称球问题及其推广.docx

1、称球问题及其推广称球问题及其推广称球问题一有十二个小球特征相同，其中只有一个质量异常，要求用一部没有砝码的天平称三次，将那个质量异常的球找出来。从信息论来看，12个球一个重量异常，出现概率1/12；该球质量可能轻也可能重，那么出现概率为1/2。那么要得到结果所需信息量为log2+log12。称一次可能有轻、重、相等三种结果，信息量为log3。log24/log33，三次应该能称出来。 异常球出现概率1/12；该球质量可能轻也可能重，那么出现概率为1/2，就是说异常球为轻时，概率为1/24，为重时也是1/24，最后你知道哪个球异常，必然也必须知道它是重于一般球还是轻于一般球，所以，你要在这24种

2、可能中找到对的那一种可能，那么所需信息量为-log1/24=log（2*12），不知道这样解释对不对？将球分为3组，每组4个，任取两组称一次，若两边等重，则异常球在其余一组中，通过8个正常球很容易找出异常球。若两组不等重，假设A组重，B组轻。取A组取两个，B组取一个为甲组；取A组一个、B组1个，正常球一个为乙组，进行称重。若两者相等，没有进入甲乙两组的球中，可能是A组剩余那个超重或是B组剩余的两个轻，将乙组两个称重，若等重则A组剩余那个异常，否则两个中较轻的异常。若甲组重，则甲组中的两个原A组的重或是乙组中原B组的轻，将A组那两个称重，若等重则乙组中原B组的球异常，否则A组中较重的为异常球。若

3、甲组轻，则甲组中原B组的异常或是乙组中原A组的异常，任取一个与正常球对比即可找出异常球。称球问题二原题为：有十二个小球特征相同，其中只有一个质量异常，要求用一部没有砝码的天平称三次，将那个质量异常的球找出来。 解： 设标准小球质量为w，将12个小球依次编号为a1,a2,.,a12，分组为： a1,a2 ,a3 ,a4 为A1组 a5,a6 ,a7 ,a8 为A2组 a9,a10,a11,a12 为A3组 =（第一次）1选定任意2组-取A1,A2进行比较，如果1 A1=A2则A1/A2组8个小球a1,a2,.,a8均为正常小球，质量均为w 则A3组为异常球组 重新分组为: B1:a9 a10 B

4、2:a11 a1 B3:a12 a2 =（第二次）取B2 B3 任意1组-B2 与 B1 进行比较，如果1.1 B1=B2 则 B1 B2 为正常组，B3(a11,a2)为异常组,因为a2为正常球，所以异常球为a121.2 B1B2,则 B3 为正常组，以B1B2为例说明 表达式 EXP0:a9+a10 a11 +a1 =（第三次）取a9 a10 进行比较,如果1.2.1 a9 = a10 则 a11 为异常球1.2.2 a9 != a10 则 a11 为正常球，根据 EXP0,异常球质量小于正常球，即 a9 与 a10 轻者为异常球2 A1A2,则A3为正常组;以A1A2说明：得表达式1:

5、EXP1: a1+a2+a3+a4a5+a6+a7+a8 表达式2: EXP2: a9=a10=a11=a12=w 重新分组为: B1:a1,a2,a3 B2:a4,a5,a9 B3:a6,a7,a8 =（第二次）取B1或B3与B2比较，以B1为例说明:2.1 B1B2 则B3为正常组 即： EXP4: a1+a2+a3 a4+a5+a9 EXP5: a6=a7=a8=w 其中 a9=w 关联 EXP1: a1+a2+a3+a4 a5+a6+a7+a8 相减a4 -a4 + 2w a4 B2 则B3为正常组 即： EXP6: a1+a2+a3 a4+a5+a9 EXP7: a6=a7=a8=w

6、 其中 a9=w 关联 EXP1: a1+a2+a3+a4 -a5-a6-a7-a8 相加 -a4 a4-2w a4 w 则异常球为 a42.3 B1=B2 则B3为异常组 得表达式3: EXP3: a1=a2=a3=a4=a5=w 关联 EXP1: a1+a2+a3+a4a5+a6+a7+a8 得 3wa6+a7+a8 即推出如下结论 1) 异常球质量大于正常球 2) 异常球在B3(a6,a7,a8)中=(第三次)比较任意的两个-a6,a7,如果 a6=a7，则异常球为 a8 a6a7, 则异常球为a6 称球问题三说明这篇文章试图给出称球问题的一个一般的和严格的解答。正因为需要做到一般和严格

7、，就要考虑许多平时遇不到的特别情形，所以叙述比较繁琐。如果对读者对严格的证明没有兴趣，可以只阅读介绍问题和约定记号的第一、第二节，以及第三节末尾27个球的例子，和第五节13个球和40个球的解法。事实上所有的技巧都已经表现在这几个例子里了。一、问题称球问题的经典形式是这样的：“有十二个外表相同的球，其中有一个坏球，它的重量和其它十一个有轻微的（但是可以测量出来的）差别。现在有一架没有砝码的很灵敏的天平，问如何称三次就保证找出那个坏球，并知道它比标准球重还是轻。”这可能是网上被做过次数最多的一道智力题了。它的一种解法如下：将十二个球编号为1-12。第一次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。1

8、.如果右重则坏球在1-8号。第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放在右边。就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。如果是1号，则它比标准球轻；如果是5号，则它比标准球重。第三次将1号放在左边，2号放在右边。1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；3.这次不可能左重。2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且比标准球轻。第三次将2号放在左边，3号放在右边。1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻；3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻。3.如果

9、左重则坏球在拿到左边的6-8号，且比标准球重。第三次将6号放在左边，7号放在右边。1.如果右重则7号是坏球且比标准球重；2.如果平衡则8号是坏球且比标准球重；3.如果左重则6号是坏球且比标准球重。2.如果天平平衡，则坏球在9-12号。第二次将1-3号放在左边，9-11号放在右边。1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重。第三次将9号放在左边，10号放在右边。1.如果右重则10号是坏球且比标准球重；2.如果平衡则11号是坏球且比标准球重；3.如果左重则9号是坏球且比标准球重。2.如果平衡则坏球为12号。第三次将1号放在左边，12号放在右边。1.如果右重则12号是坏球且比标准球重；2.这次不可能平

10、衡；3.如果左重则12号是坏球且比标准球轻。3.如果左重则坏球在9-11号且坏球较轻。第三次将9号放在左边，10号放在右边。1.如果右重则9号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则11号是坏球且比标准球轻；3.如果左重则10号是坏球且比标准球轻。3.如果左重则坏球在1-8号。第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放在右边。就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。1.如果右重则坏球在拿到左边的6-8号，且比标准球轻。第三次将6号放在左边，7号放在右边。1.如果右重则6号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则8号是坏球且比标准球轻；3.如果左重则7号是坏球且比标

11、准球轻。2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且比标准球重。第三次将2号放在左边，3号放在右边。1.如果右重则3号是坏球且比标准球重；2.如果平衡则4号是坏球且比标准球重；3.如果左重则2号是坏球且比标准球重。3.如果左重则坏球在没有被触动的1,5号。如果是1号，则它比标准球重；如果是5号，则它比标准球轻。第三次将1号放在左边，2号放在右边。1.这次不可能右重。2.如果平衡则5号是坏球且比标准球轻；3.如果左重则1号是坏球且比标准球重；够麻烦的吧。其实里面有许多情况是对称的，比如第一次称时的右重和右轻，只需考虑一种就可以了，另一种完全可以比照执行。我把整个过程写下来，只是想吓唬吓唬大家。稍微试

12、一下，就可以知道只称两次是不可能保证找到坏球的。如果给的是十三个球，以上的解法也基本有效，只是要有个小小的改动，就是在这种情况下，在第一第二次都平衡的时候，第三次还是有可能平衡（就是上面的第2.2.2步），那么我们可以肯定坏球是13号球，可是我们没法知道它到底是比标准球轻，还是比标准球重。如果给的是十四个球，我们会发现无论如何也不可能只称三次，就保证找出坏球。一个自然而然的问题就是：对于给定的自然数N，我们怎么来解有N个球的称球问题？在下面的讨论中，给定任一自然数N，我们要解决以下问题：找出N球称球问题所需的最小次数，并证明以上所给的最小次数的确是最小的；给出最小次数称球的具体方法；如果只要求

13、找出坏球而不要求知道坏球的轻重，对N球称球问题解决以上两个问题；还有一个我们并不是那么感兴趣，但是作为副产品的问题是：如果除了所给的N个球外，另外还给一标准球，解决以上三个问题。二、记号我们先不忙着马上着手解决上述问题。先得给出几个定义，尤其是，要给出比较简单的符号和记法。大家看到上面给出的解法写起来实在麻烦想象一下如果我们要用这种方法来描述称40个或1000个球的问题！仍旧考虑十二个球的情况和上面举的解法。在还没有开始称第一次时，我们对这十二个球所知的信息就是其中有一或较轻，或较重的坏球，所以以下24种情况都是可能的：1. 1号是坏球，且较重；2. 2号是坏球，且较重；12. 12号是坏球，

14、且较重；13. 1号是坏球，且较轻；14. 2号是坏球，且较轻；24. 12号是坏球，且较轻。没有其他的可能性，比如说“1、2号都是坏球，且都较重”之类。当我们按上面解法“先将1-4号放在左边，5-8号放在右边”称过第一次以后，假设结果是右重，稍微分析一下，就会知道上面的24种情况中，现在只有8种是可能的，就是1. 1号是坏球，且较轻；2. 2号是坏球，且较轻；3. 3号是坏球，且较轻；4. 4号是坏球，且较轻；5. 5号是坏球，且较重；6. 6号是坏球，且较重；7. 7号是坏球，且较重；8. 8号是坏球，且较重。我们把诸如“1号是坏球，且较重，其他球都正常”和“2号是坏球，且较轻，其他球都正

15、常”这样的情况，称为一种“布局”，并记为：(1重)和(2轻)我们把“先将1-4号放在左边，5-8号放在右边”这样的步骤，称为一次“称量”。我们把上面这次称量记为(1,2,3,4; 5,6,7,8)或(1-4; 5-8)也就是在括号内写出参加称量的球的号码，并且以分号分开放在左边和放在右边的球号。在最一开始，我们有24种可能的布局，而在经过一次称量(1-4; 5-8)后，如果结果是右重，我们就剩下上述8种可能的布局。我们的目的，就是要使用尽量少的称量，而获得唯一一种可能的布局这样我们就知道哪个球是坏球，它是比较重还是比较轻。这里我们注意到没有必要去考虑两边球数不相等的称量。因为坏球和标准球重量之

16、间的差别很小，小于标准球的重量，所以当天平两边球数不一样时，天平一定向球比较多的那边倾斜。所以在进行这样一次称量之前，它的的结果就可以被预料到，它不能给我们带来任何新的信息。事实上在看完本文以后大家就很容易明白，即使坏球和标准球重量之间的差别很大，也不会影响本文的结论。因为考虑这种情况会使问题变麻烦，而并不能带来有趣的结果，我们就省略对此的考虑。现在我们看到，上面关于十二个球问题的解法，其实就是由一系列称量组成的可不是随随便便的组合，而是以这样的形式构成的：称量1如果右重，则称量3如果平衡，则称量2如果左重，则称量4省略号部分则又是差不多的“如果右重，则”等等。所以这就提示我们用树的形式来表示

17、上面的解法：树的根是第一次称量，它有三个分支（即三棵子树，于是根有三个子节点），分别对应着在这个称量下的右重、平衡、左重三种情况。在根的三个子节点上，又分别有相应的称量，和它们的三个分支如果具体地写出来，就是 |-右-( 1轻) |-右-(1 ; 2)|-平-( 5重) | |-左-( ) | | |-右-( 2轻) |-右-(1,6-8; |-平-(2 ; 3)|-平-( 4轻) | 5,9-11)| |-左-( 3轻) | | | | |-右-( 7重) | |-左-(6 ; 7)|-平-( 8重) | |-左-( 6重) | | |-右-(10重) | |-右-(9 ;10)|-平-(1

18、1重) | | |-左-( 9重) | | | | |-右-(12重)(1-4;5-8)|-平-(1-3; |-平-(1 ;12)|-平-(13轻, 13重)* | 9-11)| |-左-(12轻) | | | | |-右-( 9轻) | |-左-(9 ;10)|-平-(11轻) | |-左-(10轻) | | |-右-( 6轻) | |-右-(6 ; 7)|-平-( 8轻) | | |-左-( 7轻) | | | | |-右-( 3重) |-左-(1,6-8; |-平-(2 ; 3)|-平-( 4重) 5,9-11)| |-左-( 2重) | | |-右-( ) |-左-(1 ; 2)|-平

19、-( 5轻) |-左-( 1重)（*：对应十三个球的情形。）这里“右”、“平”和“左”分别表示称量的结果为“右重”、“平衡”和“左重”所对应的分支。在树的叶子（就是最右边没有子节点的那些节点）部分，我们标出了“能够到达”这些节点的布局，也就是说在进行每一节点上的称量时，这个布局所给的结果和通往相对应的叶子的道路上所标出的“右”、“平”和“左”相符合。从这个图我们也可以清楚地看到，根下的左分支和右分支是对称的：只需要把所有的“右”改成“左”，“左”改成“右”，“轻”改成“重”，“重”改成“轻”；节点(1-3; 9-11)下的左分支和右分支也有这个特点。（如果有朋友对树理论感兴趣，可以参考随便哪一

20、本图论或者离散数学的书。在这里我们只用到树理论里最基本的知识，所用的名词和结论都是相当直观的。所以如果你不知道树理论，用不着特别去学也可以看懂这里的论证。）所以给定一棵三分树（就是说除了叶子以外其他的节点都有三个子节点的树），在每个不是叶子的节点上给定一个称量，并且规定这个节点下的三个分支（子树）分别对应右重、平衡、左重的情况，我们就得到了一种称球的方法。我们把这样一棵三分树称为一个“策略”或一棵“策略树”。你可以给出一个平凡的策略，比如说无论发生了什么事总是把1号和2号球放在左右两侧来称（在叶子上我们没有写出相应的布局，用来代替）： |-右-A |-右-(1; 2)|-平- | |-左- |

21、 | |-右-(1; 2)|-平-(1; 2)|-平- | |-左- | | |-右-B | |-右-(1; 2)|-平- | | |-左- | | | | |-右- |-左-(1; 2)|-平-(1; 2)|-平- | |-左- | | |-右- |-左-(1; 2)|-平- |-左-当然这么个策略没什么用场，只能让我们知道1号球和2号球之间的轻重关系。另外我们看到，每个分支不一定一样长，上面这棵策略树根下面左分支就比较长。一棵树的高度是叶子到根之间的结点数的最大值加一。比如说上面这个图中，叶子A和根间有1个节点，而叶子B和根间有2个节点，没有和根之间的节点数超过2的叶子。所以它的高度是2+

22、1=3。前面十二球解法策略树的高度也是3。一棵没有任何分支，只有根节点的树，我们定义它的高度是0。显然，策略树的高度就是实行这个策略所需要的称量的次数。我们的目的，就是找到一棵“好”的策略树，使得它的高度最小。什么是“好”策略？我们回过头来再看十二球解法策略树。我们说过，叶子上的那些布局都是从根开始通向叶子的。比如说布局(7重)，它之所以在那片叶子上是因为按照这个策略，三次称量的结果是“右左右”；又比如说布局(11重)，它之所以在那片叶子上是因为按照这个策略，三次称量的结果是“平右平”。如果两个布局通向同一片叶子，那么就是说按照这个策略，三次称量的结果是完全一样的，于是我们就不能通过这个策略来

23、把这两种布局区分开来。比如说在十三个球的情况下，(13轻)和(13重)都通向和“平平平”相对应的叶子，这两个布局中13号球或者轻或者重，于是我们知道13号球一定是坏球，但是通过这个策略我们不可能知道它到底是轻还是重。所以对于标准的称球问题（找出坏球并知其比标准球重或轻）的“好”策略，就是那些能使不同的布局通向不同的叶子的策略。三、每个球都已知可能为轻或可能为重的情况先引入一个记号：对于任意实数a，我们用a表示大于等于a的最小整数，比如说2.5=3，4=4；我们用a表示小于等于a的最大整数，比如说2.5=2，4=4。我们首先考虑这样一种布局的集合。假设m，n为两个非负实数，不同时为0。在编号从1

24、到m+n的m+n个球中，我们知道1到m号球要么是标准球，要么比标准球重，而m+1到m+n号球要么是标准球，要么比标准球轻；我们还知道其中有一个是坏球（但不知轻重）。换句话说，我们知道真实的情况是以下m+n种布局之一：1. 1号是坏球，且较重；2. 2号是坏球，且较重；m. m号是坏球，且较重；m+1. m+1号是坏球，且较轻；m+2. m+2号是坏球，且较轻；m+n. m+n号是坏球，且较轻。有一种特殊的情况是m=0或n=0，也就是说坏球的是轻还是重已经知，常常被用来单独作为智力题。结论1：1)在以上条件成立的情况下，要保证在m+n个球中找出坏球并知道其轻重，至少需要称log3(m+n)次。2

25、)如果m和n不同时为1，那么称log3(m+n)次就足够了。如果m=n=1，并且另有一标准球，那么称log3(m+n)=log3(1+1)=1次也足够了。这里log3表示以3为底的对数。需要对2)作点说明。如果m=n=1而没有标准球的话，那么是永远也称不出坏球来的。把两个球一边一个放在天平上，必然是1号重2号轻。但是由于没有标准球，我们无法知道是坏球比较重所以1号是坏的，还是坏球比较轻所以2号是坏的。如果有标准球，只要把1号球和标准球比较一下。如果天平不平衡，那么1号球是坏球，且比较重；如果天平平衡，那么2号球是坏球，且比较轻。策略树如下：（用s表示标准球） |-右-( ) | |(1; s)

26、|-平-(2轻) | | |-左-(1重) 现在来证明1)。在上面我们看到，可能的布局是m+n种（1重，2重，m重，m+1轻，m+2轻，m+n轻）。假设我们已经有一个策略能保证在这m+n个球中找出坏球并知道其轻重，那么每一个布局都要通向策略树上的不同叶子，这棵策略树至少需要有m+n片叶子。但是一棵高度为H的三分树最多只能有3H片叶子。于是这棵策略树必须满足条件3H m+n也就是H log3(m+n)考虑到H是整数，我们就证明了H log3(m+n)现在我们要具体找到一棵高度为log3(m+n)的策略树，使得m+n种布局通向它的不同叶子。我们对k=m+n使用数学归纳法。首先k=1。那么称都不要称

27、，因为必有一坏球，那么坏球就是唯一的1号球。如果是m=1，n=0，那么1号球比较重；如果是m=0，n=1，那么1号球比较轻。需要的称量次数为log3(1)=0。对于k=2。m=1，n=1的情况已经讨论过了。考虑m=2，n=0。这时我们知道坏球比较重。只要把1号球和2号球放在天平两边一称，哪个比较重哪个就是坏球。策略树如下： |-右-(2重) | |(1; 2)|-平-( ) | | |-左-(1重)m=0，n=2的情况完全类似。假设对于m+nk的情况我们都可以用log3(k)次称出坏球。考虑m+n=k的情况。我们把1到m号球称为第一组球，m+1到n号球称为第二组球。设H=log3(m+n)log3(k)。那么我们有3H-1 k 3H3H-2 k/3 3H-13H-2 k/3 3H-1于是log3k/3=H-1。现在我们把这k个球分为三堆，第一堆和第二堆分别有k/3个球，并且这两堆中属于第一组的球的数目一样（于是属于第二组的球的数目也一样），第三堆中有k-2k/3个球（也就是其余的球）。举一个例子，如果m=7，n=3，那么这三堆可以分成这样：（当然不是唯一的分法）第一堆：1，2，3，7（属于第一组的3个，第二组的1个）第二堆：4，5，6，8（属于第一组的3