高中数学必修1集合与函数概念常考题型函数的概念doc.docx

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函数的概念

【知识梳理】

1.函数的有关概念

函数的概念

设A,B是非空数集，如果按照某种对应关系f,使对于集合A中任意一个数

x,在集合B中都有唯一•确定的数f（x）和它对应，那么就称f：

A-B为从集合A到集合B的一个函数

函数的记法

y=f（x）,xGA

泄义域

xlltl做白变量，x的取值范围A叫做函数的定义域

值域

函数俏的集合{f（x）xeA}叫做函数的俏域

2.区间的概念及表示

定义

名称

符号

数轴表示

{x|aWxWb}

闭区间

[a,b]

—

—ub

{x|a

开区间

（a,b）

{x|aWx〈b}

半开半闭区间

[a,b）

X—

—ub

{x|a〈xWb}

半开半闭区间

（a,b]

-£—a

—X.b

{x|x$a}

半开半闭区间

[a,+°°）

]一

{x|x>a}

开区间

（a,+°°）

{x|xWa}

半开半闭区间

（—8,a]

{x|x

开区间

（—°°,a）

开区间

+°°）

【常考题型】

题型一、函数的判断

【例1】⑴设M={x|0WxW2},N={y|0WyW2},给出下列四个图形:

B.1

D.3

其屮，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是（）

A.0

C.2

⑵卜•列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？

为什么？

⑴［解析］①中，因为在集合M中当KxW2时，在N中无元素与Z对应，所以①不是；

2中，对于集合M中的任意一个数x,在N中都有唯一的数与Z对应，所以②是；③中，x=2对应元素y=3住N,所以③不是；④屮，当x=l时，在N屮何两个元素与之对应，所以④不是.因此只有②是，故选

［答案］B

（2）［解］①是实数集R上的一个函数.它的对应关系f是：

把x乘3再加1,对于任一xeR,3x+1都有唯一确定的值与Z对应，如x=—l,则3x+l=-2与之对应.

同理，②也是实数集R上的一个函数.

3不是实数集R上的函数.因为当x=0时，丄的值不存在.

4不是实数集R上的函数.因为当x<0时，&的值不存在.

【类题通法】

1.判断所给对应是否为函数的方法

（1）首先观察两个数集A,B是否非空；

（2）其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性，即不能没有数y対应数x,也不能有多于一个的数y对应x.

2.根据图形判断对应是否为函数的方法步骤

（1）任取一条垂直于x轴的直线1；

（2）在定义域内平行移动肓线1；

（3）若1与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.

【对点训练】

下列对应或关系式中是A到B的函数的是（）

A.AWR,BER,x2+y2=l

B.A={1,2,3,4},B={0,1},对应关系如图:

C.A=R,B=R,f：

x->y=

x—z

D.A=Z,B=Z,f：

x—y=p2x—1

解析：

选BA错误,x2+y2=1可化为y=±pl—xl显然对任意x^A,y值不唯一.B正确，符合函数的定义.C错误，2WA,在B中找不到与之相对应的数.D错误，一1WA,在B

中找不到与Z相对应的数.

题型二、求函数的定义域

【例2】求下列函数的定义域:

/\x+1一I

（l）y=―二^—一pl—x；

x+lHO,[解]

（1）要使函数有意义，白变量X的取值必须满足丿、、八[1-xNO.

解得xWl且xH—1,

即函数定义域为{x|xWl,且xH—l}・

5—x$0,

（2）要使函数有意义，自变量x的取值必须满足||[|x|—3H0,

解得xW5且xH±3,

即函数定义域为{x|xW5,且xH±3}.

【类题通法】

求函数的定义域应关注四点

（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：

①分式的分母

不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y=x°要求xHO.

（2）不对解析式化简变形，以免定义域变化.

（3）当一个函数山两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.

（4）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“U”连接.

【对点训练】

求下列函数的定义域：

（1）y=2+；

（2）y=#3_x・yjx—1:

⑶y=（x-D°+

解：

（1）当且仅当X—2H0,即xH2时，函数y=2+=有意义，所以这个函数的定义域为{x|xH2}・

3—xNO,

（2）函数有意义，当且仅当亠°解得1WxW3,所以这个函数的定义域为

x-120.

{x|1WxW3}.

k—IMO,

（3）两数有意义，当且仅当5^7^0,

、x+lH0.

解得x>—1,且xHl,

所以这个函数的定义域为{x|x>—1,且xHl}.

题型三、求函数值和值域

【例3】已知f（x）=7^—（x£R,且xH—1）,g（x）=x?

+2（xWR）.

1+x

（1）求f⑵、g⑵的值;

（2）求f［g⑵］的值;

（1）求f（x）g（x）的值域;

［解］（l）・・・f（x）=宀，

1十X

（、11

・・・f⑵=7+2=3;

又Vg（x）=x2+2,

（2）=22+2=6.

（2）f［g

（2）］=f（6）=忌=+

（3）f（x）=#7j■的定义域为{x|xH—1},

・：

值域是（一8,0）U（0,+8）.

g（x）=x2+2的定义域为R,最小值为2,

・・・值域是［2,+-）.

【类题通法】

求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：

（1）观察法：

对于一些比较简单的两数，其值域可通过观察得到；

（2）配方法：

此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；

（3）分离常数法：

此方法主要是针对冇理分式，即将冇理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域;

（4）换元法：

对于一些无理函数（如y=ax土b±7cx土d）,通过换元把它们转化为冇理函数,

然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域.

【对点训练】

求下列函数的值域：

（1）y=x+l,xe{1,2,3,4,5}；

（2）

y=x2—2x+3,xW[0,3）；

（4）y=2x—px—1.

解:

（1）（观察法）因为xG{1,2,3,4,5},分别代入求值,可得函数的值域为{2,3,4,5,6}.

显然口工°’所以yH2•故函数的

（2）（配方法）y=x2—2x+3=（x—1）2+2,由xW[0,3）,再结合函数的图彖（如图仃）），可得函数的值域为[2,6）・

⑶（分离常数法）y=®^=2x-3+7=2+七

值域为（_8,2）U（2,+8）.

（4）

（换元法）设t=寸x—1,贝iJtNO且x=t2+l,所以y=2（t'+l）—t=2（t—由

【练习反馈】

1.下列说法错误的是（）

A.函数值域中的每一个值都有定义域中的一个值与它对应

B.函数的定义域是无限集，则值域也是无限集

C.定义域为对应关系确定后，函数值域也就确定了

D.若函数的定义域只冇一个元索，则值域也只冇一个元素

解析：

选B根据函数的概念即可判断.

2.下列函数中，f（x）与g（x）相等的是（）

A.f（x）=x,g（x）=（&）•'

B.f（x）=x,g（x）

x2—4

C・f（x）=x+2,g（x）=-t

X—z

D.f（x）=|x|,g（x）

解析：

=|x|,与f（x）=x的对应关系不相同,所以不是相等函数;对于C,g（x）=m=x+2（xH2）,与f（x）=x+2的定义域不同,所以不是相等函数；对于D,g（x）=J7=|x|,与f（x）=|x|的对应关系和定义域都相同，所以是相等函数.

3.用区间表示下列数集：

（1）{x1x31}=:

（2）{x|2

（3）{x|x>—1且xH2}=.

答案：

（1）[1,+8）；

（2）（2,4]；（3）（—l,2）U（2,+8）

4.函数丫=±的定义域是A,两数y=p2x+6的值域是B,则AQB=（用区间

表示）•

解析：

函数式『=丄^有意义，只需xH2,即A={x|xH2}；函数y=p2x+620,即B={y|y20}={x|xN0},则AAB={x|0Wx<2,或x>2}.

答案：

[0,2）U（2,+8）

5.若f（x）==^（xH—l）,求f（0）,f（l）,f（l-a）（a^2）,f[f

（2）].

fl〕

（2）一+.r

（2）

1—01—1f（0）H一+0Hrf

（1）H-+1Hp

一+（1—32——a

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