数值分析复习题答案.docx

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数值分析复习题答案

数值分析复习题

一、填空

Chapterl绪论

近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有3位有效数字.

用1000.1近似真值1000时，其有效数字有4位，

已知准确值X*与其有t位有效数字的近似值兀=°“冬…6xlO'（qH0）的绝对误差为

|x*-x|<^-xlOJ_/

设F=2.40315是真值x=2.40194的近似值，则F有3位有效数字。

J_xl0-4=-xl0-4

设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是2x24,其

-xlO-4

绝对误差限是2o

yJx+l—\/x=/7=

当X很大时，为防止损失有效数字，应该使Va+1+V.v

Chapter2插值方法

设几丫）=3十+6〒一5亍+1,则亢—3,-2,-1,0丄2,3]=3。

若f（x）=2x4+x~・3,则f[l,2,3,4,5,6]=°

对f（x）=x3+3x2-x+5商f[0J,2,3,4]=0.

设/⑴二十一3疋+疋一5,则差商/[0丄2,3,4,5,6]=}

已知尸f（x）的均差/[vo^2，xi]=5,/[兀，兀入]=9,幷x4,x3,x2]=14,ffxO,x3,x2]=8，.那么均差f{x4,x2,x0]=9o（交换不变性）

x-112

设有数据，°32则其2次Laiange插值多项式为

-32

——（x+l）（x一2）+—（x+l）（x-1）

23,2次拟合多项式为（最佳平方逼近可求）。

？

？

？

以n+1个整数点k（k=0JZ…，n）为节点的Lagrange插值基函数为

（k=0丄2,…则k・o

?

?

（注：

y则有拉格朗口插值公式:

（x）=^yklk（x）k-0

S（x）=

若

x3-l

*（x-l）‘+a（x-l）2+b（x-l）+c

OVxSl

1MxM2

是三次样条函数,

则:

a=_3_,b=_3―c=0o

三次样条函数S（x）满足：

S（x）在区间［a,b］内二阶连续可导，S（xk）=yk（已知）,且满足S（x）在每个子区间［xk,xk+1］上是不超过三次的多项式。

k=0丄2、•…11,

l・5x+l

—3x+10

x=[0.2]

x=[2,3]

i・

X

xO

xl

x2x3x4

ii.

y

yO

y!

y2y3y4

设有函数表如：

111-

•

y

mO

ml

ni2ni3m4

过（0,

1）,（2,4）,（3,

1）点的分段线性插值函数P（x）=

三次

则门J利用分段三次Hemute

插值，其插值多项式的次方为

Chapter3函数的最佳平方逼近

无

Chapter4数值积分与数值微分

牛顿一柯特斯求积公式的系数和

积分区间的长度（b・a）。

（验证梯形、辛普森、

科特斯公式满足）？

？

J

i311

f（x）dx=-f（-）+-f（l）

姒诅卒协公八'434的代数精度为：

2次代数精度°（依次将函数

l,x,x',…代入验证是否满足，可得代数精度）

「f\x）clxQ丄［2/（丄）-/（-）+2/（-）］求积公式3424」的代数精度为：

3次代数精度。

的近似值，其辛卜生公式为刊序

h归

求积分E的近似值,其复化梯形公式为尹⑷皿哼曲

厲血则用梯形公式得近似值为爭心处牟旦

11点高斯型求积公式其代数精度是211-1o如5点高斯求枳公式，其代数精度为9

Chapters线性方程组的直接解法

能用高斯消元法求解^=b的充要条件是A的各阶顺序主子式不为零（P113）

1」，当a满足条件QH—1且。

工3时（各阶顺序主子式不为零）/可作LU分解,

当d满足条件。

＞3时（A为11阶对称正定矩阵），必有分解式A=LL!

\其中乙是对角元素为正的下三角阵。

Chapter6线性方程组的迭代解法

A=

设有矩阵

己知A=

3

-2

-3

6

14+辰

■,则10,MIAV2

「12丁

■f

654

1

一789

x=

1

，则帆=

45°

lx

3

-3

则：

JH„=_9^Kb<||<.||<=24

q（4）=

方阵A的谱半径是指

max

a.

!

i

~21-5「

P7彳］

4=

314

7112

设

278

则MIL=17，设A=

b26J

则阀=20o

矩阵4的条件数是指严d（4）訥・|鬥

非奇异矩阵A的条件数Cond（A）=?

?

A是病态是指条件数数值很大。

？

？

4=：

则条件数condx（A）=己知I。

1丿9。

Chapter8非线性方程的数值解法

解方程f（x）=0的简单迭代法的迭代函数q）（x）满足在有根区间内0（X）|＜厶＜1,则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛。

利用二分法求/（“）=°在S上］上根的近似值，误差限为

x_x/（忑）-呼

设f（x）可微，则求方程x—f（x）根的牛顿迭代格式为八忑丿-勺。

r,=r,

心）

求解方程f^=0的Newton迭代公式为

几忑）'，割线公式为

求诉的近似值，其牛顿迭代格式是

求亦的近似值，其牛顿迭代格式为

/（习）

fg—fg）

序列KLo满足递推关系：

yn=ioyn“i，（n=i，2,…），若y。

有误差，这个计算过程不稳定。

Chapter9常微分方程初值问题的数值解法

微分方程数值解的几何意义是指用直线代替曲线。

？

？

卩=/（兀刃，a

求解常微分方程处值问题的改进Euler（梯形法）公式为

它是二阶方法（二阶精度）。

Eulei法是一阶方

兀+产儿+#[/（©，兀）+/（济,儿+J]儿（°）=〃丿=0,1,…“一1

法（一阶精度）。

P218解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报一校正公式是

>\-+1=儿+/子（®」）J=0丄2…川-1h—

预报值:

畑=儿+加（耳，儿），校正值:

）>i=儿+才/（®，儿）+/（®〃儿+J]

h—

=儿+办/（®,儿）+/（©+“儿+J

O

计算题

Chapterl绪论

无

Chapter2插值方法

一、求一个次数不高于4的多项式p4（x）,满足卞列插值条件:

X

0

12

f（x）

0

11

f（x）

0

1

解：

设：

P4（x）=ci4x4++a2x2+atxl+a,

根据已知条件（五个未知数五个已知条件）解方程组可得:

=¥a2=44=do=0

二、设/⑴在［忑比］上具有三阶连续导数，且f⑴卜M,x°H2,"是区间［XO，“2］的中点,P?

W是经过点（“0>/（X0）），（X1>f（Xl）），（X2J（“2））的二次

证明：

由于，4（x）是经过点（“），/（“））），（“，/（"）），（兀，/（兀））则可以构造出二次牛顿插值或拉格朗口插值，其误差均为：

|/（x）-E（A-）|=R[f]=•（〃+『©+i（x）,=（x—x°）（x—xJ...（x—£）

本题中n=2,|厂（x）|

三、作一个三次多项式H（x）使满足：

H（O）=1,H

（1）=O,H

（2）=1H

（1）=1。

解：

/（力为二次牛顿插值多项式，建立差商表，如下图所示：

01

10-1

2111

可得：

f（x）=l-"+x（x-l）,令H（x）=/（x）+Ax（x-l）（x-2）

则H（x）=—2+2x+4（3对一6x+2）,因为H（l）=l,解得人=_］

最后得满足条件的三次多项式：

H（x）=1-4x+4X—F。

ri._1,_1._4

ff（x）dxxo_-—,x2-—

四、对于积分J。

，若取节点525试推导一个插值型求积公式,

Cexdx

并用这个公式求Jo的近似值。

P74

解：

1、构造出三节点的拉格朗口插值多项式的基函数，如下:

.,.（x—0.5）（x—0.8）x~—1.3x4-0.4

厶以）_（0.2—0.5）（0.2—0.8）_0J8

厶（x）=

（x-0.2）（x-0.8）_x~-lx+0.16

1（0.5-0.2）（0.5-0.8）-0.09

.,（x—0.2）（x—0.5）x~—0.7x+3-（08一0.2）（0.8—0.5）0.18

2、先计算系数人*=°丄2,具体过程如下:

3、根据构造的积分公式，计算^edXt具体过程如下:

、rx2-lx+0.1,25

A=ax=——

1i0.1854

然后构造出积分公式：

0

j/⑴况丫Q£人/（切=豊/（兀）+荊（和+葺/（w）

五、给定数据

x0235

/W4119

试求/（X）的3次Newton插值多项式，并写出插值余项。

解：

求解差商，如卞表所示：

04

NAx）=4-—x+—x（x-2）+-x（x-2）（x-3）则：

226

（n+1）

fd（g）川门=/[兀・4心…,兀J（x—x°）（x—xJ…（X-捡）=—%©）

插值余项：

（〃+1）!

Chapter3函数的最佳平方逼近

b（p｛x）=ax+—一.己知观测数据（1-5）,（2,0）,（4,5）,（5,6）,试用最小二乘法求形如X

的经验公式。

（10分）解:

1「一5

4

46

541

A7A=硕

4

=>

'b

■-6.433'

a

1.5377_

/W=-,xe[l,3]

X上的一次最佳平方逼近多项式及平方误差。

解:

取0。

"；分别计算:

33

（規诫）=jldx=2他，a）=j*Mr=4

11

3

3

（血0）=jx2dx=8.667

1

]31

（規J）=J—dx=ln30,f）=\x—dx=21x1x

（00,00）@）,0）.

■■a

根据

_@），0）（0,02）.

b

代入求解得：

a=11406b=-0.2957

即得：

目（力==1・14°6一°・2957兀为/0）在多项式集合=$卩血｛1/｝的最佳平方逼近。

||碓=（A/）-（A0）=||/-工G（八©）

平方误差：

匸0

31

|岡;=J-^/x-1.1406x1.0986+0.2957x2=0.005

ix

三、

AG[4，1],试求/（J的一次最佳平方逼近多项式，并估计误差。

解:

方法同上

四、

解：

XG0,—

L2」，试求/（X）的一次最佳平方逼近多项式，并估计误差。

五、

/（x）=smx

设

方法同上

2=Span{l,x-}.^M2中求/（Q=|x|在区间[-1,1]上的最佳平方逼近元。

解：

分别计算:

1

（00，/）=j|x|dxT

-1

1j

（0，/）=J|x|x2dx=^

-1

（00,00）@）,0）.

■■a

根据

@，0）（0,02）.

b

-1

3ci=—代入求解得：

16

取0o=l；g=P2（x）=a+bx2

1

（妮诫）=jldx=2

-1

_2122

即得：

2X~16+16X为/（x）在多项式集合=span{l,x2}的最佳平方逼近。

6.用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据

x01.02.03.0

y0.20.51.01.2

解：

因为过原点，所以取以f；y二次曲线为：

pi^=ax+bx2

0

1

2

3

0

1

4

9

Ar=

A7A=

1436

3698

A7y=

6.1

15.3

由:

AATc=ATyf可得:

a=0.6184上=0.0711

即得：

恥）=°血皿一°・°711对为伽在多项式集合=span{x,x2}的最小二乘法拟合曲线。

*>

m~

冏“加-他）]=1-7575

平方误差：

「=0

"1

1

1

3

2

5

七.求解矛盾方程组：

3

-1

解：

1■

厂-

"2-

-1

人1

x2

-1

2

1

5

-2

1

A=1

2

11

3-1

52

3-15

1123

Ar=135-1

1-125

AU=

1119_

'-3~

363

=

6

331

9

-5

15

11

19

山.AATC=ATy可得.人=一1・5917,兀=0・5899、兀=0.7572

Chapter4数值积分与数值微分

-、把区间分成两网用复合辛卜生公式计丿白爲近呃保留小数点諏位'

并说明误差是多少。

解：

根据复合辛卜生公式

bhn-1n

JfWx=-[f（a）+f（b）+2工仙）+4^/（xj

误差分析：

/（0）+/（l）+2/（0+0.5）+4[/（0+O.5xO.5）+/（O+1.5x0.5）}

a°A=1A=1~

4+2+2x+4[/（0+0・5x0・5）+/（0+l・5x0・5）}

=3.1416

二、如果/（x）＞°,证明用梯形公式计算积分'=〔'（兀血所得结果比准确值大，并说明其几何意义。

证明：

♦梯形积分公式余异心響gw

因为f（x）＞0,所以町］＜0,

“h—a

根据：

〒［心他］+町］

可得用梯形公式计算枳分

所得结果比准确值人。

2、几何意义：

？

?

?

?

?

?

利用梯形忍丽的面积2"⑷+几6］近似的代替曲边梯形曲劭的面积［丿⑺加

（如上图所示）

三.给定数据

儿1.30

1.32

1.34

1.36

1.38

/（X）3.602010

3.90330

4.25560

4.67344

5.17744

「1.38

/=If（x）dx

用Sunpson公式计算的近似值，并估计误差。

解:

?

?

?

?

?

1、将^=［1-30,1.38］进行“=2等分，则根据复合辛普森公式可计算，计算过程如卞:

£f（x）dx=纺⑷+f（b）+2乞/（母）+

复化的Sunpson公式：

“°A=1A=1了

2羽・004

£0/（切*〒{/（1.30）+/（1.38）+2/（1.34）+4“（1.32）+/（1.36）]}=0.34398

（注：

（0・4/6）*（3・602010+5・17744+2*4・2556+4*3・9033+4*4・67344））

2、误差估计:

以门=一与將严（），

本题中:

@-4）=（1・38-1.30）=0.08,“=0.04,设/⑴及其各阶导数的函

数值在区间内不产生较人的变化，因而利用各点间的斜率代替曲线切线，最后计算取严始）=38750,可得：

（1.38-1・30）（0・04『

2880

x38750=-0.34444xlO-4

试决定人5C使它的代数精

四、给定求积公式仁几次"如”於®9（/0度尽可能得高。

解：

1、由于该求积公式有三个未知系数可以确定，根据代数精度的定义，可知，该求枳公式至

少是2次精度，则将/（X）分别取h兀V代入该求积公式可得三个等式，从而确定系数A、

8-34-38-3==人养C

=>[:

f^）dxa-hj\-h）~-hf（O）+-/{/*（/?

）

E、C,具体过程如下:

4h=A+B+C

0=-Ah+Ch

-/?

=A/r+C/r132、将f^x）=x/，•••，*'代入求得的积分公式进行验证，若X"'成立而X"讯不成立，则该公式为m次代数精度，具体过程如下：

『：

疋厶=o三『：

/⑴弘=|h（-hy-fh⑼'+1h时=o

5J~2h333,精确成立；

不能精确成立:

JXX4dx=y/?

5^=仁J\x）dx=|/l（-/i）4-即（O）4+|/?

（/?

）4=y/?

5

f'f（x）dx^-hf（-/?

）+-hf（h）

所以：

求得的枳分公式为儿"333，具有3次代数精度。

四、设/（兀）四阶连续可导，兀=兀+旳昇=°丄厶…，试建立如下数值微分公式：

f3）羽_/~（Xo）-2/（xJ+f（X2）

并推导该公式的截断误差。

P1OO

解：

由已知条件％+旳八°丄2,…，得：

Xo=x1-h,x1,x2=x^h其中人为中间点，兀'兀分别为人的左右等距点，利用泰勒公式展开得：

（注：

四阶连续可

导，展开公式有四项）

/（A）=/a+心=/（和+旺G）+刁/（兀）+矛/Ui）

（1）

>213

fa。

）=/a-/?

）=/a）-//（兀）+琲f（兀）-专厂（不）

（2）

将

（1）、

（2）两式相加得：

/g）+/g）=2fg）Wg）=>f\Xi）=・/（兀）-2./CG+./CJ）

/a）=

/（xj—/（兀）

将

（1）、

（2）两式相减得：

fM-/（x0）=2hfXx.）

两个公式精度均为°（斥）。

Chapter5线性方程组的直接解法

Chaptei6线性方程组的迭代解法

“一2x2+2x3=5<—X]+3%->=—1

9r4-7r=7

的高斯一赛德尔迭代格式，并分析此格式

一、写出计算线性方程组113-

的收敛性.解：

■1

-2

2

4=

-1

3

0

2

0

7

3

x=<

V2

>b=<

—1

2

即：

AX=b

=5+2xk-2xk

123

1、高斯一赛德尔迭代格式为:

_22,+1

——x

771

2、判断该高斯一赛德尔迭代格式的收敛性:

迭代公式的矩阵形式:

严卩=Bsx{k>+fs

其中；Bs=（D+L尸U也=2+厶尸b

0

—42

42

0

-14

14

0

12

-12

人=入=0,入=

，求得：

「21,计算:

max

P（BJ=

26

1

21

所以，该迭代公式不收敛（即：

发散）。

5召-1lx2+x3=18

二、对下述方程组I12%1+兀_心

直接应用高斯一塞德尔迭代法求解是否收敛？

如果

不收敛试设法给出收敛

的迭代公式，并简述理由。

_5

-11

1_

、

18'

A=

-1

1

4

X=<

X2

>b=<

6

12

1

-1

9

解:

AX=b

2.2

-0.2

2.2

-4.2

28.6

-6.6

0

Bs=0

0

X迭代公式的矩阵形式：

严胡的其中:

—7D+im+L尸b

求得A=0,入=—2.2—10.0379/=—2.2+10.0379：

计算

Pg=

max

10.2762>1

所以该迭代公式不收敛（即：

发散）。

2、构造收敛的迭代公式？

？

？

5召一1lx2+x3=18

<-x1+x2+4x3=6

将［12x1+x2-x3=9化为:

）2

1

A=

5

-11

1

X=<

-1

1

4

A为严格对角占优矩阵,

12兀+无一兀=9

<5呂一1lx2+x3=18

-兀+丕+4x3=6则可得到新的：

9'

b=<

181即：

A'X=b

6

己知

‘20P

\、

050

b=

3,

、20>

1"丿

A=

用迭代公式严=严+一》）

其中:

所以采用雅可比和高斯塞德尔迭代都收敛!

伙=0丄2,...）。

求解Ax=b,问取什么实数a可使迭代收敛，什么a可使迭代收敛最快。

解：

1、将严〃=少+乂曲〉一卩化为标准形式严〉=9+必対-ab

令B=（E+&A），/=-ab，可得：

十"卩=Bx

「l+2a0

a~

B=

0l+5a

0

由已经条件可得：

2a0

l+3a

，解得:

max

PlB）=

根据迭代法收敛的充要条件:

1

人=1+5久人=l+4a,/l3=l+a

可得关于&的不等式:

|1+5^|<1

|1+4^|<1

=>

2

--<

5

--

2

-2

2

，所以严时，恥）＜1,

即迭代收敛。

2、求解&可使迭代收敛最快:

分别将恥）中+环切）斗1+44切）中+4作出曲线图,如上图所示。

在

2

心严的区间内,

P（B）=

max

A.

l

的曲线为黑色粗线，则％（〃）为折线的最低

二丄

点（红点），即为曲线切）=卩+刈和切戶卩+4的交点，求得：

°一亍，使得最小。

1

判断°3）,越小收敛精度越高。

当亍时，Q（B）=Q-n（〃），所以迭代收敛最快。

一2兀+2兀+3*3=12

<-4xx+2x2+兀=12

四、给定线性方程组*+2兀+3兀=16用列主元消元法求解所给线性方程组。

写出Gauss-Seidel迭代格式，并分析该迭代格式是否收敛。

解：

1、用列主元消元法求解所给线性方程组。

_-22312_

A\b=-42112

增广矩阵为：

L12316」对其进行列主元消元:

-4

=>0

0

2

1

-4

0

0

12

19

4

=>“一亍

28

2、

■-223'

■000_

-200'

_023