小学数学课外学习材料五年级寒假.docx
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小学数学课外学习材料五年级寒假
小学数学课外学习材料
五年级寒假
第一讲速算与巧算
例1 计算 3.42×76.3＋76.3×5.76＋9.18×23.7。
（天津市小学数学竞赛题）
解：
3.42×76.3＋76.3×5.76＋9.18×23.7
＝（3.42＋5.76）×76.3＋9.18×23.7
＝9.18×76.3＋9.18×23.7
＝9.18×（76.3＋23.7）
＝9.18×100
＝918
例2 计算 38.3×7.6＋11×9.25＋427×0.24。
（1999年全国小学数学奥林匹克预赛题）
解：
38.3×7.6＋11×9.25＋427×0.24
＝383×0.76＋11×9.25＋（383＋44）×0.24
＝383×（0.76＋0.24）＋11×9.25＋44×0.24
＝383×1＋11×9.25＋11×（4×0.24）
＝383＋11×9.25＋11×0.96
＝383＋11×（9.25＋0.96）
＝383＋11×10.21
＝383＋112.31
＝495.31
练习一
1．计算：
0.078×78＋0.039×20＋0.156×6＝？
（20XX年四川省小学数学竞赛题）
2．计算 342×1.125＋65.8×11.25。
（天津市小学数学竞赛试题）
3．计算 0.125×160×5000。
（新加坡小学数学奥林匹克试题）
4．计算 1999×3.14＋199.9×3.14＋19.99×3.14。
（第十届《小学生学习报》数学竞赛初赛题）
5．计算 0.25×19＋0.75×27。
（第六届《小学生数学报》数学竞赛初赛题）
6．计算 0.888×125×73＋999×3。
（吉林省小学数学竞赛试题）
第二讲图形问题
（一）
例1 如图，在三角形ABC中，D是AB的中点，E是DB的中点，F是BC的中点，如果三角形ABC的面积是96cm2，那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？
C
F
A DE B
解：
三角形ABF与三角形ABC有公用的顶点A，并且它们的底BC和BF在同一条直线上，所以它们的高相等，而三角形ABF的底BF只有三角形ABC的底BC的一半，所以三角形ABF的面积等于三角形ABC的一半，是96÷2＝48（cm2）。
同理，三角形AFD的面积是48÷2＝24（cm2），三角形DEF的面积是24÷2＝12（cm2），因此，三角形AEF的面积是24＋12＝36（cm2）。
例2 将四边形ABCD各边延长一倍，得到四边形EFGH如图。
已知四边形ABCD的面积是5cm2，那么四边形EFGH的面积是多少平方厘米？
H
E
AD
BCG
F
解：
连接BD、BE，三角形ABD、ABE、BEF的面积相等，所以三角形AEF的面积是三角形ABD的2倍，同理，三角形CHG的面积是三角形BCD的2倍，所以三角形AEF与CGH面积的和是四边形ABCD的2倍；同理，三角形EDH与BFG面积的和也是四边形ABCD的2倍。
因此，四边形EFGH的面积就是ABCD的5倍，是5×5＝25（cm2）。
练习二
1．如下页左图，在直角梯形ABCD中，AD＝8cm，CD＝10cm，BC＝12cm，CG＝GD。
阴影部分的面积是多少平方厘米？
AD D
A
C
GB
E
BC
F
2．右上图，将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F。
三角形ABC的面积是1cm2，求三角形DEF的面积。
3．左下图中，两个等腰三角形ABC和DEF的直角边分别是8cm和6cm，求阴影部分的面积。
A C
DGE
BFCEADB
4．右上图阴影部分的面积是10cm2，AD＝DB，CE＝EB，求三角形ABC的面积。
5．左下图中，梯形ABCF的下底BC为12cm，高AB为18cm，CE的长度是ED的2倍。
求DF的长度。
A D F
AED
E
G
BFC
B C
6．右上图中，ABCD是长方形。
三角形AGE的面积是三角形CGE的1.5倍，正方形EFCD的边长是12cm。
求三角形ACE的面积是多少平方厘米？
第三讲 图形问题
（二）
例1 平行四边形ABCD的周长为75cm，以BC为底时高为14cm，以CD为底时高为16cm。
求平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？
（第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）
A D
1416
F
B EC
解：
因为平行四边形的面积＝底×高，所以BC×AE＝CD×AF，即BC×14＝CD×16，而BC＋CD＝75÷2＝37.5（cm），所以，CD＝BC×14÷16＝BC×0.875。
于是BC＋BC×0.875＝37.5，BC＝37.5÷1.875＝20（cm）。
因此平行四边形ABCD的面积是20×14＝280（cm2）。
例2 左下图，四边形ABCD被AC和BD分成甲、乙、丙、丁四个三角形。
已知BE＝80cm，DE＝40cm，CE＝60cm，AE＝30cm。
问：
丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？
（第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛题）
A D A D
丁 丁
甲 乙甲乙
E E
丙 NM
丙
BCBC
解：
连接BE的中点N和CE的中点M如右上图，三角形丁的面积与三角形ENM的面积相等，因此，三角形丙的面积是三角形丁的4倍。
因为BE＝2ED，CE＝2EA，可知三角形甲和三角形乙的面积都是三角形丁的2倍。
由此可以推知，丙、丁两个三角形面积之和是三角形丁的5倍，甲、乙两个三角形面积之和是三角形丁的4倍，所以丙、丁两个三角形和是甲、乙两个三角形面积之和的5÷4＝1.25倍。
练 习 三
1．如下页左图，长方形ABCD的周长是28cm，AE＝4cm，EB＝2cm，AG＝GD，EB＝FC，求三角形EFG的面积。
（长春市小学生数学竞赛题）
A G D
E
B F C
2．一个八边形如右上图，由两个形状、大小都相同的等腰梯形和一个长方形拼成。
梯形上底为8，下底的长是上底的3倍，也是高的3倍，并且是长方形宽的3倍。
那么八边形的面积是多少？
（小学数学奥林匹克竞赛题）
3．左下图中阴影部分的面积是多少？
（小学数学奥林匹克竞赛题）
10
1
2
4 108cm2
3
4．右上图，从一块正方形木板上锯下宽为3dm的一块长方形木条以后，剩下的木板的面积是108dm2，问锯下的木条的面积是多少平方分米？
5．左下图，在长方形ABCD中，EF与AC平行，如果三角形BFC的面积是35cm2，那么三角形AEB的面积是多少平方厘米？
D F CAD
E
O
A BBC
6．右上图，长方形ABCD的面积是240cm2，如果在长方形内任意取一点O，连结AO、BO、CO、DO，三角形AOD与三角形BOC的面积和的
，加上三角形AOB与三角形DOC的面积和的
，结果是多少？
第四讲行程问题
（一）
例1 从A站开往B站的公共汽车每隔30分钟开出一班，某乘客到A站时汽车刚好开出，他立即改为步行，速度每小时5km。
向前走了3km时，被第二辆汽车赶上。
再向前走5km又与第二辆汽车在返回的途中相遇。
已知这辆汽车在B站停留了30分钟，求A、B两站的距离是多少千米？
解：
画出示意图：
3km 5km
A C D B
如图，乘客从A站走到C点，用了3÷5＝0.6（小时），第二辆汽车在乘客出发后0.5小时后才出发，行到C点所用的时间是0.6－0.5＝0.1（小时），所以汽车的速度是每小时3÷0.1＝30（km）。
乘客从C点走到D点用了5÷5＝1（小时），而汽车从C点到B站再返回D点，共用了1小时，其间去掉在B站停留的0.5小时，实际只行了0.5小时，所行路程是30×0.5＝15（km）。
所以从D点到B站的距离是（15－5）÷2＝5（km），由此可以求出A、B两站之间的距离是3＋5＋5＝13（km）。
例2 一艘轮船在江中顺水航行48km需要4小时，逆水航行48千米需要6小时。
这艘轮船从上游A城驶向下游B城，已知两城的水路长72km，开船时，一位旅客从窗口抛出一块木板。
问：
船到B城时，木板离B城还有多少千米？
解：
这艘轮船顺水航行和逆水航行同样的距离，之所以需要的时间不同，是因为顺水航行时，由于水流的助力，实际速度等于船在静水中的速度加上水流的速度，而逆水航行时，由于水流的阻力，实际速度等于船在静水中的速度减去水流的速度。
根据已知条件，这艘轮船的顺水速度是每小时48÷4＝12（km），逆水速度是48÷6＝8（km），按照和差问题的解法，水流的速度是每小时（12－8）÷2＝2（km）。
这艘轮船从A城到B城需要航行72÷12＝6（小时），在这段时间内，木板只漂流了2×6＝12（km），所以，当船到B城时，木板离B城还有72－12＝60（km）。
练习四
1．小明和小强为了磨炼自己的意志，决定步行外出旅游。
第一天走了27km，第二天走了18km，第三天走了21km，三天共走了22小时。
如果每天步行的速度相同，这三天中，他们每天走了多少小时？
2．小明家离学校1360m，他从家步行到校，到校后发现忘记带数学书了，于是马上回家去取书随即又返回学校，共用了40分钟。
他平均每分钟走多少米？
3．一列火车长100m，以每秒20m的速度通过一座500m长的桥。
列车通过这座桥需要多少秒？
4．两地相距44km。
如果甲、乙二人分别从两地同时出发相向而行，那么4小时后相遇；如果他们从同一地点同时出发同向而行，那么3小时后甲在乙前面9km。
求甲、乙二人的速度分别是每小时多少千米？
5．两个码头相距360km。
一艘汽艇顺水行完全程要9小时，逆水行完全程要12小时。
这艘汽艇在静水中每小时航行多少千米？
这条河水流的速度是每小时多少千米？
6．甲、乙两个码头相距336km。
一艘船从乙码头逆水而上，行了14小时到达甲码头。
已知船速是水速的13倍，这艘船从甲码头返回乙码头需要多少小时？
第五讲行程问题
（二）
例1 甲、乙两地相距420km，两辆汽车同时从甲地开往乙地，第一辆汽车每小时行42km，第二辆汽车每小时行28km，第一辆汽车到达乙地后立即返回，途中与第二辆汽车相遇。
两车从同时开出到相遇一共用了多少小时？
解法一：
两车从开出到相遇所用的时间，包括第一辆汽车从甲地到乙地所用的时间，和从乙地返回到与第二辆汽车相遇所用的时间。
设第二辆汽车到达乙地时，第一辆汽车刚到达A地，画出示意图：
A
甲地 乙地
这时，第一辆汽车行了420÷42＝10（小时），第二辆汽车也行了10小时，行了28×10＝280（km），A地与乙地相距420－280＝140（km），又过了140÷（42＋28）＝2（小时），两车相遇，所以，两车从开出到相遇一共用了10＋2＝12（小时）。
解法二：
演示发现，两车从开出到相遇一共行了全程的2倍，所以一共用了420×2÷（42＋28）＝12（小时）。
答：
两车从同时开出到相遇一共用了12小时。
例2 甲、乙、丙三人，甲每分钟走50m，乙每分钟走60m，丙每分钟走70m。
甲、乙二人从东镇，丙从西镇同时出发相向而行，结果丙遇到乙后又经过2分钟遇到甲。
求两镇之间的距离。
解：
画出示意图：
甲 乙、丙
东镇 西镇
由于丙和乙相遇后，再经过2分钟与甲相遇，所以当丙与乙相遇时，乙比甲多行（50＋70）×2＝240（m）。
因为乙每分钟比甲多行60－50＝10（m），所以这时三人都行了240÷10＝24（分钟）。
因此，东、西两镇相距（60＋70）×24＝3120（m）。
答：
东、西两镇相距3120米。
练习五
1．甲、乙两人在400m的环形跑道上锻炼身体。
两人向相反的方向跑，从第一次相遇到第二次相遇间隔40秒，甲每秒跑6m，乙每秒跑多少米？
2．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行40km，乙车每小时行45km，两车相遇后继续前进，各自到达B、A两地后立即按原路返回，再次相遇。
两车从出发到第二次相遇共用行了6小时，甲、乙两地相距多少千米？
3．A、B两地相距1200m，甲从A地乙从B地同时出发相向而行，甲每分钟行50m，乙每分钟行70m，第一次在C点相遇，相遇后继续前进，分别到达B、A两地后立即返回，第二次在D点相遇。
C、D之间的距离是多少米？
4．战士小王骑自行车到县城为部队买菜，每小时行15km，1小时后，由于要增加买菜数量和品种，部队又派通讯员小李骑摩托车追赶小王。
如果想在20分钟内追上小王，小李需要每分钟行多少千米？
5．甲、乙二人环湖竞走，环湖一周是400m，甲每分钟走100m，乙每分钟走80m，现在甲在乙前面100m，经过多少分钟两人再次相遇？
6．一架飞机执行空投救灾物资的任务，原计划每分钟飞行9km，为了争取时间，将速度提高到每分钟12km，结果比原计划提前30分钟到达目的地，机场到空投目的地的距离是多少千米？
第六讲方程
（一）
例1 从1～9这9个数字中取出三个，组成六个不同的三位数。
如果六个三位数的和是3330，那么这六个三位数中最大的是多少？
（20XX年全国小学数学奥林匹克决赛题）
解：
用三个数字组成六个三位数时，每个数字在各个数位上都要出现2次。
设这三个数字是a、b、c，所组成的六个三位数的和，就可以用[100×（a＋b＋c）＋10×（a＋b＋c）＋1×（a＋b＋c）]×2＝222×（a＋b＋c）表示。
已知222×（a＋b＋c）＝3330，所以（a＋b＋c）＝3330÷222＝15。
三个数字之和是15的有：
9、1、5；8、2、5；7、3、5；6、4、5。
要使所组成的三位数最大，数字中应该有9，所以，这六个三位数中最大的是951。
例2 解方程6÷x＝3。
解：
两边都乘以x,左边的除以x被抵消，得
3x＝6。
两边都除以3,就得到方程的解
x＝2。
例3 解方程5×（x＋1）＝2×（13－x）。
解：
打开括号,得
5x＋5＝26－2x
两边都减去5、加上2x,结果左边的加5、右边的减2x，都被抵消，得
5x＋2x＝26－5
与原方程对比,相当于把左边的加5移到右边变成减5,把右边的减2x移到左边变成加2x。
（这一步叫移项。
移项时加变成减，减变成加。
）
经过简单的计算，得
7x＝21
两边都除以7，就得到方程的解
x＝3
简单地说，解方程的步骤是：
（1）有除数的消去除数；
（2）有括号的打开括号；
（3）把含有未知数的项移到一边，把不含未知数的项移到另一边；
（4）用未知数的倍数除方程两边，就得到方程的解。
练习六
1.有三个数字,用它们组成的六个三位数的和是2220,其中最大的数是多少?
2.解方程
3.6÷x＝0.4 （x－3）÷4＝5
3.解方程
2.4x－9.8＝1.4x－9 10x＋7＝11x－5
4．解方程
9x＝6（x＋1） 4（x＋0.25）＝8x
5.解方程
2.5×7－4x＝5.5＋2x 2（x＋1.5）＝11－6x
6.解方程
0.5（2－x）＝1.5（1－x）3（1－x）＝0.6（x＋1）÷0.3
第七讲方程
（二）
例1今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁、23岁、16岁。
经过多少年后，爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和？
（南京市第二届“兴趣杯”小学数学竞赛决赛题）
解：
设经过x年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和。
这时爷爷78＋x岁，三个孙子的年龄分别是27＋x岁，23＋x岁，16＋x岁。
于是
78＋x＝（27＋x）＋（23＋x）＋（16＋x）
78＋x＝66＋3x
2x＝12
x＝6
即，6年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和。
例2 甲、乙、丙三人，甲每分钟走50m，乙每分钟走60m，丙每分钟走70m。
甲、乙二人从东镇，丙从西镇同时出发相向而行，结果丙遇到乙后又经过2分钟遇到甲。
求两镇之间的距离。
解：
这道题前面已经用算术法解过一次，这里再用方程法解一次，看看各有什么特点。
设丙与乙相遇时行了x分钟，那么丙与甲相遇时就行了x＋2分钟。
因为两镇之间的距离，既等于乙、丙的速度和乘乙、丙相遇时所行的时间，也等于甲、丙的速度和乘甲、丙相遇时所行的时间，于是
（60＋70）×x＝（50＋70）×（x＋2）
130x＝120x＋240
10x＝240
x＝24
所以两镇之间的距离是（60＋70）×24＝3120（m）。
答：
东、西两镇相距3120m。
练 习 七
1．明明今年8岁，妈妈今年32岁。
问：
多少年前，妈妈的年龄是明明的7倍？
2．五
（1）班同学合买一件礼物送给敬老院的老爷爷和老奶奶。
如果每人出6元，总数就多48元；如果每人出4.5元，总数就少27元。
五
（1）班有多少人？
3．光明小学买回一批图书，如果每班发12本，还少16本；如果每班发10本，剩下20本。
这个学校一共有多少个班？
买回图书多少本？
4．六年级同学乘汽车到某地旅游，买车票99张，共花了280元。
其中单程票第张2元，往返票每张4元。
那么单程票和往返票相差多少张？
（北京市第二届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
5．王村小学举行数学竞赛，共10道题。
每做对一道题得10分，每做错一道题倒扣2分。
小明得了64分。
他做错了几道题？
（第一届《小学生数学报》数学竞赛试题）
6．大、小两个桶，原来水一样多。
如果从小桶倒7kg水到大桶，这时大桶里的水是小桶里的3倍，大桶中原来有水多少千克？
（第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛题）
参考答案
第一讲 速算与巧算
1．原式＝0.078×78＋0.078×10＋0.078×12＝0.078×（78＋10＋12）＝0.078×100＝7.8。
2．原式＝（34.2＋65.8）×11.25＝1125。
3．原式＝0.125×（160×5000）＝0.125×800000＝100000。
4．原式＝2220×3.14－1.11×3.14＝6970.8－3.4854＝6967.3146。
5．原式＝0.25×19＋0.25×81＝0.25×100＝25。
6．原式＝111×73＋111×27＝111×100＝11100。
第二讲 图形问题
（一）
1．（8＋12）×10÷2－8×（10÷2）÷2－12×（10÷2）÷2＝50（cm2）。
2．连接AE、CD、BF，△AEB的面积是2，△AED的面积是2，△BCF的面积是3，△AFD的面积是4，△BEF的面积是6，△DEF的面积是1＋2＋2＋3＋4＋6＝18（cm2）。
3．BF＝DF＝FE＝6cm，FC＝BC－BF＝8－6＝2（cm），GC＝CE＝6－2＝4（cm），阴影部分的面积是（4＋6）×2÷2＝10（cm2）。
4．10×2×2＝40（cm2）。
5．三角形FBC的面积是12×18÷2＝108（cm2），CE＝18÷3×2＝12（cm），三角形EBC的面积是12×12÷2＝72（cm2），所以三角形EFC的面积是108－72＝36（cm2），DF是三角形EFC的高，等于36×2÷12＝6（cm）。
6．因为三角形AGE的面积是三角形CGE的1.5倍，所以AG也是GC的1.5倍（两个三角形有公共顶点E），BF也是FC的1.5倍（成比例线段），三角形AEC的面积等于长方形ABCD面积的一半减去三角形CDE的面积，是（12×1.5＋12）×12÷2－12×12÷2＝108（cm2）。
第三讲 图形问题
（二）
1．AB＝4＋2＝6（cm），BC＝28÷2－6＝8（cm），AG＝GD＝8÷2＝4（cm），BF＝8－2＝6（cm）。
三角形EFG的面积是8×6－4×4÷2－6×2÷2－（2＋4）×6÷2＝16（cm2）。
2．按照已知条件，八角形的面积等于一个边长是8×3＝24的正方形的面积减去四个角上4个三角形的面积，是24×24－8×8÷2×4＝448。
3．四个阴影部分自上而下，小三角形的面积是1×1÷2＝0.5；上面的梯形的面积是[（10－3）＋（10－1）]×2÷2＝16；下面的梯形的面积是[3＋（10－3）]×4÷2＝20；大三角形的面积是3×3÷2＝4.5。
阴影部分的面积是0.5＋16＋20＋4.5＝41。
4．试算发现，108＝12×9，12和9恰好相差3，说明原来正方形的边长是12dm，所以锯下的木条的面积是12×3＝36（dm2）。
5．连接AF、EC如下图，△AEC与△AFC面积相等，△AFC与△BFC面积相等，△AEC与△AEB面积相等，所以△AEB的面积是35cm2。
D F C
E
A B
6．三角形AOD与三角形BOC的面积和，等于长方形面积是一半，是240÷2＝120（cm2），三角形AOD与三角形BOC的面积和的
是120÷2＝60（cm2）；三角形AOB与三角形DOC的面积和也等于长方形面积的一半，三角形AOB与三角形DOC的面积和的
是120÷3＝40（cm2）。
因此这两个和相加的结果是60＋40＝100（cm2）。
第四讲行程问题
（一）
1．他们步行的速度是每小时（27＋18＋21）÷22＝3（km）。
第一天走了27÷3＝9（小时），第二天走了18÷3＝6（小时），第三天走了21÷3＝7（小时）。
2．1360×3÷40＝102（m）。
3．（500＋100）÷20＝30（秒）。
4．甲的速度是每小时（44÷4＋9÷3
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