相似三角形模型讲解一线三等角问题.docx

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相似三角形模型讲解一线三等角问题

第一部分相似三角形模型分析

一、相似三角形判定的基本模型认识

（一）A字型、反A字型（斜A字型）

（平行）

（不平行）

（二）8字型、反8字型

（蝴蝶型）

（平行）（不平行）

（三）母子型

（四）一线三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

（五）一线三直角型：

（六）双垂型：

二、相似三角形判定的变化模型

旋转型：

由A字型旋转得到。

8字型拓展

共享性

一线三等角的变形

一线三直角的变形

第二部分相似三角形典型例题讲解

母子型相似三角形

例1：

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．

求证：

．

例2：

已知：

如图，△ABC中，点E在中线AD上,

．

求证：

（1）

；

（2）

．

例3：

已知：

如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．

求证：

．

相关练习：

1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：

．

2、已知：

AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。

求证：

（1）△AME∽△NMD;

（2）ND

=NC·NB

3、已知：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。

求证：

EB·DF=AE·DB

4.在

中，AB=AC，高AD与BE交于H，

，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。

求证：

5．（本题满分14分，第

（1）小题满分4分，第

（2）、（3）小题满分各5分）

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．

（1）求证：

AE=2PE；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．

双垂型

1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高

求证：

（1）△ABD∽△ACE；

（2）△ADE∽△ABC；（3）BC=2ED

2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=6

，求：

点B到直线AC的距离。

共享型相似三角形

1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=

，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.

2、已知：

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．

求证：

（1）△ABE∽△ACD；

（2）

．

一线三等角型相似三角形

例1：

如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°

（1）求证：

△BDE∽△CFD

（2）当BD=1，FC=3时，求BE

例2：

（1）在

中，

，

，点

、

分别在射线

、

上（点

不与点

、点

重合），且保持

.

①若点

在线段

上（如图），且

，求线段

的长；

②若

，

，求

与

之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

（2）

正方形

的边长为

（如下图），点

、

分别在直线

、

上（点

不与点

、点

重合），且保持

.当

时，求出线段

的长.

例3：

已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．

（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．

①求证；△ABP∽△DPC

②求AP的长．

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么

①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当CE＝1时，写出AP的长．

例4：

如图，在梯形

中，

∥

，

，

．点

为边

的中点，以

为顶点作

，射线

交腰

于点

，射线

交腰

于点

，联结

．

（1）求证：

△

∽△

；

（2）若△

是以

为腰的等腰三角形，求

的长；

（3）若

，求

的长．

相关练习：

1、如图，在△ABC中，

，

，

是

边上的一个动点，点

在

边上，且

．

（1）求证：

△ABD∽△DCE；

（2）如果

，

，求

与

的函数解析式，并写出自变量

的定义域；

（3）当点

是

的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．

2、如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结DE，并作

，射线EF交线段AC于F．

（1）求证：

△DBE∽△ECF；

（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；

（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．

3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．

（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：

△BEP∽△CPD；

（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么

①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=

，DF=

，求

关于

的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当

时，求BP的长．

4、如图，已知边长为

的等边

，点

在边

上，

，点

是射线

上一动点，以线段

为边向右侧作等边

，直线

交直线

于点

，

（1）写出图中与

相似的三角形；

（2）证明其中一对三角形相似；

（3）设

，求

与

之间的函数关系式，并写出自变量

的取值范围；

（4）若

，试求

的面积．

一线三直角型相似三角形

例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作

，交边AB于点E,设

，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。

例2、在

中，

是AB上的一点，且

，点P是AC上的一个动点，

交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），设

，试求

关于x的函数关系，并写出定义域。

【练习1】

在直角

中，

，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，

交射线AC于点F

（1）、求AC和BC的长

（2）、当

时，求BE的长。

（3）、连结EF,当

和

相似时，求BE的长。

【练习2】

在直角三角形ABC中，

是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），

与射线BC相交于点F.

（1）、当点D是边AB的中点时，求证：

（2）、当

，求

的值

（3）、当

，设

求y关于x的函数关系式，并写出定义域

【练习4】]如图，在

中，

，

，

，

是

边的中点，

为

边上的一个动点，作

，

交射线

于点

．设

，

的面积为

．

（1）求

关于

的函数关系式，并写出自变量

的取值范围；

（2）如果以

、

、

为顶点的三角形与

相似，求

的面积.

【练习5】、

如图,在梯形

中，

，

是腰

上一个动点（不含点

、

）,作

交

于点

.（图1）

（1）求

的长与梯形

的面积；

（2）当

时,求

的长；（图2）

（3）设

试求

关于

的函数解析式,并写出定义域.

（图1）（图2）