a6>a7,则异常球为 a6
称球问题三
说明
这篇文章试图给出称球问题的一个一般的和严格的解答。
正因为需要做到一般和严格，就要考虑许多平时遇不到的特别情形，所以叙述比较繁琐。
如果对读者对严格的证明没有兴趣，可以只阅读介绍问题和约定记号的第一、第二节，以及第三节末尾27个球的例子，和第五节13个球和40个球的解法。
事实上所有的技巧都已经表现在这几个例子里了。
一、问题
称球问题的经典形式是这样的：
“有十二个外表相同的球，其中有一个坏球，它的重量和其它十一个有轻微的（但是可以测量出来的）差别。
现在有一架没有砝码的很灵敏的天平，问如何称三次就保证找出那个坏球，并知道它比标准球重还是轻。
”
这可能是网上被做过次数最多的一道智力题了。
它的一种解法如下：
将十二个球编号为1-12。
第一次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。
1.如果右重则坏球在1-8号。
第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放
在右边。
就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。
1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。
如果是1号，
则它比标准球轻；如果是5号，则它比标准球重。
第三次将1号放在左边，2号放在右边。
1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；
3.这次不可能左重。
2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且比标准球轻。
第三次将2号放在左边，3号放在右边。
1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻。
3.如果左重则坏球在拿到左边的6-8号，且比标准球重。
第三次将6号放在左边，7号放在右边。
1.如果右重则7号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则8号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则6号是坏球且比标准球重。
2.如果天平平衡，则坏球在9-12号。
第二次将1-3号放在左边，9-11号放在右边。
1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重。
第三次将9号放在左边，10号放在右边。
1.如果右重则10号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则11号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则9号是坏球且比标准球重。
2.如果平衡则坏球为12号。
第三次将1号放在左边，12号放在右边。
1.如果右重则12号是坏球且比标准球重；
2.这次不可能平衡；
3.如果左重则12号是坏球且比标准球轻。
3.如果左重则坏球在9-11号且坏球较轻。
第三次将9号放在左边，10号放在右边。
1.如果右重则9号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则11号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则10号是坏球且比标准球轻。
3.如果左重则坏球在1-8号。
第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放
在右边。
就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。
1.如果右重则坏球在拿到左边的6-8号，且比标准球轻。
第三次将6号放在左边，7号放在右边。
1.如果右重则6号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则8号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则7号是坏球且比标准球轻。
2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且比标准球重。
第三次将2号放在左边，3号放在右边。
1.如果右重则3号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则4号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则2号是坏球且比标准球重。
3.如果左重则坏球在没有被触动的1,5号。
如果是1号，
则它比标准球重；如果是5号，则它比标准球轻。
第三次将1号放在左边，2号放在右边。
1.这次不可能右重。
2.如果平衡则5号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则1号是坏球且比标准球重；
够麻烦的吧。
其实里面有许多情况是对称的，比如第一次称时的右重和右轻，只需考虑一种就可以了，另一种完全可以比照执行。
我把整个过程写下来，只是想吓唬吓唬大家。
稍微试一下，就可以知道只称两次是不可能保证找到坏球的。
如果给的是十三个球，以上的解法也基本有效，只是要有个小小的改动，就是在这种情况下，在第一第二次都平衡的时候，第三次还是有可能平衡（就是上面的第2.2.2步），那么我们可以肯定坏球是13号球，可是我们没法知道它到底是比标准球轻，还是比标准球重。
如果给的是十四个球，我们会发现无论如何也不可能只称三次，就保证找出坏球。
一个自然而然的问题就是：
对于给定的自然数N，我们怎么来解有N个球的称球问题？
在下面的讨论中，给定任一自然数N，我们要解决以下问题：
⑴找出N球称球问题所需的最小次数，并证明以上所给的最小次数的确是最小的；
⑵给出最小次数称球的具体方法；
⑶如果只要求找出坏球而不要求知道坏球的轻重，对N球称球问题解决以上两个问题；
还有一个我们并不是那么感兴趣，但是作为副产品的问题是：
⑷如果除了所给的N个球外，另外还给一标准球，解决以上三个问题。
二、记号
我们先不忙着马上着手解决上述问题。
先得给出几个定义，尤其是，要给出比较简单的符号和记法。
大家看到上面给出的解法写起来实在麻烦——想象一下如果我们要用这种方法来描述称40个或1000个球的问题！
仍旧考虑十二个球的情况和上面举的解法。
在还没有开始称第一次时，我们对这十二个球所知的信息就是其中有一或较轻，或较重的坏球，所以以下24种情况都是可能的：
1.1号是坏球，且较重；
2.2号是坏球，且较重；
……
12.12号是坏球，且较重；
13.1号是坏球，且较轻；
14.2号是坏球，且较轻；
……
24.12号是坏球，且较轻。
没有其他的可能性，比如说“1、2号都是坏球，且都较重”之类。
当我们按上面解法“先将1-4号放在左边，5-8号放在右边”称过第一次以后，假设结果是右重，稍微分析一下，就会知道上面的24种情况中，现在只有8种是可能的，就是
1.1号是坏球，且较轻；
2.2号是坏球，且较轻；
3.3号是坏球，且较轻；
4.4号是坏球，且较轻；
5.5号是坏球，且较重；
6.6号是坏球，且较重；
7.7号是坏球，且较重；
8.8号是坏球，且较重。
我们把诸如“1号是坏球，且较重，其他球都正常”和“2号是坏球，且较轻，其他球都正常”这样的情况，称为一种“布局”，并记为：
（1重） 和 （2轻）
我们把“先将1-4号放在左边，5-8号放在右边”这样的步骤，称为一次“称量”。
我们把上面这次称量记为
（1,2,3,4;5,6,7,8）
或
（1-4;5-8）
也就是在括号内写出参加称量的球的号码，并且以分号分开放在左边和放在右边的球号。
在最一开始，我们有24种可能的布局，而在经过一次称量（1-4;5-8）后，如果结果是右重，我们就剩下上述8种可能的布局。
我们的目的，就是要使用尽量少的称量，而获得唯一一种可能的布局——这样我们就知道哪个球是坏球，它是比较重还是比较轻。
这里我们注意到没有必要去考虑两边球数不相等的称量。
因为坏球和标准球重量之间的差别很小，小于标准球的重量，所以当天平两边球数不一样时，天平一定向球比较多的那边倾斜。
所以在进行这样一次称量之前，它的的结果就可以被预料到，它不能给我们带来任何
新的信息。
事实上在看完本文以后大家就很容易明白，即使坏球和标准球重量之间的差别很大，也不会影响本文的结论。
因为考虑这种情况会使问题变麻烦，而并不能带来有趣的结果，我们就省略对此的考虑。
现在我们看到，上面关于十二个球问题的解法，其实就是由一系列称量组成的——可不是随随便便的组合，而是以这样的形式构成的：
称量1
如果右重，则
称量3
……
如果平衡，则
称量2
……
如果左重，则
称量4
……
省略号部分则又是差不多的“如果右重，则……”等等。
所以这就提示我们用树的形式来表示上面的解法：
树的根是第一次称量，它有三个分支（即三棵子树，于是根有三个子节点），分别对应着在这个称量下的右重、平衡、左重三种情况。
在根的三个子节点上，又分别有相应的称量，和它们的三个分支……如果具体地写出来，就是
|--右--（1轻）
|--右--（1;2）|--平--（5重）
||--左--（）
|
||--右--（2轻）
|--右--（1,6-8;|--平--（2;3）|--平--（4轻）
|5,9-11）||--左--（3轻）
||
|||--右--（7重）
||--左--（6;7）|--平--（8重）
||--左--（6重）
|
||--右--（10重）
||--右--（9;10）|--平--（11重）
|||--左--（9重）
||
|||--右--（12重）
（1-4;5-8）|--平--（1-3;|--平--（1;12）|--平--（13轻,13重）*
|9-11）||--左--（12轻）
||
|||--右--（9轻）
||--左--（9;10）|--平--（11轻）
||--左--（10轻）
|
||--右--（6轻）
||--右--（6;7）|--平--（8轻）
|||--左--（7轻）
||
|||--右--（3重）
|--左--（1,6-8;|--平--（2;3）|--平--（4重）
5,9-11）||--左--（2重）
|
||--右--（）
|--左--（1;2）|--平--（5轻）
|--左--（1重）
（*：
对应十三个球的情形。
）
这里“右”、“平”和“左”分别表示称量的结果为“右重”、“平衡”和“左重”所对应的分支。
在树的叶子（就是最右边没有子节点的那些节点）部分，我们标出了“能够到达”这些节点的布局，也就是说在进行每一节点上的称量时，这个布局所给的结果和通往相对应的叶子的道路上所标出的“右”、“平”和“左”相符合。
从这个图我们也可以清楚地看到，根下的左分支和右分支是对称的：
只需要把所有的“右”改成“左”，“左”改成“右”，“轻”改成“重”，“重”改成“轻”；节点（1-3;9-11）下的左分支和右分支也有这个特点。
（如果有朋友对树理论感兴趣，可以参考随便哪一本图论或者离散数学的书。
在这里我们只用到树理论里最基本的知识，所用的名词和结论都是相当直观的。
所以如果你不知道树理论，用不着特别去学也可以看懂这里的论证。
）
所以给定一棵三分树（就是说除了叶子以外其他的节点都有三个子节点的树），在每个不是叶子的节点上给定一个称量，并且规定这个节点下的三个分支（子树）分别对应右重、平衡、左重的情况，我们就得到了一种称球的方法。
我们把这样一棵三分树称为一个“策略”或一棵“策略树”。
你可以给出一个平凡的策略，比如说无论发生了什么事总是把1号和2号球放在左右两侧来称（在叶子上我们没有写出相应的布局，用@来代替）：
|--右--@A
|--右--（1;2）|--平--@
||--左--@
|
||--右--@
（1;2）|--平--（1;2）|--平--@
||--左--@
|
||--右--@B
||--右--（1;2）|--平--@
|||--左--@
||
|||--右--@
|--左--（1;2）|--平--（1;2）|--平--@
||--左--@
|
||--右--@
|--左--（1;2）|--平--@
|--左--@
当然这么个策略没什么用场，只能让我们知道1号球和2号球之间的轻重关系。
另外我们看到，每个分支不一定一样长，上面这棵策略树根下面左分支就比较长。
一棵树的高度是叶子到根之间的结点数的最大值加一。
比如说上面这个图中，叶子A和根间有1个节点，而叶子B和根间有2个节点，没有和根之间的节点数超过2的叶子。
所以它的高度是2+1=3。
前面十二球解法策略树的高度也是3。
一棵没有任何分支，只有根节点的树，我们定义它的高度是0。
显然，策略树的高度就是实行这个策略所需要的称量的次数。
我们的目的，就是找到一棵“好”的策略树，使得它的高度最小。
什么是“好”策略？
我们回过头来再看十二球解法策略树。
我们说过，叶子上的那些布局都是从根开始通向叶子的。
比如说布局（7重），它之所以在那片叶子上是因为按照这个策略，三次称量的结果是“右左右”；又比如说布局（11重），它之所以在那片叶子上是因为按照这个策略，三次称量的结果是“平右平”。
如果两个布局通向同一片叶子，那么就是说按照这个策略，三次称量的结果是完全一样的，于是我们就不能通过这个策略来把这两种布局区分开来。
比如说在十三个球的情况下，（13轻）和（13重）都通向和“平平平”相对应的叶子，这两个布局中13号球或者轻或者重，于是我们知道13号球一定是坏球，但是通过这个策略我们不可能知道它到底是轻还是重。
所以对于标准的称球问题（找出坏球并知其比标准球重或轻）的“好”策略，就是那些能使不同的布局通向不同的叶子的策略。
三、每个球都已知可能为轻或可能为重的情况
先引入一个记号：
对于任意实数a，我们用{a}表示大于等于a的最小整数，比如说{2.5}=3，{4}=4；我们用[a]表示小于等于a的最大整数，比如说[2.5]=2，[4]=4。
我们首先考虑这样一种布局的集合。
假设m，n为两个非负实数，不同时为0。
在编号从1到m+n的m+n个球中，我们知道1到m号球要么是标准球，要么比标准球重，而m+1到m+n号球要么是标准球，要么比标准球轻；我们还知道其中有一个是坏球（但不知轻重）。
换句话说，我们知道真实的情况是以下m+n种布局之一：
1.1号是坏球，且较重；
2.2号是坏球，且较重；
……
m.m号是坏球，且较重；
m+1.m+1号是坏球，且较轻；
m+2.m+2号是坏球，且较轻；
……
m+n.m+n号是坏球，且较轻。
有一种特殊的情况是m=0或n=0，也就是说坏球的是轻还是重已经知，常常被用来单独作为智力题。
结论1：
1）在以上条件成立的情况下，要保证在m+n个球中找出坏球并知道
其轻重，至少需要称{log3（m+n）}次。
2）如果m和n不同时为1，那么称{log3（m+n）}次就足够了。
如果
m=n=1，并且另有一标准球，那么称{log3（m+n）}={log3（1+1）}=1
次也足够了。
这里log3表示以3为底的对数。
需要对2）作点说明。
如果m=n=1而没有标准球的话，那么是永远也称不出坏球来的。
把两个球一边一个放在天平上，必然是1号重2号轻。
但是由于没有标准球，我们无法知道是坏球比较重所以1号是坏的，还是坏球比较轻所以2号是坏的。
如果有标准球，只要把1号球和标准球比较一下。
如果天平不平衡，那么1号球是坏球，且比较重；如果天平平衡，那么2号球是坏球，且比较轻。
策略树如下：
（用s表示标准球）
|--右--（）
|
|
（1;s）|--平--（2轻）
|
|
|--左--（1重）
现在来证明1）。
在上面我们看到，可能的布局是m+n种（1重，2重，……，m重，m+1轻，m+2轻，……，m+n轻）。
假设我们已经有一个策略能保证在这m+n个球中找出坏球并知道其轻重，那么每一个布局都要通向策略树上的不同叶子，这棵策略树至少需要有m+n片叶子。
但是一棵高度为H的三分树最多只能有3H片叶子。
于是这棵策略树必须满足条件
3H≥m+n
也就是
H≥log3（m+n）
考虑到H是整数，我们就证明了
H≥{log3（m+n）}
现在我们要具体找到一棵高度为{log3（m+n）}的策略树，使得m+n种布局通向它的不同叶子。
我们对k=m+n使用数学归纳法。
首先k=1。
那么称都不要称，因为必有一坏球，那么坏球就是唯一的1号球。
如果是m=1，n=0，那么1号球比较重；如果是m=0，n=1，那么1号球比较轻。
需要的称量次数为{log3
（1）}=0。
对于k=2。
m=1，n=1的情况已经讨论过了。
考虑m=2，n=0。
这时我们知道坏球比较重。
只要把1号球和2号球放在天平两边一称，哪个比较重哪个就是坏球。
策略树如下：
|--右--（2重）
|
|
（1;2）|--平--（）
|
|
|--左--（1重）
m=0，n=2的情况完全类似。
假设对于m+n＜k的情况我们都可以用{log3（k）}次称出坏球。
考虑m+n=k的情况。
我们把1到m号球称为第一组球，m+1到n号球称为第二组球。
设H={log3（m+n）}＝{log3（k）}。
那么我们有
3H-1＜k≤3H
3H-2＜k/3≤3H-1
3H-2＜{k/3}≤3H-1
于是
{log3{k/3}}=H-1。
现在我们把这k个球分为三堆，第一堆和第二堆分别有{k/3}个球，并且这两堆中属于第一组的球的数目一样（于是属于第二组的球的数目也一样），第三堆中有k-2{k/3}个球（也就是其余的球）。
举一个例子，如果m=7，n=3，那么这三堆可以分成这样：
（当然不是唯一的分法）
第一堆：
1，2，3，7 （属于第一组的3个，第二组的1个）
第二堆：
4，5，6，8 （属于第一组的3
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