九上第三次月考题含一元二次方程二次函数旋转圆.docx
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九上第三次月考题含一元二次方程二次函数旋转圆
九年级(上)第三次月考数学试卷
班级学号姓名成绩
一、选择题(共10题,每题4分共40分)
1.下列是二次函数的是()
A.y=ax2+bx+cB.y=
+xC.y=x2﹣(x+7)2D.y=(x+1)(2x﹣1)
2.剪纸是我国最古老民间艺术之一,被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》,下列剪纸作品中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是()
A.
B.
C.
D.
3.将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,得到的抛物线解析式是()
A.y=(x﹣4)2﹣6B.y=(x﹣4)2﹣2C.y=(x﹣2)2﹣2D.y=(x﹣1)2﹣3
4.如图,正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D′的坐标是()
A.(2,10)B.(﹣2,0)
C.(2,10)或(﹣2,0)D.(10,2)或(﹣2,0)
5.某服装店进价为30元的内衣,以50元售出,平均每月能售出300件,经试销发现每件内衣每涨价10元,其月销售量就减少10件,为实现每月利润8700元,设定价为x元,则可得方程()
A.300(x﹣30)=8700B.x(x﹣50)=8700
C.(x﹣30)[300﹣(x﹣50)]=8700D.(x﹣30)(300﹣x)=8700
6.如图,在Rt△ABC中∠ACB=90°,AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作⊙O,设线段CD的中点为P,则点P与⊙O的位置关系是()
A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.无法确定
7.若关于x的方程k2x2﹣(2k+1)x+1=0有实数根,则k的取值范围是()
A.﹣
B.
C.
D.k≥﹣
且k≠0
8.点O是△ABC的外心,若∠BOC=80°,则∠BAC的度数为()
A.40°B.100°C.40°或140°D.40°或100°
9.若函数y=mx2+(m+2)x+
m+1的图象与x轴只有一个交点,那么m的值为()
A.0B.0或2C.2或﹣2D.0,2或﹣2
10.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA=OC.则下列结论:
①abc<0;②
>0;③ac﹣b+1=0;④OA•OB=﹣
.
其中正确结论的个数是()
A.4B.3C.2D.1
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
11.关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2+3a﹣4=0有一个实数根是x=0,则a的值为__________.
12.若点P(﹣1﹣2a,2a﹣4)关于原点对称的点在第一象限内,则a的整数解有__________个.
13.已知点A(4,y1),B(
,y2),C(﹣2,y3)都在二次函数y=﹣(x﹣2)2+k的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是__________.
14.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是__________.
15.如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60°,点C为弧BD的中点,则AC的长是__________.
三、解答题(共2个题,每题8分,共16分)
16.解下列方程:
(1)﹣
x2﹣3x+6=0
(2)7x(3﹣x)=3(x﹣3)
17.先化简,再求值:
,其中m满足一元二次方程
四、解答题(共2个题,每小题8分,共16分)
18.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣3,﹣1),B(﹣5,﹣4),C(﹣2,﹣3)
(1)作出△ABC向上平移6个单位,再向右平移7个单位的△A1B1C1;
(2)作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2,并写出点C2的坐标;
(3)将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A3B3C3,请你画出旋转后的△A3B3C3.
19.正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.
(1)求证:
EF=FM;
(2)当AE=1时,求EF的长.
五、解答题(共2个题,每题10分,共20分)
20.为满足市场需求,某超市在五月初五“端午节”来临前夕,购进一种品牌粽子,每盒进价是40元,超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现:
当售价定为每盒45元时,每天可卖出700盒,每盒售价每提高1元,每天要少卖出20盒.
(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式;
(2)当每盒售价定为多少元时,每天销售的利润P(元)最大?
最大利润是多少?
21、如图,在⊙O中,直径AB垂直于弦CD,垂足为E,连接AC,将△ACE沿AC翻折得到△ACF,直线FC与直线AB相交于点G.
(1)直线FC与⊙O有何位置关系?
并说明理由;
(2)若OB=BG=2,求CD的长.
六、解答题(本题满分12分)
22.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2m+3)x+m2+2=0.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;
(2)若方程两实数根分别为x1、x2,且满足x12+x22=31+|x1x2|,求实数m的值.
七、解答题(本题满分12分)
23.如图,AH是⊙O的直径,AE平分∠FAH,交⊙O于点E,过点E的直线FG⊥AF,垂足为F,B为半径OH上一点,点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上.
(1)求证:
直线FG是⊙O的切线;
(2)若CD=10,EB=5,求⊙O的直径.
八、解答题(本题满分14分)
24.已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A(α,0),B(β,0),且
=﹣2,
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线的对称轴为l,与y轴的交点为C,顶点为D,点C关于l的对称点为E,是否存在x轴上的点M,y轴上的点N,使四边形DNME的周长最小?
若存在,请画出图形(保留作图痕迹),并求出周长的最小值;若不存在,请说明理由.
(3)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标.
九年级(上)月考数学试卷
一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)
1.下列是二次函数的是()
A.y=ax2+bx+cB.y=
+xC.y=x2﹣(x+7)2D.y=(x+1)(2x﹣1)
【考点】二次函数的定义.
【分析】根据形如y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数,可得答案.
【解答】解:
A、a=0时y=ax2+bx+c是一次函数,故A错误;
B、y=
+x不符合二次函数,故B错误;
C、y=x2﹣(x+7)2是一次函数,故C错误;
D、y=(x+1)(2x﹣1)是二次函数,故D正确;故选:
D.
【点评】本题考查了二次函数,形如y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数,注意二次项的系数不能为零.
2.剪纸是我国最古老民间艺术之一,被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》,下列剪纸作品中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是()
A.
B.
C.
D.
【考点】中心对称图形;轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】解:
A、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误;
B、是轴对称图形,也是中心对称图形.故错误;
C、不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故错误;
D、不是轴对称图形,是中心对称图形.故正确.故选D.
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念:
轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
3.将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,得到的抛物线解析式是()
A.y=(x﹣4)2﹣6B.y=(x﹣4)2﹣2C.y=(x﹣2)2﹣2D.y=(x﹣1)2﹣3
【考点】二次函数图象与几何变换.
【专题】几何变换.
【分析】先把y=x2﹣6x+5配成顶点式,得到抛物线的顶点坐标为(3,﹣4),再把点(3,﹣4)向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到点的坐标为(4,﹣2),然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.
【解答】解:
y=x2﹣6x+5=(x﹣3)2﹣4,即抛物线的顶点坐标为(3,﹣4),
把点(3,﹣4)向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到点的坐标为(4,﹣2),
所以平移后得到的抛物线解析式为y=(x﹣4)2﹣2.
故选:
B.
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换:
由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:
一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.
4.如图,正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D′的坐标是()
A.(2,10)B.(﹣2,0)C.(2,10)或(﹣2,0)D.(10,2)或(﹣2,0)
【考点】坐标与图形变化-旋转.
【专题】分类讨论.
【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可.
【解答】解:
∵点D(5,3)在边AB上,
∴BC=5,BD=5﹣3=2,
①若顺时针旋转,则点D′在x轴上,OD′=2,
所以,D′(﹣2,0),
②若逆时针旋转,则点D′到x轴的距离为10,到y轴的距离为2,
所以,D′(2,10),
综上所述,点D′的坐标为(2,10)或(﹣2,0).
故选:
C.
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转,正方形的性质,难点在于分情况讨论.
5.某服装店进价为30元的内衣,以50元售出,平均每月能售出300件,经试销发现每件内衣每涨价10元,其月销售量就减少10件,为实现每月利润8700元,设定价为x元,则可得方程()
A.300(x﹣30)=8700B.x(x﹣50)=8700
C.(x﹣30)[300﹣(x﹣50)]=8700D.(x﹣30)(300﹣x)=8700
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.
【专题】销售问题.
【分析】设定价为x元,则每件内衣的利润为(x﹣30)元,销售的件数为[300﹣(x﹣50)],利用每一件的销售利润×销售的件数=总利润列出方程即可.
【解答】解:
设定价为x元,由题意得
(x﹣30)[300﹣(x﹣50)]=8700.
故选C.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键.
6.如图,在Rt△ABC中∠ACB=90°,AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作⊙O,设线段CD的中点为P,则点P与⊙O的位置关系是()
A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.无法确定
【考点】点与圆的位置关系;勾股定理;三角形中位线定理.
【专题】压轴题.
【分析】本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d,再根据点与圆心的距离与半径的大小关系,即当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当d<r时,点在圆内,即可求解.
【解答】解:
∵AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,∴AD=5,
∵点O是AC中点,点P是CD中点,∴OP是△CAD的中位线,OC=OA=3,∴OP=
AD=2.5,
∵OP<OA,∴点P在⊙O内,故选A.
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有:
当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上,当d<r时,点在圆内.
7.若关于x的方程k2x2﹣(2k+1)x+1=0有实数根,则k的取值范围是()
A.﹣
B.
C.
D.k≥﹣
且k≠0
【考点】根的判别式.
【分析】由于关于x的方程k2x2﹣(2k+1)x+1=0有实数根,
①当k=0时,方程为一元一次方程,此时一定有实数根;
②当k≠0时,方程为一元二次方程,如果方程有实数根,那么其判别式是一个非负数,由此即可求出k的取值范围.
【解答】解:
∵关于x的方程k2x2﹣(2k+1)x+1=0有实数根,
∴①当k=0时,方程为一元一次方程,此时一定有实数根;
②当k≠0时,方程为一元二次方程,
如果方程有实数根,那么其判别式△=b2﹣4ac≥0,
即(2k+1)2﹣4k2≥0,∴k≥﹣
,
∴当k≥﹣
,关于x的方程k2x2﹣(2k+1)x+1=0有实数根.故选B.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.此题要注意题干并没有说明方程一定是一元二次方程,因此要将所有的情况都考虑到.
8.点O是△ABC的外心,若∠BOC=80°,则∠BAC的度数为()
A.40°B.100°C.40°或140°D.40°或100°
【考点】三角形的外接圆与外心;圆周角定理.
【专题】分类讨论.
【分析】利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出∠BAC的度数.
【解答】解:
如图所示:
∵O是△ABC的外心,∠BOC=80°,
∴∠A=40°,∠A′=140°,
故∠BAC的度数为:
40°或140°.故选:
C.
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质,利用分类讨论得出是解题关键.
9.若函数y=mx2+(m+2)x+
m+1的图象与x轴只有一个交点,那么m的值为()
A.0B.0或2C.2或﹣2D.0,2或﹣2
【考点】抛物线与x轴的交点.
【专题】分类讨论.
【分析】分为两种情况:
函数是二次函数,函数是一次函数,求出即可.
【解答】解:
分为两种情况:
①当函数是二次函数时,
∵函数y=mx2+(m+2)x+
m+1的图象与x轴只有一个交点,
∴△=(m+2)2﹣4m(
m+1)=0且m≠0,解得:
m=±2,
②当函数是一次函数时,m=0,
此时函数解析式是y=2x+1,和x轴只有一个交点,故选:
D.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,根的判别式的应用,用了分类讨论思想,题目比较好,但是也比较容易出错.
10.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA=OC.则下列结论:
①abc<0;②
>0;③ac﹣b+1=0;④OA•OB=﹣
.
其中正确结论的个数是()
A.4B.3C.2D.1
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【专题】压轴题;数形结合.
【分析】由抛物线开口方向得a<0,由抛物线的对称轴位置可得b>0,由抛物线与y轴的交点位置可得c>0,则可对①进行判断;根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac>0,加上a<0,则可对②进行判断;利用OA=OC可得到A(﹣c,0),再把A(﹣c,0)代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0,两边除以c则可对③进行判断;设A(x1,0),B(x2,0),则OA=﹣x1,OB=x2,根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,利用根与系数的关系得到x1•x2=
,于是OA•OB=﹣
,则可对④进行判断.
【解答】解:
∵抛物线开口向下,∴a<0,
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,∴b>0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴abc<0,所以①正确;
∵抛物线与x轴有2个交点,∴△=b2﹣4ac>0,而a<0,∴
<0,所以②错误;
∵C(0,c),OA=OC,∴A(﹣c,0),
把A(﹣c,0)代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0,∴ac﹣b+1=0,所以③正确;
设A(x1,0),B(x2,0),
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,
∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,∴x1•x2=
,∴OA•OB=﹣
,所以④正确.故选:
B.
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:
左同右异);常数项c决定抛物线与y轴交点:
抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定:
△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
11.关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2+3a﹣4=0有一个实数根是x=0,则a的值为﹣4.
【考点】一元二次方程的解;一元二次方程的定义.
【分析】把x=0代入已知方程,得到关于a的一元一次方程,通过解该一元一次方程即可得到a的值.
【解答】解:
∵x=0是方程的根,由一元二次方程的根的定义,可得a2+3a﹣4=0,解此方程得到a1=﹣4,a2=1;
又∵原方程是一元二次方程,∴二次项系数a﹣1≠0,即a≠1;综合上述两个条件,a=﹣4,
故答案是:
﹣4.
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及一元二次方程的定义.逆用一元二次方程解的定义易得出a的值,但不能忽视一元二次方程成立的条件a﹣1≠0,因此在解题时要重视解题思路的逆向分析.
12.若点P(﹣1﹣2a,2a﹣4)关于原点对称的点在第一象限内,则a的整数解有2个.
【考点】关于原点对称的点的坐标.
【分析】根据点P(﹣1﹣2a,2a﹣4)关于原点对称的点在第一象限内,可得点P在第三象限,然后根据第三象限内点的坐标特点可得a的取值范围,然后可得a的整数解.
【解答】解:
∵点P(﹣1﹣2a,2a﹣4)关于原点对称的点在第一象限内,
∴点P在第三象限,∴
,解得:
﹣
<a<2,
∵a为整数,∴a=0或1,共2个,故答案为:
2.
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征,以及四个象限内点的坐标符号,关键是掌握两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反.
13.已知点A(4,y1),B(
,y2),C(﹣2,y3)都在二次函数y=﹣(x﹣2)2+k的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是y3<y1<y2.
【考点】二次函数图象上点的坐标特征.
【专题】计算题.
【分析】先利用顶点式得到抛物线对称轴为直线x=2,再比较点A、B、C到直线x=2的距离,然后根据二次函数的性质判断函数值的大小.
【解答】解:
二次函数y=﹣(x﹣2)2+k的图象的对称轴为直线x=2,
因为点B(
,y2)到直线x=2的距离最小,点C(﹣2,y3)到直线x=2的距离最大,
而抛物线的开口向下,所以y3<y1<y2.故答案为y3<y1<y2.
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:
二次函数图象上点的坐标满足其解析式.熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键.
14.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是180°.
【考点】圆锥的计算.
【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系,利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数.
【解答】解:
设母线长为R,底面半径为r,
∴底面周长=2πr,底面面积=πr2,侧面面积=
lr=πrR,
∵侧面积是底面积的2倍,∴2πr2=πrR,∴R=2r,
设圆心角为n,有
=πR=2πr,∴n=180°.故答案为:
180.
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路:
解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系:
(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径;
(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长,以及利用扇形面积公式求出是解题的关键.
15.如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60°,点C为弧BD的中点,则AC的长是
.
【考点】全等三角形的判定与性质;勾股定理;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理.
【专题】压轴题.
【分析】将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE,根据旋转的性质得出∠E=∠CAD=30°,BE=AD=5,AC=CE,求出A、B、E三点共线,解直角三角形求出即可;过C作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°,推出
=
,求出∠BAC=∠DAC,BC=CD,求出CE=CF,根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE,证△CBE≌△CDF,推出BE=DF,证△AEC≌△AFC,推出AE=AF,设BE=DF=x,得出5=x+3+x,求出x,解直角三角形求出即可.
【解答】解:
解法一、∵A、B、C、D四点共圆,∠BAD=60°,
∴∠BCD=180°﹣60°=120°,
∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,
∴∠CAD=∠CAB=30°,
如图1,
将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE,
则∠E=∠CAD=30°,BE=AD=5,AC=CE,
∴∠ABC+∠EBC=(180°﹣CAB+∠ACB)+(180°﹣∠E﹣∠BCE)=180°,
∴A、B、E三点共线,
过C作CM⊥AE于M,
∵AC=CE,
∴AM=EM=
×(5+3)=4,
在Rt△AMC中,AC=
=
=
;
解法二、过C作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,
则∠E=∠CFD=∠CFA=90°,
∵点C为弧BD的中点,
∴
=
,
∴∠BAC=∠DAC,BC=CD,
∵CE⊥AB,CF⊥AD,
∴CE=CF,
∵A、B、C、D四点共圆,
∴∠D=∠CBE,
在△CBE和△CDF中
∴△CBE≌△CDF,
∴BE=DF,
在△AEC和△AFC中
∴△AEC≌△AFC,
∴AE=AF,
设BE=DF=x,
∵AB=3,AD=5,
∴AE=AF=x+3,
∴5=x+3+x,
解得:
x=1,
即AE=4,∴AC=
=
,故答案为:
.
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系,圆内接四边形性质,解直角三角形,全等三角形的性质和判定的应用,能正确作出辅助线是解此题的关键,综合性比较强,难度适中.
三、解答题(共2个题,每题8分,共16分)
16.解下列方程:
(1)﹣
x2﹣3x+6=0
(2)7x(3﹣x)=3(x﹣3)
【考点】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.
【分析】
(1)首先把二次项系数化为1,找出一元二次方程中a,b和c的值,求出△=b2﹣4ac,进而利用公式法求出方程的根;
(2)首先移项,再提取公因式(x﹣3)得到(x﹣3)(7x+3)=0,最后解两个一元一次方程即可.
【解答】解:
(1)∵﹣
x2﹣3x+6=0,
∴x2+6x﹣12=0,
∴a=1,b=6,c=﹣12,
∴△=b2﹣4ac=84,
∴x=
,
∴x1=﹣3+
,x2=﹣3﹣
;
(2)∵7x(3﹣x)=3(x﹣3),
∴3(x﹣3)+7x(x﹣3)=0,
∴(x﹣3)