高斯克吕格直角坐标系.docx
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高斯克吕格直角坐标系
高斯-克吕格投影
坐标系是测量的基本坐标系。
常用于问题的细算，研究地球形状和大小，编制地图，火箭和卫星发射及军事方面的定位及运算，若将其直接用于工程建设规划、设计、施工等很不方便。
所以要将球面上的坐标按一定数学法则归算到平面上，即采用地图投影的理论绘制地形图，才能用于规划建设。
高斯克吕格平面直角坐标系是投影坐标系的一种，根据我国的地理情况，为建立地形图的测量控制和城市、矿山等区域性的测量控制，早在1952年决定，采用高斯克吕格平面直角坐标系。
重点：
1高斯投影概念、投影带的划分、6º带与3º带的划分及其关系
2高斯平面直角坐标系的建立
3坐标方位角的定义、性质与反算
难点：
l投影带的划分、6º带与3º带的划分及其关系
2坐标方位角的定义、性质与反算
1高斯—克吕格投影的形成
1.1为什么要投影
⏹参考椭球面是不可展曲面
⏹不便于地图的制作、使用和保管
⏹不便于地图应用中的计算
1.2什么是投影
⏹按一定的数学法则将参考椭球面上的点、线、图形化算到平面上的过程。
1.3投影变形
⏹长度变形、角度变形、面积变形
1.4地图投影的种类
⏹按投影面：
方位投影,圆锥投影,圆柱投影
⏹按投影变形：
等角投影等积投影任意投影（等距投影）
⏹按投影面与参考椭球的位置关系：
⏹切、割横、纵、斜
1.5地图投影的选择
⏹依国土的位置、形状和地图的用途选择投影方式。
⏹我国基本比例尺地形图投影选择标准:
⏹投影后保持角度不变
⏹长度变形不能超过一定限度
⏹小围图形保持相似
2高斯投影（等角横切椭圆柱投影）
2.1高斯投影的基本概念
地球是椭球面，是不可展曲面，无论如何选择投影函数，椭球面上的元素，投影到平面上，都会产生变形（角度、长度、面积）。
高斯是德国杰出的数学家、测量学家。
他提出的横椭圆柱投影是一种正形投影。
它是将一个横椭圆柱套在地球椭球体上，如下图所示：
椭球体中心O在椭圆柱中心轴上，椭球体南北极与椭圆柱相切，并使某一子午线与椭圆柱相切。
此子午线称中央子午线。
然后将椭球体面上的点、线按正形投影条件投影到椭圆柱上，再沿椭圆柱N、S点母线割开，并展成平面，即成为高斯投影平面。
在此平面上：
2.2高斯投影变形规律
①中央子午线是直线，其长度不变形，离开中央子午线的其他子午线是弧形，凹向中央子午线。
离开中央子午线越远，变形越大。
②投影后赤道是一条直线，赤道与中央子午线保持正交。
③离开赤道的纬线是弧线，凸向赤道。
投影前后的角度保持不变，且小围的图形保持相似。
具有对称性。
面积有变形。
2.3坐标系的定义：
在投影面上，中央经线和赤道的投影都是直线，并且以中央经线和赤道的交点作为坐标原点，以中央经线的投影为纵坐标，以赤道的投影为横坐标，这就形成了高斯平面直角坐标系。
2.4分带投影：
高斯投影可以将椭球面变成平面，但是离开中央子午线越远变形越大，这种变形将会影响测图和施工精度。
为了对长度变形加以控制，测量中采用了限制投影宽度的方法，即将投影区域限制在靠近中央子午线的两侧狭长地带。
这种方法称为分带投影。
投影带宽度是以相邻两个子午线的经差来划分。
有6°带、3°带等不同投影方法。
分带投影示意图
通常按经线每隔6°进行分带投影。
由0°经线起每隔经差6°自西向东分带，依次编号1、2、3……。
6°带的带号N和中央经线L的关系为：
L=6N-3。
已知某点经度L，可按下式计算该点所属的带号：
有余数时，为n的整数商+1。
为了进一步限制变形，可以采用3°投影分带。
3°带和6°带的中央经线重合，6°带的中央经线和分带经线均是3°带的中央经线。
3°带的带号n和中央经线L的关系为：
L=3n。
中国用3°带划分的围是24~45，用6°带划分的围是13~23。
2.5坐标系中的XY取值
2.6高斯—克吕格平面直角坐标系的形成
X轴—中央子午线的投影
Y'轴—赤道投影
X⊥Y'；A（X、Y'）Y'称为横坐标的自然值
x值无论在哪一带都是由赤道起算的自然值。
为了使Y'不出现负值，Y轴西移500公里，形成XOY坐标系。
B（X,Y）∴Y=带号+Y'+500000米Y称为横坐标的通用值
例1：
已知:
yB=18267135m（通用坐标）
求：
B点的自然坐标值Y'（6带划分）
解：
Y'=Y-500000=267135-500000=-232865m
例2：
6°带第20带中，y=-200.25m，应写为20499799.75m。
例3：
AB点自然坐标如下：
A:
X=50000.00mY=-10000.00m
B:
X=50000.00mY=10000.00m
转换成通用坐标
A:
X=50000.00mY=19490000.00m
B:
X=50000.00mY=19510000.00m
2.7换带计算
1目的
使带边沿附近控制点化算到同一坐标系统中，以便相互利用；使3°、6°或任意带坐标之间实现共享。
2计算过程
由已知X、Y、L0应用高斯投影反算公式求得L、B；
由L、B、L’0应用高斯投影正算公式求得X’、Y’。
2.8投影带的重叠
1、为什么要重叠
采用分带投影，虽限制了长度变形，但相邻带坐标系相互独立，带边沿地形图无法拼接使用，控制点不能相互利用。
为此，需用投影带重叠的方法解决。
2、重叠规定
西带向东带延伸30′，东带向西带延伸7.5′或15′重叠围的地形图有两套坐标网格，控制点有两套坐标。
3方位角及其相互关系
3.1方位角的定义：
在高斯平面，由基准方向（北方向）顺时针量至某直线的夹角，称为该直线的方位角。
依据基准方向（北方向）的不同选择，方位角有真方位角、坐标方位角和磁方位角三种。
3.2真方位角
基准方向：
子午线北方向
来源：
天文观测、陀螺经纬仪测定和计算求得。
特点：
同一直线上各点的真方位角不等。
3.3坐标方位角
基准方向：
坐标纵轴方向
特点：
1、正反方位角相差180º
2、同一直线上各点坐标方位角相等
来源：
由坐标反算或角度传递得到。
用途：
控制网起算数据和坐标推算。
坐标方位角反算步骤:
已知XA、YA、XB、YB 求αAB（用计算机）
<1>计算坐标增量 △X=XB-XA，△Y=YB-YA
<2>计算α＝TAN-1（△Y/△X）
<3>判断△X<0?
是α=α+180º
<4>判断α<0?
是α=α+360º
特殊情况：
1、△X＝0，△Y>0,α=90º
2、△X＝0，△Y<0,α=270º
3、△X＝0，△Y＝0,α不存在
3.4磁方位角
基准方向：
磁子午线北方向
来源：
带磁针装置的经纬仪测定。
特点：
1、同一直线上各点的磁方位角不等。
2、易受磁性物质干扰，精度不高。
用途：
用于概略指示方位。
3.5方位角的相互关系－偏角
三北方向之间的夹角称为偏角。
偏角有子午线收敛角γ、磁偏角δ、磁坐偏角ε三种。
子午线收敛角γ：
真北与坐标北方向之间的夹角。
东偏为正，西偏为负。
磁偏角δ：
真北与磁北方向之间的夹角。
东偏为正，西偏为负。
磁坐偏角ε：
坐标北方向与磁北方向之间的夹角。
东偏为正，西偏为负。
3.6方位角、偏角的关系
A＝α＋γ
δ＝A－M＝α＋γ－M
ε＝α－M
3.7三北方向图
地图中央一点上的三个基准方向的关系图。
其中：
γ为四个图廓点平均值，δ为图实测点平均值，ε为计算得到。
4.理解地理坐标系（Geographiccoordinatesystem）
地理坐标系统，是以经纬度为地图的存储单位的。
很明显，Geographiccoordinatesystem是球面坐标系统。
我们要将地球上的数字化信息存放到球面坐标系统上，如何进行操作呢？
地球是一个不规则的椭球，如何将数据信息以科学的方法存放到椭球上？
这必然要求我们找到这样的一个椭球体。
这样的椭球体具有特点：
可以量化计算的。
具有长半轴，短半轴，偏心率。
以下几行便是Krasovsky_1940椭球及其相应参数。
Spheroid:
Krasovsky_1940
SemimajorAxis:
6378245.0
SemiminorAxis:
6356863.0
InverseFlattening（扁率）:
298.0
然而有了这个椭球体以后还不够，还需要一个基准面将这个椭球定位。
在坐标系统描述中，可以看到有这么一行：
Datum:
D_Beijing_1954
表示，基准面是D_Beijing_1954。
有了Spheroid和Datum两个基本条件，地理坐标系统便可以使用。
完整参数：
Alias:
Abbreviation:
Remarks:
AngularUnit:
Degree（0.9）
PrimeMeridian（起始经度）:
Greenwich（0.0）
Datum（基准面）:
D_Beijing_1954
Spheroid（参考椭球体）:
Krasovsky_1940
SemimajorAxis:
6378245.0
SemiminorAxis:
6356863.0
InverseFlattening:
298.0
2、接下来便是Projectioncoordinatesystem（投影坐标系统），首先看看投影坐
标系统中的一些参数。
Projection:
Gauss_Kruger
Parameters:
False_Easting:
500000.000000
False_Northing:
0.000000
Central_Meridian:
117.000000
Scale_Factor:
1.000000
Latitude_Of_Origin:
0.000000
LinearUnit:
Meter（1.000000）
GeographicCoordinateSystem:
Name:
GCS_Beijing_1954
Alias:
Abbreviation:
Remarks:
AngularUnit:
Degree（0.9）
PrimeMeridian:
Greenwich（0.0）
Datum:
D_Beijing_1954
Spheroid:
Krasovsky_1940
SemimajorAxis:
6378245.0
SemiminorAxis:
6356863.0
InverseFlattening:
298.0
从参数中可以看出，每一个投影坐标系统都必定会有GeographicCoordinateSystem。
投影坐标系统，实质上便是平面坐标系统，其地图单位通常为米。
那么为什么投影坐标系统中要存在坐标系统的参数呢？
这时候，又要说明一下投影的意义：
将球面坐标转化为平面坐标的过程便称为投影。
好了，投影的条件就出来了：
a、球面坐标
b、转化过程（也就是算法）
也就是说，要得到投影坐标就必须得有一个“拿来”投影的球面坐标，然后才能使用算法去投影！
即每一个投影坐标系统都必须要求有GeographicCoordinateSystem参数。
3、关于54和80是我们使用最多的坐标系
先简单介绍高斯-克吕格投影的基本知识，了解就直接跳过，我国大中比例尺地图均采用高斯-克吕格投影，其通常是按6度和3度分带投影，1:
2.5万－1:
50万比例尺地形图采用经差6度分带，1:
1万比例尺的地形图采用经差3度分带。
具体分带法是：
6度分带从本初子午线开始，按经差6度为一个投影带自西向东划分，全球共分60个投影带，带号分别为1－60；3度投影带是从东经1度30秒经线开始，按经差3度为一个投影带自西向东划分，全球共分120个投影带。
为了便于地形图的测量作业，在高斯-克吕格投影带布置了平面直角坐标系统，具体方法是，规定中央经线为X轴，赤道为Y轴，中央经线与赤道交点为坐标原点，x值在北半球为正，南半球为负，y值在中央经线以东为正，中央经线以西为负。
由于我国疆域均在北半球，x值均为正值，为了避免y值出现负值，规定各投影带的坐标纵轴均西移500km，中央经线上原横坐标值由0变为500km。
为了方便带间点位的区分，可以在每个点位横坐标y值的百千米位数前加上所在带号，如20带A点的坐标可以表示为YA=20745921.8m。
在CoordinateSystemsProjectedCoordinateSystemsGaussKrugerBeijing1954目录中，我们可以看到四种不同的命名方式：
Beijing19543DegreeGKCM75E.prj
Beijing19543DegreeGKZone25.prj
Beijing1954GKZone13.prj
Beijing1954GKZone13N.prj
对它们的说明分别如下：
三度分带法的54坐标系，中央经线在东75度的分带坐标，横坐标前不加带号
三度分带法的54坐标系，中央经线在东75度的分带坐标，横坐标前加带号
六度分带法的54坐标系，分带号为13，横坐标前加带号
六度分带法的54坐标系，分带号为13，横坐标前不加带号 在CoordinateSystemsProjectedCoordinateSystemsGaussKrugerXian1980目录中，文件命名方式又有所变化：
Xian19803DegreeGKCM75E.prj
Xian19803DegreeGKZone25.prj
Xian1980GKCM75E.prj
Xian1980GKZone13.prj
80坐标文件的命名方式、含义和54前两个坐标相同，但没有出现“带号+N”这种形式，为什么没有采用统一的命名方式？
让人看了有些费解。
高斯-克吕格（Gauss-Kruger）投影与UTM投影（UniversalTransverseMercator，通用横轴墨卡托投影）都是横轴墨卡托投影的变种，目前一些国外的软件或国外进口仪器的配套软件往往不支持高斯-克吕格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影当作高斯-克吕格投影的现象。
从投影几何方式看，高斯-克吕格投影是“等角横切圆柱投影”，投影后中央经线保持长度不变，即比例系数为1；UTM投影是“等角横轴割圆柱投影”，圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比0.9996。
从计算结果看，两者主要差别在比例因子上，高斯-克吕格投影中央经线上的比例系数为1，UTM投影为0.9996，高斯-克吕格投影与UTM投影可近似采用X[UTM]=0.9996*X[高斯]，Y[UTM]=0.9996*Y[高斯]，进行坐标转换（注意：
如坐标纵轴西移了500000米，转换时必须将Y值减去500000乘上比例因子后再加500000）。
从分带方式看，两者的分带起点不同，高斯-克吕格投影自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为3°；UTM投影自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为-177°，因此高斯-克吕格投影的第1带是UTM的第31带。
此外，两投影的东伪偏移都是500公里，高斯-克吕格投影北伪偏移为零，UTM北半球投影北伪偏移为零，南半球则为10000公里。
高斯-克吕格投影与UTM投影坐标系
高斯-克吕格投影与UTM投影是按分带方法各自进行投影，故各带坐标成独立系统。
以中央经线（L0）投影为纵轴X，赤道投影为横轴Y，两轴交点即为各带的坐标原点。
为了避免横坐标出现负值，高斯-克吕格投影与UTM北半球投影中规定将坐标纵轴西移500公里当作起始轴，而UTM南半球投影除了将纵轴西移500公里外，横轴南移10000公里。
由于高斯-克吕格投影与UTM投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，所以各带的坐标完全相同，为了区别某一坐标系统属于哪一带，通常在横轴坐标前加上带号，如（4231898m，21655933m），其中21即为带号。
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