数值分析复习题答案.docx

1、数值分析复习题答案数值分析复习题一、填空Chapterl 绪论近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有3 位有效数字.用1000.1近似真值1000时，其有效数字有4 位，已知准确值X*与其有t位有效数字的近似值兀=“冬6 xlO （q H 0）的绝对误差为|x*-x| -xlOJ_/设F = 2.40315是真值x = 2.40194的近似值，则F有3位有效数字。J_xl0-4 = -xl0-4设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是2x2 4 ,其-xlO-4绝对误差限是2 oyJx+l /x = / 7=当X很大时，为防止损失有效数字，应该使 Va + 1

2、 + V.vChapter2插值方法设几丫) = 3十 + 6一5亍+ 1,则亢3,-2,- 1,0丄2,3= 3。若 f(x) = 2x4+x 3,则 fl,2,3,4,5,6 = 对 f(x)=x3+3x2-x+5 商 f0J ,2,3,4= 0 .设/二十一3疋+疋一5,则差商/0丄2,3,4,5,6= 已知尸f（x）的均差 / vo2，xi = 5 , /兀，兀入=9,幷x4, x3, x2=14, ffxO, x3, x2=8，.那么 均差fx4, x2, x0= 9 o （交换不变性）x -1 1 2设有数据， 3 2 则其2次Laiange插值多项式为-3 2（x + l）（x

3、一 2） + （x+l）（x -1）2 3 , 2次拟合多项式为（最佳平方逼近可求）。？ ？ ？以n + 1个整数点k （ k =0JZ，n）为节点的Lagrange插值基函数为(k=0丄2,则ko?（注：y则有拉格朗口插值公式:(x) = yklk(x) k-0S(x) =若x3-l*(x-l) +a(x-l)2 +b(x-l) + cOVxSl1MxM2是三次样条函数,则:a=_3_, b=_3 c= 0 o三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间a,b内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知), 且满足S(x)在每个子区间xk, xk+1上是 不超过三次的多项式 。k=0 丄 2、11,l

4、5x+l3x + 10x = 0.2x = 2,3iXxOxlx2 x3 x4ii.yyOy!y2 y3 y4设有函数表如：111-ymOmlni2 ni3 m4过(0,1), (2, 4), (3,1)点的分段线性插值函数P(x)=三次则门J利用分段三次Hemute插值，其插值多项式的次方为Chapter3函数的最佳平方逼近无Chapter4数值积分与数值微分牛顿一柯特斯求积公式的系数和积分区间的长度(ba)。(验证梯形、辛普森、科特斯公式满足)？ ？Ji 3 11f(x)dx = -f(-) + -f(l)姒诅卒协公八 4 3 4 的代数精度为：2次代数精度 (依次将函数l,x,x,代入验

5、证是否满足，可得代数精度)fx)clx Q 丄2/(丄)-/(-) + 2/(-) 求积公式3 4 2 4的代数精度为：3次代数精度。的近似值，其辛卜生公式为刊序h 归求积分E的近似值,其复化梯形公式为尹皿哼曲厲血则用梯形公式得近似值为爭心处牟旦11点高斯型求积公式其代数精度是211-1 o如5点高斯求枳公式，其代数精度为9Chapters线性方程组的直接解法能用高斯消元法求解 = b的充要条件是A的各阶顺序主子式不为零(P113 )1，当a满足条件QH1且。工3时(各阶顺序主子式不为零)/可作LU分解,当d满足条件。3时(A为11阶对称正定矩阵)，必有分解式A = LL!其中乙是对角元素 为

6、正的下三角阵。Chapter6线性方程组的迭代解法A =设有矩阵己知A=3-2-3614 +辰,则10 , MIA V 21 2 丁f6 5 41一7 8 9,x=1，则帆=45 lx3-3,则：JH = _9Kb|.| = 24q(4)=方阵A的谱半径是指maxa.!/? i2 1 -5P 7彳4 =3 1 47 11 2设2 7 8,则 MIL= 17，设 A=b 2 6 J,则阀=20 o矩阵4的条件数是指 严d(4)訥|鬥非奇异矩阵A的条件数Cond(A)= ? ? , A是病态是指条件数数值很大。？ ？4= ： 则条件数 condx (A)= 己知I。1丿 9。Chapter8非线性

7、方程的数值解法解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数q)(x)满足在有根区间内0(X)|厶1 ,则在有根 区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛。利用二分法求/(“)=在S上上根的近似值，误差限为x _x /(忑)-呼设f(x)可微，则求方程xf(x)根的牛顿迭代格式为 八忑丿-勺 。r, = r,心）求解方程f = 0的Newton迭代公式为几忑），割线公式为求诉的近似值，其牛顿迭代格式是求亦 的近似值，其牛顿迭代格式为/(习)fgfg)序列KLo满足递推关系：yn = ioyn“i，（n=i，2,），若y。有误差，这个计算过程 不稳定。Chapter9常微分方程初值问题的数值解法微分方

8、程数值解的几何意义是指用直线代替曲线。？ ？卩=/（兀刃，ax-+1 =儿+ /子()J = 0丄2川-1 h 预报值:畑=儿+加（耳，儿），校正值:)i =儿 + 才/(，儿)+ /(儿+Jh =儿 +办/（,儿）+ /（+“ 儿+JO计算题Chapterl 绪论无Chapter2插值方法一、求一个次数不高于4的多项式p4（x）,满足卞列插值条件:X01 2f(x)01 1f(x)01解：设：P4(x) = ci4x4 + + a2x2 + atxl + a,根据已知条件（五个未知数五个已知条件）解方程组可得:= a2= 4 4 = do = 0二、设/在忑比上具有三阶连续导数，且f卜M,x

9、H2,是 区间XO，“2 的中点,P? W 是经过点 (“0 /(X0 )，(X1 f(Xl)，(X2 J(“2 )的二次证明：由于，4(x)是经过点(“)，/(“)，(“，/()，(兀，/(兀)则可以构造出二次牛 顿插值或拉格朗口插值，其误差均为：|/(x)-E(A-)| = Rf =( + +i(x), = (xx)(xxJ.(x )本题中n = 2, |厂(x)|M ,x0 xb-6.433a1.5377_/W = -,xel,3X 上的一次最佳平方逼近多项式及平方误差。解:取0。； 分别计算:3 3(規诫) = jldx = 2 他，a)= j*Mr = 41 133(血 0) = j

10、 x2dx = 8.6671 3 1(規 J) = Jdx = ln3 0, f) = xdx = 2 1 x 1 x(00,00),0). a根据_)，0) (0,02).b代入求解得：a = 1 1406 b = -0.2957即得：目(力=1146一2957兀为/0)在多项式集合=$卩血1/的最佳平方逼近。|碓= (A/)-(A 0) = |/-工 G (八 )平方误差： 匸03 1|岡;=J -/x-1.1406x1.0986+0.2957 x2 = 0.005i x三、AG4，1,试求/(J的一次最佳平方逼近多项式，并估计误差。解:方法同上四、解：XG 0,L 2，试求/(X)的一次

11、最佳平方逼近多项式，并估计误差。五、/(x) = smx设方法同上2=Spanl,x-.M2中求/(Q=|x|在区间-1,1上的最佳平方逼近元。解：分别计算:1(00，/) = j|x|dxT-11 j(0，/) = J|x|x2dx = -1(00,00),0). a根据，0) (0,02).b-13 ci = 代入求解得： 16取0o = l； g = P2(x) = a + bx21(妮诫)=j ldx = 2-1_2 12 2即得：2 X 16 + 16 X为/(x)在多项式集合=spanl,x2的最佳平方逼近。6.用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据x 0 1.0

12、 2.0 3.0y 0.2 0.5 1.0 1.2解：因为过原点，所以取以f； y 二次曲线为：pi=ax+bx201230149Ar =A7A =14 3636 98A7y =6.115.3由:AATc=ATy f 可得:a = 0.6184 上= 0.0711即得：恥)=血皿一711对为伽在多项式集合=spanx,x2的最小二乘法拟合 曲线。*m 冏“加-他)=1-7575平方误差： =0111325七.求解矛盾方程组：3-1解：1 厂 -2 -1人1x2-1215-21A= 121 13 -15 23-15112 3Ar = 1 3 5 -11-12 5AU =11 19_-336 3=

13、63 319-5151119山.AATC = ATy 可得.人=一15917,兀=05899、兀= 0.7572Chapter4数值积分与数值微分-、把区间分成两网用复合辛卜生公式计丿白爲近呃保留小数点諏位并说明误差是多少。 解：根据复合辛卜生公式b h n-1 nJ fWx = -f(a) + f(b) + 2工仙)+ 4/(x j误差分析：/(0) + /(l) + 2/(0 + 0.5) + 4/(0 + O.5xO.5) + /(O + 1.5x 0.5)a A=1 A=1 4+ 2 + 2x+4/(0 + 05x05) + /(0 + l5x05)= 3.1416二、如果/（x）,证

14、明用梯形公式计算积分=（兀血所得结果比准确值大，并说 明其几何意义。证明：梯形积分公式余异心響gw因为f（x）0,所以町0,“ h a根据：心他+町可得用梯形公式计算枳分所得结果比准确值人。2、几何意义：？ ? ? ? ? ?利用梯形忍丽的面积2 +几6近似的代替曲边梯形曲劭的面积丿加(如上图所示)三.给定数据儿 1.301.321.341.361.38/(X) 3.6020103.903304.255604.673445.177441.38/ = I f(x)dx用Sunpson公式计算 的近似值，并估计误差。解:? ? ? ? ?1、将 = 1-30,1.38进行“=2等分，则根据复合辛普

15、森公式可计算，计算过程如卞: f(x)dx =纺 + f(b) + 2 乞/(母)+复化的 Sunpson 公式：“ A=1 A=1 了2羽 0 040 /(切*/(1.30) + /(1.38) + 2/(1.34) + 4“(1.32) + /(1.36) = 0.34398(注：(04/6)*(3602010+517744+2*42556+4*39033+4*467344)2、误差估计:以门=一与將严()，本题中:-4)= (138-1.30) = 0.08, “ = 0.04,设/及其各阶导数的函数值在区间内不产生较人的变化，因而利用各点间的斜率代替曲线切线，最后计算取 严始) = 3

16、8750,可得：(1.38-130)(0042880x 38750 =-0.34444 xlO-4试决定人5C使它的代数精四、给定求积公式仁几次如”於9(/0 度尽可能得高。解：1、由于该求积公式有三个未知系数可以确定，根据代数精度的定义，可知，该求枳公式至少是2次精度，则将/(X)分别取h兀V代入该求积公式可得三个等式，从而确定系数A、8-3 4-3 8-3 = = 人养 C= :f)dx a -hj-h) -hf(O) + -/*(/?)E、C,具体过程如下:4h = A + B + C0 = -Ah + Ch-/? = A/r + C/r 13 2、将fx)= x /，*代入求得的积分公

17、式进行验证，若X成立而X讯不成立，则该公 式为m次代数精度，具体过程如下：疋厶=o三：/弘=| h(-hy - f h+1 h时=o5J2h 3 3 3,精确成立；不能精确成立:JX X4dx =y/?5=仁 Jx)dx = |/l(-/i)4 -即(O)4 + |/?(/?)4 = y/?5f f(x)dx -hf (-/?) + - hf (h)所以：求得的枳分公式为儿 3 3 3 ，具有3次代数精度。四、设/(兀)四阶连续可导，兀=兀+旳昇=丄厶，试建立如下数值微分公式： f 3)羽 _/(Xo)-2/(xJ + f(X2)并推导该公式的截断误差。P1OO解：由已知条件 +旳八丄2,，得

18、：Xo = x1-h,x1,x2 =xh 其中人为中间点，兀兀分别为人的左右等距点，利用泰勒公式展开得：(注：四阶连续可导，展开公式有四项)/(A)=/a+心=/(和+旺 G)+刁/(兀)+矛/ Ui) (1)2 1 3fa。)=/a - /?)=/a)- /(兀)+琲 f(兀)-专厂(不)(2)将(1)、(2)两式相加得：/g) + /g) = 2fg)Wg) = fXi)=/(兀)-2./CG + ./CJ)/a)=/(xj /(兀)将(1)、(2)两式相减得：fM- /(x0) = 2hfXx.)两个公式精度均为（斥）。Chapter5线性方程组的直接解法Chaptei6线性方程组的迭代

19、解法“ 一 2x2 + 2x3 = 5 = 19 r 4- 7 r = 7的高斯一赛德尔迭代格式，并分析此格式一、写出计算线性方程组11 3 -的收敛性. 解： 1-224 =-1302073x= b = + fs其中；Bs=（D + L尸U也=2 +厶尸b042420-1414012-12人=入=0,入=，求得： 21,计算:maxP(BJ =261/3 21所以，该迭代公式不收敛（即：发散）。5召-1 lx2 + x3 = 18二、对下述方程组I 12%1 +兀_心直接应用高斯一塞德尔迭代法求解是否收敛？如果不收敛试设法给出收敛的迭代公式，并简述理由。_5-111_、18A =-114X

20、= b =1所以该迭代公式不收敛（即：发散）。2、构造收敛的迭代公式？ ？ ？5召 一 1 lx2 +x3 = 18 -x1 + x2 + 4x3 = 6将12x1 + x2-x3=9 化为:)21A =5-111X = -114A为严格对角占优矩阵,12兀+无一兀=9 5呂 一 1 lx2 + x3 =18-兀+丕+ 4x3 = 6则可得到新的：9b =1丿A =用迭代公式严=严+ 一）其中:所以采用雅可比和高斯塞德尔迭代都收敛!伙=0丄2,.）。求解Ax = b,问取什么实数a可使迭代收敛，什么a可使迭代收敛最快。解：1、将严=少+ 乂曲一卩化为标准形式严=9 +必対-ab令 B = (E

21、 + &A)，/ = -ab，可得：十卩=Bxk) + fl + 2a 0a B =0 l + 5a0由已经条件可得：2a 0l+3a，解得:maxPlB) =根据迭代法收敛的充要条件:1/3 l人=1 + 5久人=l + 4a,/l3 =l + a可得关于&的不等式:|1 + 5|1|1 + 4| 2-z 05-a 02-2 a 02，所以严时，恥）1,即迭代收敛。2、求解&可使迭代收敛最快:分别将恥）中+环切）斗1+44切）中+4作出曲线图,如上图所示。在2心严的区间内,P(B) =maxA.lz3 i的曲线为黑色粗线，则（）为折线的最低二丄点（红点），即为曲线切）=卩+刈和切戶卩+4的交点，求得：一亍，使得 最小。1判断3）,越小收敛精度越高。当 亍时，Q（B）= Q-n（），所以迭代收敛最快。一2兀 + 2兀 +3*3 = 12 0021-40012194=“ 一亍282、-2 2 3 0 0 0_-2 0 0_0 2 3