材料力学研究的内容.docx
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材料力学研究的内容
这篇文章对材料力学做一个小结,其目的一方面是为同学们学习材料力学提供一个参考,更主要的目的,是为进入CAE提供一个入口。
每门学科,都以某一类实际的物体为研究对象,考察他们某一个方面的性质与其规律。
材料力学也是如此。
材料力学面对的是实际生活中的杆件受力问题。
杆件,是指这样一种对象,它的一个尺寸远大于另外两个尺寸。
我们身体上的胳膊,腿,我们的5个手指头,我们头上的根根秀发,我们坐下的凳子腿,桌子腿,我们床架的横梁,立柱,我们写字用的铅笔,吃饭用的筷子,家里面的水管,煤气管道…只要是在几何里面可以用线段来描述的实物,都可以看成是杆件。
而在机械里面,杆件也广泛存在。
安装轴系的轴是最明显的杆件,其次,连杆机构中的连杆,凸轮机构中的推杆,气缸中的活塞杆,油缸中的活塞杆,起连接作用的螺钉,螺栓,螺柱,销子,以与构成床身机架的方管,方钢,圆管,圆钢,工字钢,角钢,槽钢,等等,均为杆件。
无论是日常生活中的杆件,还是机械中常见的杆件,只要它们受力,就存在变形和断裂的问题。
研究单根杆件的变形或断裂问题,考察如何设计这些杆件对象,使得它们在受力的时候,不要发生过大的变形,不要断裂,不要失去稳定,而又希望用最少的材料能够满足要求,这就是材料力学的任务。
简单的说,研究单根杆件的强度,刚度和稳定性问题,这就是材料力学的研究内容。
上面描述了杆件的概念,下面说明四种变形。
有两种最重要的独立的力学要素:
力和力偶。
力偶是由大小相等,方向相反,不在一条直线上的两个力构成的,它的作用是使得物体加速旋转。
材料力学就考察一根杆件在力,力偶的作用下,它会如何变形,在内部分子之间会产生多大的力,从而最终可能会导致杆件断裂而失效。
每根杆件都有一根轴线。
如果在杆件的两端,沿着轴线施加一对平衡力,这两个力或者相对,或者相反。
如果这两个力相对,那么杆件会被压缩,变得短而粗。
如果这两个力相反,那么杆件会被拉伸,变得长而细。
这种变形称为拉压变形。
桌子腿,椅子腿,都是发生压缩变形的代表。
而我们的大小腿,在行走奔跑时也是处于受压缩状态。
而系在我们腰间的皮带或者腰带,则处于受拉伸的状态。
如果在杆件的两端,施加一对平衡力偶,这两个力偶的矢量方向沿着轴线。
那么这根杆件会被扭转。
这个时候,杆件上的任何一个横截面都会相对原来的方向发生一个转动。
这种变形称为扭转变形。
扭转的最主要代表是我们拧螺钉,或者我们旋紧饮料瓶上的盖子。
如果在杆件的某一个横截面的上下两侧,施加一对平衡力,这对平衡力垂直于轴线。
那么这根杆件会在这个截面的两边发生上下错动,这种变形称为剪切。
我们用指甲剪剪掉我们珍爱的手指甲,或者用菜刀切断无辜的黄瓜,都是这类例子。
如果一个杆件的某几处被固定,而在杆件的某一处施加一个与轴线垂直的力,那么这根杆件的轴线会变弯,这种变形称为弯曲。
弯曲是最广泛存在的一种变形。
我们在阳台上悬挂着湿衣服的晒衣杆,就发生着弯曲变形,如果晒的衣服没有拧干,而且多是厚重的衣物,我们可能观察到晒衣杆不胜负荷,发生了严重的弯曲。
我们钓鱼时候的钓鱼竿,当一条大鱼上钩而我们焦急的往上拉鱼时,鱼竿就发生了更为严重的弯曲变形,几乎要折断。
弯曲变形对于机械而言至关重要,这是因为机械中的轴发生的主要就是弯曲变形,而轴上支撑着齿轮,链轮,带轮,凸轮,槽轮这样一堆最重要的传动件,这些传动件几乎是机械传动的核心。
如果轴受力过大而发生了断裂,对于机械而言,简直就是灾难性的影响。
所以轴的设计计算向来就是机械设计的一个重头戏。
总之,材料力学研究四种变形:
拉压,扭转,弯曲,剪切。
其中弯曲的低位最重要,所有的材料力学书籍,都不惜重墨,在这里花费了很多的力气来讲解。
除了这四种最基本的变形外,拉压可以与弯曲相组合,扭转也可以与弯曲相组合而发生复杂的变形,我们称之为组合变形。
在弄清楚基本变形的强度和刚度问题以后,组合变形就变得相对简单了。
本文说明材料力学的一个重要概念,内力。
并给出四种变形下内力的计算方法。
以拉伸变形为例来说明问题。
如图1-1所示,一根杆件在其两端点受到沿着轴线相反的一对平衡力作用,它将被拉长。
可以想象,该杆件内部的每根纤维都被拉伸。
为了考虑其内部相互作用力的情况,假想的用一个垂直于轴线的横截面将该轴切断〔如图1-2〕,然后取出左半段来研究〔如图1-3〕,则在切断面上应该受到右半段给它的力的作用,这些作用本来是右边截面上的每个微元给左边截面上每个微元的,本质上是一个分布力系。
这里考虑这个分布力系的总体作用效果,显然这个分布力系可以被该截面上一个力FN所取代,这个力称为内力。
〔对于拉伸而言,这个力有一个更加特殊的名字,称为轴力。
〕这样,左半段〔图1-3〕就只受到两个力的作用,这两个力应该相等,从而可以知道,该内力与外力F是等大的。
这样就得到了内力的大小。
上图实际上就是拉伸变形时内力的计算方法。
该方法是在适当的地方取一个横截面,然后切断整根杆件,任意取一边来研究。
而这一边在切断面上受到的分布力系用一个总的力或者力偶来取代。
根据这一边的力系平衡,从而推出切断面上的力的大小,这种方法称为截面法。
截面法是材料力学中求解内力的基本方法。
下面考虑扭转变形。
如图2-1所示的轴,两端受到两个相等力偶的作用,为了考察内部的受力情况,用一个假想的平面切断这根轴〔如图2-2〕,然后任取一边来研究〔这里取右半段,如图2-3〕,同样,该切断面会受到被舍弃的左段的切断面上微元给它的力的作用。
这些作用本质上仍旧是分布力系。
为便于研究,同样将该力系简化。
根据其受力情况,可以推测,简化的结果会是一个力偶〔如图2-3〕,该力偶称为扭矩。
根据该段的受力情况与力系平衡,可以知道,该扭矩与外加的力偶等大。
这就是扭转内力的计算方法。
下面考虑剪切变形。
如图3-1所示的轴,在一个截面很近的两边分别受到两个等大的力F的作用,为了考察内部的受力情况,在该截面处切断这根轴,然后任取一边来研究〔这里左半段,如图3-2〕,同样,该切断面会受到被舍弃的左段的切断面上微元给它的力的作用。
这些作用本质上仍旧是分布力系。
为便于研究,同样将该力系简化。
根据其受力情况,可以推测,简化的结果会是一个力〔如图3-2〕,该力称为剪力。
根据该段的受力情况与力系平衡,可以知道,该剪力与外加的力等大。
这就是剪切内力的计算方法。
最后考虑弯曲变形。
如图4-1所示的杆,两端支撑,而在中间某处受到一个竖直向下的集中力,为了考察内部的受力情况,用一个假想的平面切断这根杆,然后取右半段来研究〔如图4-2〕,同样,该切断面会受到被舍弃的左段的切断面上微元给它的力的作用。
这些作用本质上仍旧是分布力系。
为便于研究,同样将该力系简化。
根据其受力情况,可以推测,简化的结果会是一个力和一个力偶〔如图4-2〕,该力称为剪力,该力偶称为弯矩。
根据该段的受力情况与力系平衡,可以推出这两个内力的大小〔如图4-2〕。
这就是弯曲内力的计算方法。
可见,四种基本变形的内力计算方法都是一样的。
可以想象,在复杂的受力状态下,杆件不同的截面上其内力是不同的。
如图4-1所示,在集中力F的左右两边取截面,截面上的剪力和弯矩都会变化,而且是随着距支座的距离的变化而变化。
此即,内力是随着截面位置的变化而变化的。
这种变化与其到某一个支座的距离有关〔如图4-1中的X〕,是它的函数。
把该内力与X的关系用数学式表达出来,称为内力方程〔如图4-2左边的两个方程〕,而依据该方程可以在二维笛卡尔坐标系中绘制出该内力方程,它会是一个曲线图,该曲线称为内力图。
下面的图形说明了上述思想。
图5
图5是一个绘制弯曲的内力图的例子。
该图的最上面一个图是实际的受力图,这是一个A,B两点简单支撑的简支梁,在其上受到一个竖直向下的分布力系作用。
可以想象,AB之间的任意一个截面的内力都是不一样的。
根据截面法,任意取一个截面,由其平衡,列出平衡方程,可以分别得到剪力方程和弯矩方程,然后根据它们分别绘制出中间的剪力图和下面的弯矩图。
从图中可以知道,A,B截面的剪力最大,而中间截面的弯矩最大。
这些内力大的截面就是危险截面。
一根杆件的断裂就是从这些危险截面开始的。
材料力学分析强度问题,就是首先绘制内力图,找到危险截面,然后在该危险截面上进一步找到危险点,计算该危险点的力是多少,并把该力与该材料所能够承受的极限相比较,从而判断它有没有超过允许值。
这样来判断杆件的安全性。
现在说明应力的概念。
应力是材料力学最核心的概念,它也是变形固体力学中最重要的概念。
可以说,材料力学这门课程就是以应力为中心而展开的,所以,理解应力至关重要。
我们从简单的拉伸试验开始考察断裂现象,从而阐述应力的概念。
我们试着在粉笔的两端用力拉它,一根粉笔粗〔图1-1〕,而另外一根粉笔细〔图1-2〕,我们可以看到,在这两种情况下,这两根粉笔的内力是一样的〔图1-3,图1-4〕,但是毫无疑问,较细的粉笔更容易被拉断。
这意味着,粉笔断裂的原因不能简单的归于内力〔这里相同的内力,较细的更容易断裂〕,而需要进一步去考察内力在截面上的分布。
实际上,我们需要过渡到截面上更细微的元素,比如说一个点。
如图2-1所示,为了描述截面上一个点受到的力的集中程度,我们在该截面上选取一个微小的面积,则这个微小的面积上可以认为只受到一个集中力的作用。
用该力除以面积并取极限,这就意味着一个点受力的紧张程度,这个极限称为应力〔图2-1〕。
显然,应力表达了当杆件受力以后,一个点的紧张程度。
当这个应力达到某种程度,而超过了材料所允许的程度后,构件就会首先从这个点开始断裂,然后裂纹产生,并向周围扩展,直到整个构件被破坏。
上面定义的应力显然是一个矢量,它的方向由ΔP决定,而ΔP可以取空间的任意方向。
为了便于研究,我们把这个应力向垂直于截面和在平面内两个方向分解,得到两个应力分量。
垂直于截面的那个应力分量我们称为正应力,记做σ;而在截面内的那个应力分量我们称为切应力,记做τ〔图2-2〕。
下面我们会发现,对于不同的变形而言,有的截面上只有正应力,而有的只有切应力,而有的同时有二者。
首先考虑拉伸的应力。
如图3所示,图3中的上图是用截面法后的图形,右边截面上的内力是FN,该内力是由很多正应力合成的。
可以推断,在该截面上,正应力均匀分布〔见图3-中图〕,这样,正应力乘以面积就得到内力,从而可以得出应力的公式〔见图3-下图〕。
从该公式可以知道,截面上内力越大,而截面积越小,则正应力越大,而且正应力在面上是均匀分布的。
接下来考虑扭转的应力。
由图4的右上方扭转的内力图,知道截面上只有一个扭矩存在。
该截面的右视图见图4-中图。
该截面的扭矩显然是由截面内的应力合成的。
而截面内的应力只能是切应力。
那么这些切应力在截面内还是均匀分布的吗?
经过试验发现并非如此。
实际上,从中心往外走,应力越来越大,到外圆处达到最大,而且切应力的大小与该点到圆心的距离成正比。
经过比较复杂的推导,得到切应力的公式见图3-右下公式。
从该公式可以看到,截面上每点的切应力与该截面的扭矩MT成正比。
扭矩越大,则分布在该截面上各点的切应力越大;ρ—是该点到圆心的距离。
距离越远,则应力越大;Ip---是极惯性矩,它是表达截面的惯性的一个几何量,纯粹由截面的几何形状和尺寸所决定。
该量越大,就意味着截面的惯性越大,越是不容易变形。
对于圆形截面而言,极惯性矩完全由圆的直径D所确定〔图3-右下公式〕。
接下来的剪切应力比较简单。
图5-右上图是其内力图。
该截面投影的右视图见图5-中图。
这是一个圆形,截面内存在一个合力FQ.同样,这个合力一定是截面内分布的切应力的合作用效果。
那么,在该截面内部,切应力是怎么分布的呢?
经过研究,可以认为,该截面内部,切应力是均匀分布的。
其公式件图5-右下公式。
可见,切应力与该截面内的剪力成正比,而与截面积成反比。
最后来到弯曲。
图6-上图是用截面法求一个截面的内力〔左面是截面〕。
该截面上本来是有一个剪力和弯矩的。
经过研究发现,剪力所起的作用很小,所以这里忽略,只考虑弯矩。
显然,该弯矩是由很多垂直于截面的正应力合成的。
那么,这些正应力在该截面上是均匀分布的吗?
经过研究发现,并非如此。
实际上,该杆的中间有一个平面,截面上没有正应力。
而往上走,应力越来越大,而且所有的正应力方向都指向截面内部,这种正应力是压应力。
而从中面往下走,应力也越来越大,而所有的应力都离开截面向外,称为拉应力。
而且还发现,每个点的应力与距中面的距离成正比。
经过一系列复杂的推导,最后得到图6-正下的弯曲正应力公式。
该公式中的M就是截面内的弯矩,而Y是某点到中面的距离,IZ是截面的惯性矩。
该惯性矩也是由截面的几何性质唯一的确定的,对于矩形截面,其公式见图6-右下公式。
可见,该惯性矩与截面的宽度成正比,而与高度的三次方成正比。
所以,截面的高度对惯性矩影响很大。
从弯曲正应力公式〔图6-正下公式〕可以知道,截面上的弯矩越大,则正应力越大;而某点到中面的距离越远,则应力越大;截面的惯性矩越大,则相应的各个点的正应力越小。
总之,我们可以看到,应力表达了受力杆件内某一个点的力集中程度。
为便于研究,我们把应力分为正应力和切应力。
对于拉伸和弯曲而言,截面上是正应力;对扭转和剪切而言,截面上是切应力。
就分布而言,拉伸和剪切时,截面上应力均匀分布;对于扭转和弯曲而言,越往外,应力越大。
可见,在任何一种情况下,杆件的表面都是最危险的。
所以,为了增加杆件的强度,我们都会进行表面改性,例如淬火,正火,渗碳,渗氮等,以加强表面的强度。
这篇文章举一个强度问题的例子,说明在设计实践中,材料力学如何用来求解强度问题。
如图1所示的外伸梁,长6米,截面为正方形,其宽度和高度都是200毫米。
外伸梁上作用一个10KN/m的分布载荷和20KN的集中载荷如图。
该梁的许用应力是20MPa.试确定该梁的强度是否合格。
首先计算支座B和D处的反作用力。
这样绘制受力图如图2所示。
由于该梁处于平衡状态,因此它应该满足一个物体的三个平衡方程:
水平方向上所有力相加为零;竖直方向上所有力相加为零;以与所有力对任何一个点取矩之和为零。
由于图2中只有两个未知数,这里根据实际情况,只列出两个方程。
求解上面两个方程,得到如下结果
把这两个结果替代图2中的两个未知力,得到图3.
现在,需要根据进行梁内部截面的内力分析。
根据前面内力篇中的截面法,对各个截面列出方程,然后绘制出内力图如图4所示。
图4的最上面图来自于图3的拷贝,根据这张图,得到的中间图是弯曲内力的剪力图,最下面这张是弯矩图。
我们最关心的是弯矩图。
对于这张图,我们可以看到,从A到B截面,弯矩的绝对值在逐渐的增加到20KNM,而后从B到C,弯矩的绝对值首先减小到零,然后又增加到10KN.M,到C截面后,接着弯矩又开始减小,到D截面时,弯矩减小到零。
这样,我们可以明白,这根梁最危险的截面是B截面,其上的弯矩是20KNM,这就是我们关注的焦点,称之为危险截面。
现在我们来到这个危险截面,从前面的弯曲应力公式我们知道,这个截面上不同的点,其应力是不一样的,越往中面的上下走,应力越大,到表面达到最大。
我们要考察最外面应力到底有多大。
根据公式
代入这的具体数据,即最大弯矩是20KNM,YMAX是截面高度的一半,而IZ由截面的几何性质完全确定,得到
从而我们可以知道
因此,该最危险点的应力是小于许用应力的。
所以该梁的强度是安全的。
所谓安全,就是说,这根梁是不会断裂,或者不会发生很大的塑性变形。
上述例子是材料力学理论最重要的应用。
它是用来计算该梁是否安全,是强度问题的一种类型。
实际上,有三种常见的强度问题。
第一种,强度的校核。
已知梁的尺寸与受力,要考察它是否安全,上述例子就是如此。
第二种,截面的设计。
给定了梁的长度与受力,要设计一下它的截面尺寸。
对于该问题,方法与上面的求解过程类似,只不过截面尺寸成为未知数。
第三种,计算许用载荷。
给定了梁的长度截面,要考察它上面可以承受多大的力,才不至于发生断裂或者过大的塑性变形。
计算方法也与上面的过程类似。
实际上,三种强度问题的求解步骤都是四步:
第一步,外力分析。
根据受力平衡把支座的反作用力求出来。
第二部,内力分析。
计算截面的内力把内力图绘制出来,从而找到危险截面。
第三步,应力分析。
把危险截面上最危险点的应力求出来,这步只需要代入应力公式。
第四步,强度的校核或计算。
根据得到的危险应力,与许用应力相比较;如果没有超过许用应力,就算合格。
如果超过了,则梁很危险,需要重新设计。
材料力学研究三大问题:
强度问题,刚度问题和稳定性问题。
上篇对强度问题做了一个简要的小结,而本篇则对刚度问题做个迅速的小结。
所谓刚度,是指物体抵抗变形的一种能力。
而刚度问题,是说希望某结构在受力以后变形不要超过某个许可值。
比如下图所示的钻床,在钻孔时,钻头受到一个向上的力,该力会使得钻床的横梁和立柱发生变形如图。
如果变形太大,这会使得钻头改变方向,从而使得孔钻偏。
因此,在设计钻床时要进行计算,以保证横梁有足够的刚度。
从上述例子可以看出,问题的关键在于求出结构上的某关键点所发生的位移。
由于结构的变形主要有四种,所以,如果求出四种简单变形的公式,那么对于复杂的结构,也相对容易推算了。
经过简单的推导,可以得到拉伸变形的公式
从该公式可以看出,外力越大,则变形量越大;原长越大,而变形量越大;EA越大,则变形量越小。
显然,EA表达了杆件抵抗拉伸变形的能力,称为拉压刚度。
对于扭转变形,其公式是
从该公式可以看出,外力偶越大,B截面相对于A截面绕轴线转过的角度越大;原长越大,而相对转角越大;GIP越大,则相对转角越小。
显然,GIP表达了轴抵抗扭转变形的能力,称为扭转刚度。
弯曲变形则要复杂一些,一根悬臂梁在终端受到向上的集中力后,整个轴线发生偏移,形成的曲线如下图的虚线所示。
该虚线称为挠曲线。
显然,该挠曲线上各个点的纵坐标是随着x的变化而变化的。
经过积分计算,可以给出各种常见梁的挠曲线方程,这些方程可以在机械设计手册上查到。
当遇到一个受到简单力的梁时,可以直接通过查表得到挠曲线方程,从而计算出所求点的位移或者转角。
但是对于复杂的受力情况,则不能直接查阅到挠曲线方程,此时需要使用叠加法。
例如下图所示的简支梁,上面受到分布力系,集中力和集中力偶的作用,要求B截面的转角和C截面的位移。
此时,没有直接的表可以查到。
但是,手册上给出了简支梁分别在分布力系,集中力,集中力偶作用下B点的转角和C点位移的值,所以只需要分别查阅这三个表,得到数据后叠加就可以了。
一旦叠加后,分别把B点的转角与C点的位移与允许值相比较,就可以知道该梁的刚度是否足够,这就是所谓的刚度问题。