巧算巧算面积.docx

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巧算巧算面积

第六章巧算巧算面积

（二）

在计算比较复杂的平面图形面积时，常用方法是：

（1）“割补法”：

把原来的图形剪拼成我们所熟悉的“基本”图形。

（2）“分解法”：

把复杂的图形分成几个简单的图形。

除此之外，还可以运用平移、旋转等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导来寻求解题的有效途径。

【例1】把△ABC的边AB三等分，AC四等分，如图所示。

已知△ADE的面积为l平方厘米，求△ABC的面积。

做一做1如下图，BD=3AD，CE=5AE，问：

△ABC的面积是△ADE的面积的（）倍。

【例2】在下图所示的长方形中，E，F分别是AD和DC的中点。

如果已知长方形ABCD的面积是64平方厘米，求阴影部分的面积。

做一做2如下图所示，长方形ABCD的面积为36平方厘米，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，H为AD边上任意一点。

问：

阴影部分的面积是多少？

【例3】一个正方形，如果一边增加6厘米，另一边增加2厘米，那么所得的长方形面积比原正方形面积多92平方厘米。

求原正方形的边长。

做一做3一个正方形，一边截去6厘米，另一边截2厘米，剩下的长方形面积比原正方形面积少68平方厘米。

求原正方形的边长。

【例4】图1是一块长方形草地。

长方形长16米，宽10米，中间有两条宽2米的道路，一条是长方形，另一条是平行四边形。

求有草部分（阴影部分）的面积。

做一做4求下图阴影部分的面积（单位：

厘米）。

【例5】下图中的每个长方形小格的面积都是1平方厘米，求阴影部分的面积。

做一做5如下图，每个长方形小格的面积都是1，求阴影部分的面积。

【例6】如图1，直角梯形ABCD的上底和腰相等，正方形DEFG的边长等于6厘米，阴影部分的面积。

做一做6如下图，正方形ABCD的边长为l，E是AD的中点，P为CE的中点，那么△BPD的面积是多少？

【例7】如图1，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为AB，BC的中点，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？

做一做7如图，E是矩形ABCD的边BC的中点，BD与AE的交点为F，那么，图中阴影部分（三角形FAB）与矩形ABCD的面积之比是（）。

（1）在下图中，BC=CD，CE=3AE，△ABC的面积是12平方厘米，求△CDE的面积。

（2）在下图所示的长方形内有一个钝角三角形，按照图上的数值，求出这个三角形的面积。

（3）如下图，△ABC是一个等腰直角三角形，它与一个正方形叠放在一起。

已知AE，EF，BF三条线段一样长，且△EFD（阴影部分）的面积是4，求△ABC的面积。

（4）一个平行四边形ABCD被CE分成两部分（如下图），梯形ABCE与△ECD的面积差是18.6平方厘米，又知平行四边形ABCD的高为6.2厘米，BC=15厘米。

求梯形的上底长。

（5）如下图，△ABC的面积为1,AE=ED,BD=2DC，求阴影部分的面积。

（6）一个长方形，如果长增加2厘米，宽增加5厘米，那么面积就增加60平方厘米，这时恰好是一个正方形，求原长方形的面积。

（7下图中，正方形ABCD的边长为12，P是AB边上任意一点，M，N，I，H分别是边BC，AD的三等分点，E，F，G是边CD的四等分点，求图中阴影部分的面积。

（9）三条边长分别为6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜边上去，与斜边相重合（如下图），那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

第七章巧解长方体和正方体

（一）

在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。

解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：

1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；

2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；

3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。

【例1】一个零件形状大小如下图：

算一算，它的体积是多少立方厘米？

表面积是多少平方厘米？

（单位：

厘米）

做一做1一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？

【例2】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？

（单位：

厘米）

做一做2有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。

（单位：

厘米）。

【例3】一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。

原正方体的表面积是多少平方厘米？

做一做3把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。

如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？

【例4】把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。

已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长方体的表面积。

做一做4一块小正方体的表面积是6平方厘米，那么，由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？

【例5】一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。

这个长方体的体积和表面积各是多少？

做一做5有一个长方体，它的前面和上面的面积和是88平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？

（1）把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积是（）立方分米。

（2）有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。

（3）有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积是（）立方厘米，表面积是（）平方厘米。

（4）如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的物体的体积是（）立方厘米，表面积是（）平方厘米。

（5）一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了（）平方厘米。

（6）把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少（）平方分米。

（7）一个长方体的体积是385立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面积是（）平方厘米。

（8）有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成（）种不同的长方体。

（9）一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是960立方厘米，求它的表面积是（）平方厘米。

第八章巧解相遇和追及问题

（二）

相遇问题常用关系式：

路程和=速度和×相遇时间

速度和=路程和÷相遇时间

相遇时间=路程和÷速度和相遇时间=路程差÷速度差

追及问题常用关系式：

追及时间=路程差÷速度差

速度差=路程差÷追及时间

路程差=速度差×追及时间

常用思考方法：

①整体思考法，②转化法。

【例1】甲、乙、丙三人中，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米。

甲、乙两人从东镇，丙从西镇同时相向出发，丙遇到乙后再经过2分钟遇到甲。

求两镇之间的距离。

做一做1甲、乙、丙三人走路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米。

甲从A地，乙和丙从B地同时出发，相向而行。

甲和乙相遇后，过了5分钟又与丙相遇。

求A，B两地间的距离。

【例2】A、B两车同时从甲、乙两站相对开出，两车第一次是在离甲站50千米处相遇。

相遇后两车各以原速度继续行驶，到达乙、甲两站后立即原路返回，第二次是在离乙站30千米处相遇。

问：

如此继续下去，A，B两车第三次在何处相遇？

做一做2客、货两车同时从甲、乙两地相对开出，第一次相遇是在离乙地80千米的地方。

相遇后继续行驶，均在到达对方出发地后立即返回，第二次相遇是在距离甲地50千米处。

求甲、乙两地间的距离。

【例3】甲、乙两人往返于A、B两地之间，甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，在途中相遇。

甲每小时行10千米，乙每小时行8千米，各自到达对方出发地后立即返回，第一次与第二次相遇点的距离为20千米。

求A，B两地之间的距离。

做一做3客、货两车同时从甲、乙两地相对开出，在途中相遇后继续前进，各自到达对方出发点后立即返回，途中第二次相遇，两次相遇地点间相距120千米。

已知客车每小时行60千米，货车每小时行48千米，问：

甲、乙两地相距多少千米？

【例4】甲、乙两人从相距1836米的两地相向同时出发，9分钟后，两人在途中相遇。

如果甲、乙两人每分钟都多行6米，那么相遇的地方距离原相遇地点9米。

问：

甲、乙两人每分钟各行多少米？

做一做4甲、乙两人从相距4800米的两地同时相向而行，30分钟后相遇。

如果他们每分钟的速度各增加20米，那么，相遇地点距前一次相遇地点24米。

求甲、乙两人原来的速度。

【例5】甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地。

甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米。

途中甲车因故障修车用了3小时，结果甲车比乙车迟到目的地1小时。

求两地间的距离。

做一做5A，B两地相距20千米，甲、乙两人同时从A地出发去B地。

甲骑车每小时行10千米，乙步行每小时行5千米。

甲在途中停了一段时间修车。

乙到达B地时，甲离B地还有2千米。

问：

甲修车用了多少时间？

【例6】甲、乙两地相距48千米，其中有一部分是上坡路，其余是下坡路。

某人骑自行车从甲地到达乙地后，沿原路返回，去时用了4小时12分，返回时用了3小时48分。

已知自行车上坡每小时行10千米，求：

自行车下坡时每小时行多少千米？

做一做6南、北两镇之间全是小路。

某人上山每小时走2千米，下山每小时走5千米。

他从南镇到北镇要走38小时，从北镇到南镇要走32小时。

问：

两镇之间的路程是多少千米？

【例7】从A站开往B站的公共汽车每隔30分钟开出一班。

某乘客到达A站时汽车刚好开出，他立即改为步行，速度为每小时5千米。

他向前走了3千米时，被第2辆汽车赶上，再向前走5千米又与第2辆汽车在返回的途中相遇。

已知这辆汽车在B站停留了30分钟，求A、B两站间的距离。

做一做7两人同时从A地去B地，一人骑自行车，另一人骑摩托车。

自行车每小时行18千米，摩托车的速度是自行车的2倍。

摩托车到达B地后暂停30分钟立即返回A地，在返回途中与自行车相遇，他们从出发到相遇经过4小时30分钟。

求A，B两地间的距离。

【例8】如下图所示，是一个边长为100米的正方形的墙。

甲、乙两人分别从两个对角处沿围墙按逆时针方向同时出发。

已知甲每秒跑5米，乙每秒跑3米。

问：

至少经过多长时间甲才能看到乙？

做一做8甲、乙两个同学分别站在长方形围墙外的两角上（如下图），如果他们同时开始绕着围墙沿逆时针方向跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，那么，甲至少跑多少秒才看到乙？

（一）相遇问题巩固练习

（1）两地的距离是1120千米，有两列火车同时相向开出。

第一列火车每小时行60千米，第二列火车每小时行48千米。

在第二列火车出发时，从里面飞出一只鸽子，以每小时80千米的速度向第一列火车飞去。

问：

在鸽子遇上第一列火车时，第二列火车距离目的地多远？

（2）甲、乙两人同时从两地骑车相向而行，甲车速度是15千米每小时，乙车速度是13千米每小时，两人相遇时，距离中点3千米。

问：

这两地的距离是多少千米？

（3）A、B两地相距8千米，小明骑自行车从A地出发到B地，开始以每分钟120米的速度行驶，后来改为以每分钟160米的速度行驶，共用了l小时到达B地。

问：

小明是在离A地多少米的地方改变速度的？

（4）早上8点，小明和小强从甲、乙两地出发，以不变的速度相向而行。

9点20分两人相距10千米。

10点时，两人还是相距10千米。

11点时小明到达乙地，这时小强距甲地多少千米？

（2009年北京市解题能力测试）

（5）两地相距1720米，甲、乙相对而行，甲每分钟走70米，乙每分钟走55米。

甲走了2分钟后因事回家，再以同样的速度往回走，这样两人相遇时要用多少分钟？

（二）追及问题巩固练习

（1）学校和部队驻地相距16千米。

小红和小宇由学校骑车去部队驻地，小红每小时行12千米，小宇每小时行15千米。

当小红走了3千米后，小宇才出发。

问：

当小宇追上小红时，距部队驻地还有多少千米？

（2）小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小周从学校出发骑自行车去追小明，结果在距离学校1000米处追上小明。

求小周骑自行车的速度。

（3）摩托车和汽车从相距10千米的甲、乙两地同时同向出发，汽车在前，摩托车每小时行60千米，汽车每小时行35千米。

出发几分钟后，摩托车发生故障，修理了半小时后继续前进．问：

摩托车追上汽车时它们各行多少千米？

（4）同学们排成一支长480米的队伍去郊游，以每分钟70米的速度行进。

队尾的同学小刚因事需从队尾追至队首，并立即返回队尾，他的速度是每分钟90米，求他从队尾到队首又回到队尾所需的时间。

（5）一条东西向的公路与一条南北向的公路交叉于O点（如下图）。

甲从十字路口南1350米的M点沿公路北行，乙从十字路口的O点沿公路向东行。

两人同时出发10分钟后，他们离十字路口的距离相等；又过了80分钟，两人离十字路口的距离又相等。

已知甲的速度快于乙的速度，求甲、乙的速度。

第九章巧解火车行程问题

（二）

火车过桥问题也是行程问题的一种。

首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥。

列车过桥的总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。

过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系：

过桥问题的一般数量关系是：

过桥的路程=桥长+车长

过桥的时间=（桥长+车长）÷车速

车速=（桥长+车长）÷过桥时间

公式的变形：

桥车=车速×过桥时间—车长

车长=车速×过桥时间—桥长

火车通过遂道的问题和过桥问题的道理是一样的，也是通过上面的数量关系来解决。

补充：

错车时间=两列车长和÷两车速度和

超车时间=两列车长和÷两车速度差

（从追上到完全超过）

【例1】长150米的火车以每秒18米的速度穿越一条长300米的隧道，问：

火车穿越隧道（从进入隧道直至完全离开）要用多长时间？

做一做1长130米的列车，以每秒16米的速度行驶，通过1条隧道用了48秒。

问：

这条隧道长多少米？

【例2】慢车车身长125米，车速为每秒17米；快车车身长140米，车速为每秒22米。

慢车在前面行驶，快车在后面从追上到完全超过需要多少秒？

做一做2甲火车车身长250米，车速为每秒16米；乙火车车身长140米，车速为每秒21米。

问：

乙火车从追上到完全超过甲火车需要多少秒？

【例3】一列火车通过一座长1260米的桥（车头上桥直至车尾离桥）用了60秒，火车穿长2010米的隧道用了90秒。

问：

这列火车的车速和车身长各是多少？

做一做3一列火车通过450米长的桥用了23秒，从头到尾经过一位站在铁路边的扳道工人用了8秒。

问：

这列火车的速度和车身长度各是多少？

【例4】两列火车相向而行。

甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米。

两车错车时，甲车上一乘客发现：

从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他车窗时共用了14秒。

求乙车的车长。

做一做4快车每秒行18米，慢车每秒行10米。

现有两列火车同时同方向齐头行进，经过10秒钟后，快车超过慢车；如果两车车尾相齐行进，则7秒钟后，快车超过慢车。

求两列火车的车身长。

【例5】某小学三、四年级学生共528人排成4路纵队去看电影，队伍的速度是每分钟25米，前后两人都相距1米。

现在队伍要走过一座桥，整个队伍从上桥到离桥共需16分钟。

问：

这座桥长多少米？

做一做5有346名少先队员排成2路纵队去参观科技成果展览。

队伍行进的速度是每分钟23米，前后两人都相距1米。

现在队伍要通过一座长度为702米的大桥，问：

整个队伍从上桥到下桥共用了多长时间？

【例6】火车通过长为105米的铁桥用了25秒；如果火车的速度加快一倍，那么它通过96米长的铁桥只用12秒。

求火车原来的速度和它的长度。

做一做6火车通过长为82米的桥用了22秒。

如果火车的速度加快1倍，那么它通过162米长的桥就只用16秒。

求这列火车原来的速度和长度。

【例7】沿着铁路线，有两个人迎面相对走着，两人的速度是一样的。

一列火车开来，整个列车从第一个人身边开过用了8秒钟，火车与第一个人相遇5分后，与第二人相遇。

火车从第二个人身边开过，全列车只用了7秒钟。

问：

车遇到第二人后多少分钟，两人才能相遇？

做一做7铁路旁有一条小路，一列长为110米的火车以每小时30千米的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名军人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民，问：

军人与农民何时相遇？

（1）两列火车，长都是270米，从甲、乙两地都以54千米每小时的速度相对开出。

两列火车从相遇到相离，要用几秒钟？

（2）长135米的列车以每秒12米的速度行驶，后面开来长126米的另一列车，每秒行驶17米。

求这列车从车头遇到前面的车到完全超过前面的车用了多少秒。

（3）长90米的列车以54千米每小时的速度行驶，它追上并超过长50米的列车用了14秒。

如果这两列列车相向而行，问：

从相遇到完全离开要用多长时间？

（4）一列火车，从车头到桥头算起，用5秒钟时间全部驶上一座大桥，26秒后全部驶离大桥。

已知大桥全长525米，求火车过桥的速度和火车的长度。

（5）长120米的列车，以每小时72千米的速度往东行驶；长300米的货车往西行驶。

它们在长125米的铁桥西端相遇，在桥的东端离开，求货车每小时行驶多少千米。

（四舍五入到小数点后一位）

（6）铁路与公路平行。

公路上有一个人在行走，速度是4千米每小时，一列火车追上并超过这个人用了6秒。

公路上还有一辆汽车与火车同向行驶，速度是67千米每小时，火车追上并超过这辆汽车用了48秒。

求火车的速度与长度。

（不用考虑汽车的长度）

（7）一列火车通过一座长456米的桥需要80秒，用同样的速度通过一条长399米的隧道需要77秒。

求这列火车的速度和长度。

（8）公路两边的电线杆间隔都是30米。

一位乘客坐在行驶的汽车中，他从看到第1根电线杆到看到第26根电线杆正好用了3分钟。

求这辆汽车每小时行驶多少千米。

（9）一列客车每分钟行1000米，一列货车每分钟行750米，货车比客车的车身长135米。

两车在平行的轨道上同向行驶，当客车从后面超过货车时，它们的交叉时间是1分30秒。

求货车的车身长度。