,y1,x2,y2，…，xn,yn，其中两数的平方和小于1的数对共

有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率二的近似值为

、4n2n4m2m

（A）（B）（C）（D）

mmnn

例13.5已知f（x）=—X十ax-b,a回0,4,a,b壬R,则f10的概率为

变式1【2017江苏，7】记函数f（x）=；”6・x—x的定义域为D.在区间［—4,5］上随机取一

个数x,则x•D的概率是.

例13.6甲乙两人约定在20：

00到21:

00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方

可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：

00到21:

00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内能相见的概率。

40分钟时两人便能在约定

分析由题意知，当甲乙两人到达目的地的时间相差小于或等于时间内相见。

变式1小明家的晚报在下午5:

30~6:

30之间的任何一个时刻随机地被送到，小明一家人在下午6:

00~7:

00之间的任何一个时刻随机地开始晚餐。

（1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大？

（不

用计算）•

（2）晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？

最有效训练题53（限时40分钟）

1、甲乙丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（）

1111

A.B.-C.-D.-

2346

2、【2016高考新课标2文数】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续

时间为40秒•若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为

（）

7533

（A）—（B）°（C）°（D）

108810

3、两根相距3m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都

大于1m

的概率为（

）

1

1

1

2

A.-

B.—

C.—

D.-

2

3

4

3

4、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰

子朝上的

面的点数分别为

X,Y

，则log2X^1的概率为（

）

1

5

1

1

A.-

B.

C.—

D.

6

36

12

2

5、在边长为18cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正

方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（）

5111

A.B.C.D.—

6236

6、【2016高考四川文科】从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则logab为

整数的概率=

7、从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为

“抽得的是黑桃”，则概率P（AuB）=（结果用最简分数表示）.

&【2016高考山东理数】在［-1,1］上随机地取一个数k,则事件直线y=kx与圆

（x-5）2+y2=9相交”发生的概率为.

2

9、已知函数fx=axb1x^1，且a，0,3，则对于任意的bR，函数

F（x）=f（x）-x总有两个不同的零点的概率是.

10、现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中

随机抽取一个数，则它小于8的概率是.

_22

11、在平面直角坐标系xOy中，平面区域W中的点的坐标x,y满足xy乞5，从

区域W中随机取点Mx,y.

（1）x三z,y三z，求点M位于第四象限的概率；

（2）已知直线l:

y=-x•bb•0与圆O：

x2•y2=5相交所截得的弦长为J5，求y_-x•b的概率。

12、【2017山东，文】16（本小题满分12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家Ai,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.

（I）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

（n）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率•