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1、小学数学课外学习材料五年级寒假小学数学课外学习材料五年级寒假第一讲 速算与巧算例 1计算3.4276.376.35.769.1823.7。(天津市小学数学竞赛题)解：3.4276.376.35.769.1823.7(3.425.76)76.39.1823.79.1876.39.1823.79.18(76.323.7)9.18100918例 2计算38.37.6119.254270.24。(1999年全国小学数学奥林匹克预赛题)解：38.37.6119.254270.243830.76119.25(38344)0.24383(0.760.24)119.25440.243831119.2511(4

2、0.24) 383119.25110.9638311(9.250.96)3831110.21383112.31495.31练 习 一1计算：0.078780.039200.1566？(20XX年四川省小学数学竞赛题)2计算3421.12565.811.25。(天津市小学数学竞赛试题)3计算0.1251605000。(新加坡小学数学奥林匹克试题)4计算19993.14199.93.1419.993.14。(第十届小学生学习报数学竞赛初赛题)5计算0.25190.7527。(第六届小学生数学报数学竞赛初赛题)6计算0.888125739993。(吉林省小学数学竞赛试题)第二讲 图形问题(一)例1如

3、图，在三角形ABC中，D是AB的中点，E是DB的中点，F是BC的中点，如果三角形ABC的面积是96cm2，那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？ C F A D E B 解：三角形ABF与三角形ABC有公用的顶点A，并且它们的底BC和BF在同一条直线上，所以它们的高相等，而三角形ABF的底BF只有三角形ABC的底BC的一半，所以三角形ABF的面积等于三角形ABC的一半，是96248(cm2)。同理，三角形AFD的面积是48224(cm2)，三角形DEF的面积是24212(cm2)，因此，三角形AEF的面积是241236(cm2)。例2将四边形ABCD各边延长一倍，得到四边形EFGH如图。已知四

4、边形ABCD的面积是5 cm2，那么四边形EFGH的面积是多少平方厘米？H E A D B C G F解：连接BD、BE，三角形ABD、ABE、BEF的面积相等，所以三角形AEF的面积是三角形ABD的2倍，同理，三角形CHG的面积是三角形BCD的2倍，所以三角形AEF与CGH面积的和是四边形ABCD的2倍；同理，三角形EDH与BFG面积的和也是四边形ABCD的2倍。因此，四边形EFGH的面积就是ABCD的5倍，是5525(cm2)。练 习 二1如下页左图，在直角梯形ABCD中，AD8cm，CD10cm，BC12cm，CGGD。阴影部分的面积是多少平方厘米？ A D D A C G B E B

5、C F2右上图，将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F。三角形ABC的面积是1 cm2，求三角形DEF的面积。3左下图中，两个等腰三角形ABC和DEF的直角边分别是8cm和6cm，求阴影部分的面积。A C D G E B F C E A D B4右上图阴影部分的面积是10 cm2，ADDB，CEEB，求三角形ABC的面积。5左下图中，梯形ABCF的下底BC为12 cm，高AB为18 cm，CE的长度是ED的2倍。求DF的长度。ADF A E D E G B F CBC6右上图中，ABCD是长方形。三角形AGE的面积是三角形CGE的1.5倍，正方形EFCD的边

6、长是12 cm。求三角形ACE的面积是多少平方厘米？第三讲图形问题(二)例1平行四边形ABCD的周长为75cm，以BC为底时高为14cm，以CD为底时高为16cm。求平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？(第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)A D14 16 FB E C解：因为平行四边形的面积底高，所以BCAECDAF，即BC14CD16，而BCCD75237.5(cm)，所以，CDBC1416BC0.875。于是BCBC0.87537.5，BC37.51.87520(cm)。因此平行四边形ABCD的面积是2014280(cm2)。例2左下图，四边形ABCD被AC和BD分成甲、乙、丙、

7、丁四个三角形。已知BE80cm，DE40cm，CE60cm，AE30cm。问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？(第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛题)ADAD 丁丁 甲 乙 甲 乙E E 丙 N M丙 B C B C解：连接BE的中点N和CE的中点M如右上图，三角形丁的面积与三角形ENM的面积相等，因此，三角形丙的面积是三角形丁的4倍。因为BE2ED，CE2EA，可知三角形甲和三角形乙的面积都是三角形丁的2倍。由此可以推知，丙、丁两个三角形面积之和是三角形丁的5倍，甲、乙两个三角形面积之和是三角形丁的4倍，所以丙、丁两个三角形和是甲、乙两个三角形面积之和的541

8、.25倍。练习三1如下页左图，长方形ABCD的周长是28cm，AE4cm，EB2cm，AGGD，EBFC，求三角形EFG的面积。(长春市小学生数学竞赛题)AGDEBFC2一个八边形如右上图，由两个形状、大小都相同的等腰梯形和一个长方形拼成。梯形上底为8，下底的长是上底的3倍，也是高的3倍，并且是长方形宽的3倍。那么八边形的面积是多少？(小学数学奥林匹克竞赛题)3左下图中阴影部分的面积是多少？(小学数学奥林匹克竞赛题) 10124 108 cm234右上图，从一块正方形木板上锯下宽为3dm的一块长方形木条以后，剩下的木板的面积是108dm2，问锯下的木条的面积是多少平方分米？5左下图，在长方形A

9、BCD中，EF与AC平行，如果三角形BFC的面积是35 cm2，那么三角形AEB的面积是多少平方厘米？DFC A DE OA B B C6右上图，长方形ABCD的面积是240 cm2，如果在长方形内任意取一点O，连结AO、BO、CO、DO，三角形AOD与三角形BOC的面积和的，加上三角形AOB与三角形DOC的面积和的，结果是多少？第四讲 行程问题(一)例 1从A站开往B站的公共汽车每隔30分钟开出一班，某乘客到A站时汽车刚好开出，他立即改为步行，速度每小时5km。向前走了3km时，被第二辆汽车赶上。再向前走5km又与第二辆汽车在返回的途中相遇。已知这辆汽车在B站停留了30分钟，求A、B两站的距

10、离是多少千米？解：画出示意图： 3km 5kmACDB如图，乘客从A站走到C点，用了350.6(小时)，第二辆汽车在乘客出发后0.5小时后才出发，行到C点所用的时间是0.60.50.1(小时)，所以汽车的速度是每小时30.130(km)。乘客从C点走到D点用了551(小时)，而汽车从C点到B站再返回D点，共用了1小时，其间去掉在B站停留的0.5小时，实际只行了0.5小时，所行路程是300.515(km)。所以从D点到B站的距离是(155)25(km)，由此可以求出A、B两站之间的距离是35513(km)。例 2一艘轮船在江中顺水航行48km需要4小时，逆水航行48千米需要6小时。这艘轮船从上游

11、A城驶向下游B城，已知两城的水路长72km，开船时，一位旅客从窗口抛出一块木板。问：船到B城时，木板离B城还有多少千米？解：这艘轮船顺水航行和逆水航行同样的距离，之所以需要的时间不同，是因为顺水航行时，由于水流的助力，实际速度等于船在静水中的速度加上水流的速度，而逆水航行时，由于水流的阻力，实际速度等于船在静水中的速度减去水流的速度。根据已知条件，这艘轮船的顺水速度是每小时48412(km)，逆水速度是4868(km)，按照和差问题的解法，水流的速度是每小时(128)22(km)。这艘轮船从A城到B城需要航行72126(小时)，在这段时间内，木板只漂流了2612(km)，所以，当船到B城时，木

12、板离B城还有721260(km)。练 习 四1小明和小强为了磨炼自己的意志，决定步行外出旅游。第一天走了27km，第二天走了18km，第三天走了21km，三天共走了22小时。如果每天步行的速度相同，这三天中，他们每天走了多少小时？2小明家离学校1360m，他从家步行到校，到校后发现忘记带数学书了，于是马上回家去取书随即又返回学校，共用了40分钟。他平均每分钟走多少米？3一列火车长100m，以每秒20m的速度通过一座500m长的桥。列车通过这座桥需要多少秒？4两地相距44km。如果甲、乙二人分别从两地同时出发相向而行，那么4小时后相遇；如果他们从同一地点同时出发同向而行，那么3小时后甲在乙前面9

13、km。求甲、乙二人的速度分别是每小时多少千米？5两个码头相距360km。一艘汽艇顺水行完全程要9小时，逆水行完全程要12小时。这艘汽艇在静水中每小时航行多少千米？这条河水流的速度是每小时多少千米？6 甲、乙两个码头相距336km。一艘船从乙码头逆水而上，行了14小时到达甲码头。已知船速是水速的13倍，这艘船从甲码头返回乙码头需要多少小时？第五讲 行程问题(二)例 1甲、乙两地相距420km，两辆汽车同时从甲地开往乙地，第一辆汽车每小时行42km，第二辆汽车每小时行28km，第一辆汽车到达乙地后立即返回，途中与第二辆汽车相遇。两车从同时开出到相遇一共用了多少小时？解法一：两车从开出到相遇所用的时

14、间，包括第一辆汽车从甲地到乙地所用的时间，和从乙地返回到与第二辆汽车相遇所用的时间。设第二辆汽车到达乙地时，第一辆汽车刚到达A地，画出示意图：A甲地乙地这时，第一辆汽车行了4204210(小时)，第二辆汽车也行了10小时，行了2810280(km)，A地与乙地相距420280140(km)，又过了140(4228)2(小时)，两车相遇，所以，两车从开出到相遇一共用了10212(小时)。解法二：演示发现，两车从开出到相遇一共行了全程的2倍，所以一共用了4202(4228)12(小时)。答：两车从同时开出到相遇一共用了12小时。例 2甲、乙、丙三人，甲每分钟走50m，乙每分钟走60m，丙每分钟走7

15、0m。甲、乙二人从东镇，丙从西镇同时出发相向而行，结果丙遇到乙后又经过2分钟遇到甲。求两镇之间的距离。解：画出示意图：甲乙、丙东镇西镇由于丙和乙相遇后，再经过2分钟与甲相遇，所以当丙与乙相遇时，乙比甲多行(5070)2240(m)。因为乙每分钟比甲多行605010(m)，所以这时三人都行了2401024(分钟)。因此，东、西两镇相距(6070)243120(m)。答：东、西两镇相距3120米。练 习 五1甲、乙两人在400m的环形跑道上锻炼身体。两人向相反的方向跑，从第一次相遇到第二次相遇间隔40秒，甲每秒跑6m，乙每秒跑多少米？2甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行40km，

16、乙车每小时行45km，两车相遇后继续前进，各自到达B、A两地后立即按原路返回，再次相遇。两车从出发到第二次相遇共用行了6小时，甲、乙两地相距多少千米？3A、B两地相距1200m，甲从A地乙从B地同时出发相向而行，甲每分钟行50m，乙每分钟行70m，第一次在C点相遇，相遇后继续前进，分别到达B、A两地后立即返回，第二次在D点相遇。C、D之间的距离是多少米？4战士小王骑自行车到县城为部队买菜，每小时行15km，1小时后，由于要增加买菜数量和品种，部队又派通讯员小李骑摩托车追赶小王。如果想在20分钟内追上小王，小李需要每分钟行多少千米？5甲、乙二人环湖竞走，环湖一周是400m，甲每分钟走100m，乙

17、每分钟走80m，现在甲在乙前面100m，经过多少分钟两人再次相遇？6一架飞机执行空投救灾物资的任务，原计划每分钟飞行9km，为了争取时间，将速度提高到每分钟12km，结果比原计划提前30分钟到达目的地，机场到空投目的地的距离是多少千米？第六讲 方程(一)例 1从19这9个数字中取出三个，组成六个不同的三位数。如果六个三位数的和是3330，那么这六个三位数中最大的是多少？(20XX年全国小学数学奥林匹克决赛题)解：用三个数字组成六个三位数时，每个数字在各个数位上都要出现2次。设这三个数字是a、b、c，所组成的六个三位数的和，就可以用100(abc)10(abc)1(abc)2222(abc)表示

18、。已知222(abc)3330，所以(abc)333022215。三个数字之和是15的有：9、1、5；8、2、5；7、3、5；6、4、5。要使所组成的三位数最大，数字中应该有9，所以，这六个三位数中最大的是951。例 2解方程 6x3。解：两边都乘以x, 左边的除以x被抵消，得 3x6。 两边都除以3, 就得到方程的解 x2。 例 3解方程 5(x1)2(13x)。 解：打开括号, 得 5x5262x 两边都减去5、加上2x, 结果左边的加5、右边的减2x，都被抵消，得 5x2x265 与原方程对比, 相当于把左边的加5移到右边变成减5, 把右边的减2x移到左边变成加2x。(这一步叫移项。移项

19、时加变成减，减变成加。)经过简单的计算，得 7x21 两边都除以7，就得到方程的解x3简单地说，解方程的步骤是：(1)有除数的消去除数；(2)有括号的打开括号；(3)把含有未知数的项移到一边，把不含未知数的项移到另一边；(4)用未知数的倍数除方程两边，就得到方程的解。练 习 六1. 有三个数字, 用它们组成的六个三位数的和是2220, 其中最大的数是多少? 2. 解方程 3.6x0.4 (x3)45 3. 解方程 2.4x9.81.4x9 10x711x5 4解方程 9x6(x1) 4(x0.25)8x 5. 解方程 2.574x5.52x 2(x1.5)116x 6. 解方程 0.5(2x)

20、1.5(1x) 3(1x)0.6(x1)0.3第七讲 方程(二)例1今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁、23岁、16岁。经过多少年后，爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和？(南京市第二届“兴趣杯”小学数学竞赛决赛题)解：设经过x年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和。这时爷爷78x岁，三个孙子的年龄分别是27x岁，23x岁，16x岁。于是 78x(27x)(23x)(16x) 78x663x 2x12 x6即，6年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和。例2甲、乙、丙三人，甲每分钟走50m，乙每分钟走60m，丙每分钟走70m。甲、乙二人从东镇，丙从西镇同时出发相向而行，结果丙遇到乙后又经过2分钟遇到甲

21、。求两镇之间的距离。解：这道题前面已经用算术法解过一次，这里再用方程法解一次，看看各有什么特点。设丙与乙相遇时行了x分钟，那么丙与甲相遇时就行了x2分钟。因为两镇之间的距离，既等于乙、丙的速度和乘乙、丙相遇时所行的时间，也等于甲、丙的速度和乘甲、丙相遇时所行的时间，于是 (6070)x(5070)(x2) 130x120x24010x240x24所以两镇之间的距离是(6070)243120(m)。答：东、西两镇相距3120m。练习七1明明今年8岁，妈妈今年32岁。问：多少年前，妈妈的年龄是明明的7倍？2五(1)班同学合买一件礼物送给敬老院的老爷爷和老奶奶。如果每人出6元，总数就多48元；如果每

22、人出4.5元，总数就少27元。五(1)班有多少人？3光明小学买回一批图书，如果每班发12本，还少16本；如果每班发10本，剩下20本。这个学校一共有多少个班？买回图书多少本？4六年级同学乘汽车到某地旅游，买车票99张，共花了280元。其中单程票第张2元，往返票每张4元。那么单程票和往返票相差多少张？(北京市第二届“迎春杯”小学数学竞赛试题)5王村小学举行数学竞赛，共10道题。每做对一道题得10分，每做错一道题倒扣2分。小明得了64分。他做错了几道题？(第一届小学生数学报数学竞赛试题)6大、小两个桶，原来水一样多。如果从小桶倒7kg水到大桶，这时大桶里的水是小桶里的3倍，大桶中原来有水多少千克？

23、(第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛题)参考答案第一讲速算与巧算1原式0.078780.078100.078120.078(781012)0.0781007.8。2原式(34.265.8)11.251125。3原式0.125(1605000)0.125800000100000。4原式22203.141.113.146970.83.48546967.3146。5原式0.25190.25810.2510025。6原式111731112711110011100。第二讲图形问题(一)1(812)1028(102)212(102)250(cm2)。2连接AE、CD、BF，AEB的面积是2，AED的面积是

24、2，BCF的面积是3，AFD的面积是4，BEF的面积是6，DEF的面积是12234618(cm2)。3BFDFFE6cm，FCBCBF862(cm)，GCCE624(cm)，阴影部分的面积是(46)2210(cm2)。4102240(cm2)。5三角形FBC的面积是12182108(cm2)，CE183212(cm)，三角形EBC的面积是1212272(cm2)，所以三角形EFC的面积是1087236(cm2)，DF是三角形EFC的高，等于362126(cm)。6因为三角形AGE的面积是三角形CGE的1.5倍，所以AG也是GC的1.5倍(两个三角形有公共顶点E)，BF也是FC的1.5倍(成比例

25、线段)，三角形AEC的面积等于长方形ABCD面积的一半减去三角形CDE的面积，是(121.512)12212122108(cm2)。第三讲图形问题(二)1AB426(cm)，BC28268(cm)，AGGD824(cm)，BF826(cm)。三角形EFG的面积是86442622(24)6216(cm2)。2按照已知条件，八角形的面积等于一个边长是8324的正方形的面积减去四个角上4个三角形的面积，是24248824448。3四个阴影部分自上而下，小三角形的面积是1120.5；上面的梯形的面积是(103)(101)2216；下面的梯形的面积是3(103)4220；大三角形的面积是3324.5。阴

26、影部分的面积是0.516204.541。4试算发现，108129，12和9恰好相差3，说明原来正方形的边长是12dm，所以锯下的木条的面积是12336(dm2)。5连接AF、EC如下图，AEC与AFC面积相等，AFC与BFC面积相等，AEC与AEB面积相等，所以AEB的面积是35 cm2。 DFC E A B6三角形AOD与三角形BOC的面积和，等于长方形面积是一半，是2402120(cm2)，三角形AOD与三角形BOC的面积和的是120260(cm2)；三角形AOB与三角形DOC的面积和也等于长方形面积的一半，三角形AOB与三角形DOC的面积和的是120340(cm2)。因此这两个和相加的结果是6040100(cm2)。第四讲 行程问题(一)1他们步行的速度是每小时(271821)223(km)。第一天走了2739(小时)，第二天走了1836(小时)，第三天走了2137(小时)。21360340102(m)。3(500100)2030(秒)。4甲的速度是每小时(44493