数值分析复习题答案.docx
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数值分析复习题答案
数值分析复习题
一、填空
Chapterl绪论
近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有3位有效数字.
用1000.1近似真值1000时,其有效数字有4位,
已知准确值X*与其有t位有效数字的近似值兀=°“冬…6xlO'(qH0)的绝对误差为
|x*-x|<^-xlOJ_/
设F=2.40315是真值x=2.40194的近似值,则F有3位有效数字。
J_xl0-4=-xl0-4
设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字,则其相对误差限是2x24,其
-xlO-4
绝对误差限是2o
yJx+l—\/x=/7=
当X很大时,为防止损失有效数字,应该使Va+1+V.v
Chapter2插值方法
设几丫)=3十+6〒一5亍+1,则亢—3,-2,-1,0丄2,3]=3。
若f(x)=2x4+x~・3,则f[l,2,3,4,5,6]=°
对f(x)=x3+3x2-x+5商f[0J,2,3,4]=0.
设/⑴二十一3疋+疋一5,则差商/[0丄2,3,4,5,6]=}
已知尸f(x)的均差/[vo^2,xi]=5,/[兀,兀入]=9,幷x4,x3,x2]=14,ffxO,x3,x2]=8,.那么均差f{x4,x2,x0]=9o(交换不变性)
x-112
设有数据,°32则其2次Laiange插值多项式为
-32
——(x+l)(x一2)+—(x+l)(x-1)
23,2次拟合多项式为(最佳平方逼近可求)。
?
?
?
以n+1个整数点k(k=0JZ…,n)为节点的Lagrange插值基函数为
(k=0丄2,…则k・o
?
?
(注:
y则有拉格朗口插值公式:
(x)=^yklk(x)k-0
S(x)=
若
x3-l
*(x-l)‘+a(x-l)2+b(x-l)+c
OVxSl
1MxM2
是三次样条函数,
则:
a=_3_,b=_3―c=0o
三次样条函数S(x)满足:
S(x)在区间[a,b]内二阶连续可导,S(xk)=yk(已知),且满足S(x)在每个子区间[xk,xk+1]上是不超过三次的多项式。
k=0丄2、•…11,
l・5x+l
—3x+10
x=[0.2]
x=[2,3]
i・
X
xO
xl
x2x3x4
ii.
y
yO
y!
y2y3y4
设有函数表如:
111-
•
y
mO
ml
ni2ni3m4
过(0,
1),(2,4),(3,
1)点的分段线性插值函数P(x)=
三次
则门J利用分段三次Hemute
插值,其插值多项式的次方为
Chapter3函数的最佳平方逼近
无
Chapter4数值积分与数值微分
牛顿一柯特斯求积公式的系数和
积分区间的长度(b・a)。
(验证梯形、辛普森、
科特斯公式满足)?
?
J
i311
f(x)dx=-f(-)+-f(l)
姒诅卒协公八'434的代数精度为:
2次代数精度°(依次将函数
l,x,x',…代入验证是否满足,可得代数精度)
「f\x)clxQ丄[2/(丄)-/(-)+2/(-)]求积公式3424」的代数精度为:
3次代数精度。
的近似值,其辛卜生公式为刊序
h归
求积分E的近似值,其复化梯形公式为尹⑷皿哼曲
厲血则用梯形公式得近似值为爭心处牟旦
11点高斯型求积公式其代数精度是211-1o如5点高斯求枳公式,其代数精度为9
Chapters线性方程组的直接解法
能用高斯消元法求解^=b的充要条件是A的各阶顺序主子式不为零(P113)
1」,当a满足条件QH—1且。
工3时(各阶顺序主子式不为零)/可作LU分解,
当d满足条件。
>3时(A为11阶对称正定矩阵),必有分解式A=LL!
\其中乙是对角元素为正的下三角阵。
Chapter6线性方程组的迭代解法
A=
设有矩阵
己知A=
3
-2
-3
6
14+辰
■,则10,MIAV2
「12丁
■f
654
1
一789
x=
1
,则帆=
45°
lx
3
-3
则:
JH„=_9^Kb<||<.||<=24
q(4)=
方阵A的谱半径是指
max
a.
!
?
i
~21-5「
P7彳]
4=
314
7112
设
278
则MIL=17,设A=
b26J
则阀=20o
矩阵4的条件数是指严d(4)訥・|鬥
非奇异矩阵A的条件数Cond(A)=?
?
A是病态是指条件数数值很大。
?
?
4=:
则条件数condx(A)=己知I。
1丿9。
Chapter8非线性方程的数值解法
解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数q)(x)满足在有根区间内0(X)|<厶<1,则在有根区间内任意取一点作为初始值,迭代解都收敛。
利用二分法求/(“)=°在S上]上根的近似值,误差限为
x_x/(忑)-呼
设f(x)可微,则求方程x—f(x)根的牛顿迭代格式为八忑丿-勺。
r,=r,
心)
求解方程f^=0的Newton迭代公式为
几忑)',割线公式为
求诉的近似值,其牛顿迭代格式是
求亦的近似值,其牛顿迭代格式为
/(习)
fg—fg)
序列KLo满足递推关系:
yn=ioyn“i,(n=i,2,…),若y。
有误差,这个计算过程不稳定。
Chapter9常微分方程初值问题的数值解法
微分方程数值解的几何意义是指用直线代替曲线。
?
?
卩=/(兀刃,a求解常微分方程处值问题的改进Euler(梯形法)公式为
它是二阶方法(二阶精度)。
Eulei法是一阶方
兀+产儿+#[/(©,兀)+/(济,儿+J]儿(°)=〃丿=0,1,…“一1
法(一阶精度)。
P218解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报一校正公式是
>\-+1=儿+/子(®」)J=0丄2…川-1h—
预报值:
畑=儿+加(耳,儿),校正值:
)>i=儿+才/(®,儿)+/(®〃儿+J]
h—
=儿+办/(®,儿)+/(©+“儿+J
O
计算题
Chapterl绪论
无
Chapter2插值方法
一、求一个次数不高于4的多项式p4(x),满足卞列插值条件:
X
0
12
f(x)
0
11
f(x)
0
1
解:
设:
P4(x)=ci4x4++a2x2+atxl+a,
根据已知条件(五个未知数五个已知条件)解方程组可得:
=¥a2=44=do=0
二、设/⑴在[忑比]上具有三阶连续导数,且f⑴卜M,x°H2,"是区间[XO,“2]的中点,P?
W是经过点(“0>/(X0)),(X1>f(Xl)),(X2J(“2))的二次
证明:
由于,4(x)是经过点(“),/(“))),(“,/(")),(兀,/(兀))则可以构造出二次牛顿插值或拉格朗口插值,其误差均为:
|/(x)-E(A-)|=R[f]=•(〃+『©+i(x),=(x—x°)(x—xJ...(x—£)
本题中n=2,|厂(x)|
三、作一个三次多项式H(x)使满足:
H(O)=1,H
(1)=O,H
(2)=1H
(1)=1。
解:
/(力为二次牛顿插值多项式,建立差商表,如下图所示:
01
10-1
2111
可得:
f(x)=l-"+x(x-l),令H(x)=/(x)+Ax(x-l)(x-2)
则H(x)=—2+2x+4(3对一6x+2),因为H(l)=l,解得人=_]
最后得满足条件的三次多项式:
H(x)=1-4x+4X—F。
ri._1,_1._4
ff(x)dxxo_-—,x2-—
四、对于积分J。
,若取节点525试推导一个插值型求积公式,
Cexdx
并用这个公式求Jo的近似值。
P74
解:
1、构造出三节点的拉格朗口插值多项式的基函数,如下:
.,.(x—0.5)(x—0.8)x~—1.3x4-0.4
厶以)_(0.2—0.5)(0.2—0.8)_0J8
厶(x)=
(x-0.2)(x-0.8)_x~-lx+0.16
1(0.5-0.2)(0.5-0.8)-0.09
.,(x—0.2)(x—0.5)x~—0.7x+3-(08一0.2)(0.8—0.5)0.18
2、先计算系数人*=°丄2,具体过程如下:
3、根据构造的积分公式,计算^edXt具体过程如下:
、rx2-lx+0.1,25
A=ax=——
1i0.1854
然后构造出积分公式:
0
j/⑴况丫Q£人/(切=豊/(兀)+荊(和+葺/(w)
五、给定数据
x0235
/W4119
试求/(X)的3次Newton插值多项式,并写出插值余项。
解:
求解差商,如卞表所示:
04
NAx)=4-—x+—x(x-2)+-x(x-2)(x-3)则:
226
(n+1)
fd(g)川门=/[兀・4心…,兀J(x—x°)(x—xJ…(X-捡)=—%©)
插值余项:
(〃+1)!
Chapter3函数的最佳平方逼近
b(p{x)=ax+—一.己知观测数据(1-5),(2,0),(4,5),(5,6),试用最小二乘法求形如X
的经验公式。
(10分)解:
1「一5
4
46
541
A7A=硕
4
=>
'b
■-6.433'
a
1.5377_
/W=-,xe[l,3]
X上的一次最佳平方逼近多项式及平方误差。
解:
取0。
";分别计算:
33
(規诫)=jldx=2他,a)=j*Mr=4
11
3
3
(血0)=jx2dx=8.667
1
]31
(規J)=J—dx=ln30,f)=\x—dx=21x1x
(00,00)@),0).
■■a
根据
_@),0)(0,02).
b
代入求解得:
a=11406b=-0.2957
即得:
目(力==1・14°6一°・2957兀为/0)在多项式集合=$卩血{1/}的最佳平方逼近。
||碓=(A/)-(A0)=||/-工G(八©)
平方误差:
匸0
31
|岡;=J-^/x-1.1406x1.0986+0.2957x2=0.005
ix
三、
AG[4,1],试求/(J的一次最佳平方逼近多项式,并估计误差。
解:
方法同上
四、
解:
XG0,—
L2」,试求/(X)的一次最佳平方逼近多项式,并估计误差。
五、
/(x)=smx
设
方法同上
2=Span{l,x-}.^M2中求/(Q=|x|在区间[-1,1]上的最佳平方逼近元。
解:
分别计算:
1
(00,/)=j|x|dxT
-1
1j
(0,/)=J|x|x2dx=^
-1
(00,00)@),0).
■■a
根据
@,0)(0,02).
b
-1
3ci=—代入求解得:
16
取0o=l;g=P2(x)=a+bx2
1
(妮诫)=jldx=2
-1
_2122
即得:
2X~16+16X为/(x)在多项式集合=span{l,x2}的最佳平方逼近。
6.用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线,使之拟合下列数据
x01.02.03.0
y0.20.51.01.2
解:
因为过原点,所以取以f;y二次曲线为:
pi^=ax+bx2
0
1
2
3
0
1
4
9
Ar=
A7A=
1436
3698
A7y=
6.1
15.3
由:
AATc=ATyf可得:
a=0.6184上=0.0711
即得:
恥)=°血皿一°・°711对为伽在多项式集合=span{x,x2}的最小二乘法拟合曲线。
*>
m~
冏“加-他)]=1-7575
平方误差:
「=0
"1
1
1
3
2
5
七.求解矛盾方程组:
3
-1
解:
1■
厂-
"2-
-1
人1
x2
-1
2
1
5
-2
1
A=1
2
11
3-1
52
3-15
1123
Ar=135-1
1-125
AU=
1119_
'-3~
363
=
6
331
9
-5
15
11
19
山.AATC=ATy可得.人=一1・5917,兀=0・5899、兀=0.7572
Chapter4数值积分与数值微分
-、把区间分成两网用复合辛卜生公式计丿白爲近呃保留小数点諏位'
并说明误差是多少。
解:
根据复合辛卜生公式
bhn-1n
JfWx=-[f(a)+f(b)+2工仙)+4^/(xj
误差分析:
/(0)+/(l)+2/(0+0.5)+4[/(0+O.5xO.5)+/(O+1.5x0.5)}
a°A=1A=1~
4+2+2x+4[/(0+0・5x0・5)+/(0+l・5x0・5)}
=3.1416
二、如果/(x)>°,证明用梯形公式计算积分'=〔'(兀血所得结果比准确值大,并说明其几何意义。
证明:
♦梯形积分公式余异心響gw
因为f(x)>0,所以町]<0,
“h—a
根据:
〒[心他]+町]
可得用梯形公式计算枳分
所得结果比准确值人。
2、几何意义:
?
?
?
?
?
?
利用梯形忍丽的面积2"⑷+几6]近似的代替曲边梯形曲劭的面积[丿⑺加
(如上图所示)
三.给定数据
儿1.30
1.32
1.34
1.36
1.38
/(X)3.602010
3.90330
4.25560
4.67344
5.17744
「1.38
/=If(x)dx
用Sunpson公式计算的近似值,并估计误差。
解:
?
?
?
?
?
1、将^=[1-30,1.38]进行“=2等分,则根据复合辛普森公式可计算,计算过程如卞:
£f(x)dx=纺⑷+f(b)+2乞/(母)+
复化的Sunpson公式:
“°A=1A=1了
2羽・004
£0/(切*〒{/(1.30)+/(1.38)+2/(1.34)+4“(1.32)+/(1.36)]}=0.34398
(注:
(0・4/6)*(3・602010+5・17744+2*4・2556+4*3・9033+4*4・67344))
2、误差估计:
以门=一与將严(),
本题中:
@-4)=(1・38-1.30)=0.08,“=0.04,设/⑴及其各阶导数的函
数值在区间内不产生较人的变化,因而利用各点间的斜率代替曲线切线,最后计算取严始)=38750,可得:
(1.38-1・30)(0・04『
2880
x38750=-0.34444xlO-4
试决定人5C使它的代数精
四、给定求积公式仁几次"如”於®9(/0度尽可能得高。
解:
1、由于该求积公式有三个未知系数可以确定,根据代数精度的定义,可知,该求枳公式至
少是2次精度,则将/(X)分别取h兀V代入该求积公式可得三个等式,从而确定系数A、
8-34-38-3==人养C
=>[:
f^)dxa-hj\-h)~-hf(O)+-/{/*(/?
)
E、C,具体过程如下:
4h=A+B+C
0=-Ah+Ch
-/?
=A/r+C/r132、将f^x)=x/,•••,*'代入求得的积分公式进行验证,若X"'成立而X"讯不成立,则该公式为m次代数精度,具体过程如下:
『:
疋厶=o三『:
/⑴弘=|h(-hy-fh⑼'+1h时=o
5J~2h333,精确成立;
不能精确成立:
JXX4dx=y/?
5^=仁J\x)dx=|/l(-/i)4-即(O)4+|/?
(/?
)4=y/?
5
f'f(x)dx^-hf(-/?
)+-hf(h)
所以:
求得的枳分公式为儿"333,具有3次代数精度。
四、设/(兀)四阶连续可导,兀=兀+旳昇=°丄厶…,试建立如下数值微分公式:
f3)羽_/~(Xo)-2/(xJ+f(X2)
并推导该公式的截断误差。
P1OO
解:
由已知条件%+旳八°丄2,…,得:
Xo=x1-h,x1,x2=x^h其中人为中间点,兀'兀分别为人的左右等距点,利用泰勒公式展开得:
(注:
四阶连续可
导,展开公式有四项)
/(A)=/a+心=/(和+旺G)+刁/(兀)+矛/Ui)
(1)
>213
fa。
)=/a-/?
)=/a)-//(兀)+琲f(兀)-专厂(不)
(2)
将
(1)、
(2)两式相加得:
/g)+/g)=2fg)Wg)=>f\Xi)=・/(兀)-2./CG+./CJ)
/a)=
/(xj—/(兀)
将
(1)、
(2)两式相减得:
fM-/(x0)=2hfXx.)
两个公式精度均为°(斥)。
Chapter5线性方程组的直接解法
Chaptei6线性方程组的迭代解法
“一2x2+2x3=5<—X]+3%->=—1
9r4-7r=7
的高斯一赛德尔迭代格式,并分析此格式
一、写出计算线性方程组113-
的收敛性.解:
■1
-2
2
4=
-1
3
0
2
0
7
3
x=<
V2
>b=<
—1
2
即:
AX=b
=5+2xk-2xk
123
1、高斯一赛德尔迭代格式为:
_22,+1
——x
771
2、判断该高斯一赛德尔迭代格式的收敛性:
迭代公式的矩阵形式:
严卩=Bsx{k>+fs
其中;Bs=(D+L尸U也=2+厶尸b
0
—42
42
0
-14
14
0
12
-12
人=入=0,入=
,求得:
「21,计算:
max
P(BJ=
26
1<3^"
21
所以,该迭代公式不收敛(即:
发散)。
5召-1lx2+x3=18
二、对下述方程组I12%1+兀_心
直接应用高斯一塞德尔迭代法求解是否收敛?
如果
不收敛试设法给出收敛
的迭代公式,并简述理由。
_5
-11
1_
、
18'
A=
-1
1
4
X=<
X2
>b=<
6
12
1
-1
9
解:
AX=b
2.2
-0.2
2.2
-4.2
28.6
-6.6
0
Bs=0
0
X迭代公式的矩阵形式:
严胡的其中:
—7D+im+L尸b
求得A=0,入=—2.2—10.0379/=—2.2+10.0379:
计算
Pg=
max
10.2762>1
所以该迭代公式不收敛(即:
发散)。
2、构造收敛的迭代公式?
?
?
5召一1lx2+x3=18
<-x1+x2+4x3=6
将[12x1+x2-x3=9化为:
)2
1
A=
5
-11
1
X=<
-1
1
4
A为严格对角占优矩阵,
12兀+无一兀=9
<5呂一1lx2+x3=18
-兀+丕+4x3=6则可得到新的:
9'
b=<
181即:
A'X=b
6
己知
‘20P
\、
050
b=
3,
、20>
1"丿
A=
用迭代公式严=严+一》)
其中:
所以采用雅可比和高斯塞德尔迭代都收敛!
伙=0丄2,...)。
求解Ax=b,问取什么实数a可使迭代收敛,什么a可使迭代收敛最快。
解:
1、将严〃=少+乂曲〉一卩化为标准形式严〉=9+必対-ab
令B=(E+&A),/=-ab,可得:
十"卩=Bx「l+2a0
a~
B=
0l+5a
0
由已经条件可得:
2a0
l+3a
,解得:
max
PlB)=
根据迭代法收敛的充要条件:
1<3^人=1+5久人=l+4a,/l3=l+a
可得关于&的不等式:
|1+5^|<1
|1+4^|<1
=>
2
--<5
--2
-22
,所以严时,恥)<1,
即迭代收敛。
2、求解&可使迭代收敛最快:
分别将恥)中+环切)斗1+44切)中+4作出曲线图,如上图所示。
在
2
心严的区间内,
P(B)=
max
A.
l的曲线为黑色粗线,则%(〃)为折线的最低
二丄
点(红点),即为曲线切)=卩+刈和切戶卩+4的交点,求得:
°一亍,使得最小。
1
判断°3),越小收敛精度越高。
当亍时,Q(B)=Q-n(〃),所以迭代收敛最快。
一2兀+2兀+3*3=12
<-4xx+2x2+兀=12
四、给定线性方程组*+2兀+3兀=16用列主元消元法求解所给线性方程组。
写出Gauss-Seidel迭代格式,并分析该迭代格式是否收敛。
解:
1、用列主元消元法求解所给线性方程组。
_-22312_
A\b=-42112
增广矩阵为:
L12316」对其进行列主元消元:
-4
=>0
0
2
1
-4
0
0
12
19
4
=>“一亍
28
2、
■-223'
■000_
-200'
_023