最新人教版高中数学必修4第一章《专题三 三角函数》优化测控.docx
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最新人教版高中数学必修4第一章《专题三三角函数》优化测控
专题优化测控（三）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.（2004全国高考Ⅱ,11）函数y=sin4x+cos2x的最小正周期为（）
A.B.C.πD.2π
解析：
y=sin4x+cos2x
=（）2+
==
=cos4x+.
故最小正周期为.
答案：
B
2.令a=sin（π-1）,b=sin2,c=cos1,则a、b、c的大小关系是（）
A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b
解析：
a=sin1,b=sin（π-2）,c=sin（-1）.
因0<-1<1<π-2<,则c答案：
B
3.（2006山东烟台高三适应性练习）已知函数f（x）=sin（ωx+）-1（ω>0）的导函数f′（x）的最大值为3，则f（x）相邻两条对称轴之间的距离是（）
A.3πB.πC.D.π
解析：
f′（x）=ωcos（ωx+）,由题意得ω=3.
∴f（x）=sin（3x+）-1,相邻两条对称轴间的距离为个周期，即=·=.
答案：
C
4.（2005江苏卷，5）△ABC中,A=,BC=3,则△ABC的周长为（）
A.4sin（B+）+3B.4sin（B+）+3
C.6sin（B+）+3D.6sin（B+）+3
解析：
设AB=c,AC=b,
∵==,
∴==2.
∴a+b+c=2（sinB+sinC+）
=2×2sin·cos+3.
∵B+C=180°-A=120°,
∴C=120°-B.
∴sin·cos
=sin60°·cos
=sin60°·cos（B-60°）
=cos［90°-（B+30°）］
=sin（B+30°）
=sin（B+）.
∴a+b+c=6sin（B+）+3.
答案：
D
5.设α、β是一个钝角三角形中的两个锐角，则下列四个不等式中不正确的是（）
A.tanαtanβ＜1B.sinα+sinβ＜
C.cosα+cosβ＞1D.tan（α+β）＜tan
解析：
特殊法.不妨设α=β=30°，tanα·tanβ=＜1,
sinα+sinβ=1＜,cosα+cosβ=＞1,tan（α+β）=tan=.
答案：
D
6.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称，那么a等于（）
A.B.-C.1D.-1
解析：
y=sin2x+acos2x
=sin（2x+φ）.
∵x=-为对称轴,
∴sin（-）+acos（-）=±.
∴a=-1.
答案：
D
7.（（理）（2006北京东城综合练习）函数f（x）=｜-｜满足（）
A.是周期为π的周期函数，当x=kπ（k∈Z）时f（x）取得最小值
B.是周期为的周期函数，当x=kπ（k∈Z）时f（x）取得最小值
C.是周期为2π的周期函数，当x=2kπ（k∈Z）时f（x）取得最小值
D.是周期为π的周期函数，当x=2kπ（k∈Z）时f（x）取得最小值
解析：
函数的定义域为｛x｜x≠2kπ+π且x≠2kπ±k∈Z｝.
f（x）=｜｜=｜tanx｜,
图象如图
∴周期为2π.
当x=2kπ（k∈Z）时f（x）取最小值.
答案：
C
（（文）2006山东青岛高三第一次统考）在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且B=2A,则的取值范围是（）
A.（-2，2）B.（0，2）C.（，2）D.（1，2）
解析：
∵A+B<π,∴0答案：
D
8.（2005山东高考，3）已知函数y=sin（x-）cos（x-）,则下列判断正确的是（）
A.此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是（，0）
B.此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是（，0）
C.此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是（，0）
D.此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是（，0）
解析：
y=sin（2x-）,T=π,由2x-=kπ（k∈Z）得.
x=kπ+.k=0时，对称中心为（，0）.
答案：
B
9.设θ∈（0，），则二次曲线x2cotθ-y2tanθ=1的离心率的取值范围为（）
A.（0，）B.（，）C.（，2）D.（，+∞）
解析：
∵θ∈（0,），
∴cotθ＞0,tanθ＞0.
∴e==.∵θ∈（0,）,
∴0＜tanθ＜1.
∴＞.
答案：
D
10.关于y=3sin（2x+）有以下命题：
①若f（x1）=f（x2）=0,则x1-x2是π的整数倍；
②函数解析式可改为y=3cos（2x-）;
③函数图象关于x=-对称；
④函数图象关于点（-,0）对称.
其中正确的命题是（）
A.②③B.②④C.①③D.③④
解析：
①2x1+=k1π,2x2+=k2π,则x1-x2=π,不一定是π的整数倍，不正确；②y=3sin（2x+）=3cos［-（2x+）］=3cos（2x-）,正确；③令2x+=kπ+,k∈Z，得x=+,由+=-，得k=-，不正确；④令2x+=kπ，得x=-，当k=0时，x=-，
正确.选B.
答案：
B
11.（（文）2006山东烟台5月高三适应性练习）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0,ω>0,｜φ｜<）的图象过点（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0,2）和（x0+2π,-2）.则函数f（x）的解析式为（）
A.f（x）=2sin（-）B.f（x）=2sin（4x+）
C.f（x）=2sin（+）D.f（x）=2sin（4x-）
解析：
∵图象过（0,1），∴Asinφ=1，由题意知A=2，T=4π，又｜φ｜<，
∴sinφ=，ω=，∴φ=.
∴f（x）=2sin（x+）.
答案：
C
（（理））一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小角为（）
A.arccosB.arcsin
C.arccosD.arcsin
解析：
设三个内角依次为α＜β＜γ=90°，依题意列方程组（α+β=90°），消去β，得sin2α+sinα=1.
解之得sinα=.
由0＜α＜,得sinα=.
答案：
B
12.（2005山东高考，6）函数f（x）=,若f
（1）+f（a）=2，则a的所有可能值为（）
A.1B.-C.1,-D.1,
解析：
f（x）=
∴f
（1）=1,又f
（1）+f（a）=2,
∴f（a）=1.
当a≥0时，a可以取1；当-1答案：
C
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题,每小题4分,共16分.把正确答案填在题中横线上）
13.计算-=_________________.
解析：
原式=+64sin220°
=+64sin220°
=+64sin220°
=32cos40°+32（1-cos40°）
=32.
答案：
32
14.（2006山东胜利油田高三第一次统考，14）f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）（a,b,α,β≠0）,f（2005）=-2008,则f（2006）=__________________.
解析：
∵f（2005）=-2008,∴asin（2005π+φ）+bcos（2005π+β）=-2008
∴-asinα-bcosβ=-2008,
∴f（2006）=asin（2006π+α）+bcos（2006π+β）=asinα+bcosβ=2008.
答案：
2008
15.（创新题）定义运算a·b为：
a·b=,如1·2=1，则函数f（x）=sinx·cosx的值域为__________________.
解：
由题意可得函数在一个周期内的表达式，即
f（x）=
作出图象易得函数的值域为［-1，］.
答案：
［-1，］
16.若f（x）=asin3x+btanx+1且f（3）=5，则f（-3）=_____________.
解析：
令g（x）=asin3x+btanx,则g（-x）=-g（x）.
f（3）=g（3）+1=5,g（3）=4,
f（-3）=g（-3）+1=-g（3）+1=-4+1=-3,应填-3.
答案：
-3
三、解答题（本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（2006山东烟台5月份高三适应性练习）已知向量a=（sin（θ-x）,1）,b=（1,-sin（θ+x））.
（1）当x∈R时，恒有a⊥b成立，求角θ的值；
（2）若f（x）=α·b+2cosθ的最大值为0，且sin2θ=，θ∈（-π，π），求cosθ的值.
解：
（1）由题意，知a·b=0，
∴sin（θ-x）-sin（θ+x）=0,∴cosθ·sinx=0,x∈R,
∴cosθ=0,从而θ=kπ+.（k∈Z）
（2）f（x）=-2cosθsinx+2cosθ=2cosθ（1-sinx）.
∵f（x）的最大值为0.
而1-sinx≥0,∴cosθ≤0.
又sin2θ=2sinθcosθ>0,∴cosθ<0,sinθ<0,从而θ在第三象限,
∴θ∈（-π,-）,2θ∈（-π,-π）.
∴cos2θ=-,∴cosθ==-.
18.（本小题满分12分）（2004广东高考,17）已知α,β,γ成公比为2的等比数列（α∈［0,2π］）,且sinα,sinβ,sinγ也成等比数列,求α,β,γ的值.
解：
∵α,β,γ成公比为2的等比数列,
∴β=2α,γ=4α.
又∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列,
∴==
cosα=2cos2α-1,即2cos2α-cosα-1=0.
解得cosα=1或cosα=-.
当cosα=1时,sinα=0与等比数列首项不为零矛盾,故cosα=1舍去.
当cosα=-时,∵α∈［0,2π］,
∴α=或α=.
∴α=,β=,γ=
或α=,β=,γ=.
19.（2006山东潍坊二模）已知向量a=（sin（+）,cos）,b=（cos（+）,-cos）,x∈［,π］,函数f（x）=a·b.
（Ⅰ）若cosx=-,求函数f（x）的值；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象按向量c=（m,n）（0解：
由题意，得f（x）=sin（+）cos（+）-cos2
=sin（x+）-（1+cosx）
=sinx-cosx-=（sinx-cosx）-
=sin（x-）-.
（Ⅰ）∵x∈［,π］,cosx=-,∴sinx=,
∴f（x）=sinx-cosx-=-.
（Ⅱ）由图象变换得，平移后的函数为g（x）=sin（x--m）+n-,
而平移后的图象关于原点对称，
∴g（0）=0且n-=0,
即sin（m+）=0且n=,
∵020.海岛O上有一座海拔1km的小山，山顶设有一观察站A,上午11时测得一轮船在岛的北偏东60°的C处，俯角为30°；11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B处，俯角为60°.
（1）求该船的速度；
（2）若此船以不变的船速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？
此时轮船所在点E离海岛O的距离是多少千米？
解：
（1）如图在Rt△AOB和Rt△AOC中，OB=OAcot60°=,OC=OAcot30°=,在△BOC中，由余弦定理得
BC=.
∵由C到B用的时间为=（h）,
∴该船的速度为=km/h.
（2）在△OBC中，由余弦定理，得
cos∠OBC==,
∴sin∠O
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