材料力学研究的内容.docx

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材料力学研究的内容

这篇文章对材料力学做一个小结，其目的一方面是为同学们学习材料力学提供一个参考，更主要的目的，是为进入CAE提供一个入口。

每门学科，都以某一类实际的物体为研究对象，考察他们某一个方面的性质与其规律。

材料力学也是如此。

材料力学面对的是实际生活中的杆件受力问题。

杆件，是指这样一种对象，它的一个尺寸远大于另外两个尺寸。

我们身体上的胳膊，腿，我们的5个手指头，我们头上的根根秀发，我们坐下的凳子腿，桌子腿，我们床架的横梁，立柱，我们写字用的铅笔，吃饭用的筷子，家里面的水管，煤气管道…只要是在几何里面可以用线段来描述的实物，都可以看成是杆件。

而在机械里面，杆件也广泛存在。

安装轴系的轴是最明显的杆件，其次，连杆机构中的连杆，凸轮机构中的推杆，气缸中的活塞杆，油缸中的活塞杆，起连接作用的螺钉，螺栓，螺柱，销子，以与构成床身机架的方管，方钢，圆管，圆钢，工字钢，角钢，槽钢，等等，均为杆件。

无论是日常生活中的杆件，还是机械中常见的杆件，只要它们受力，就存在变形和断裂的问题。

研究单根杆件的变形或断裂问题，考察如何设计这些杆件对象，使得它们在受力的时候，不要发生过大的变形，不要断裂，不要失去稳定，而又希望用最少的材料能够满足要求，这就是材料力学的任务。

简单的说，研究单根杆件的强度，刚度和稳定性问题，这就是材料力学的研究内容。

上面描述了杆件的概念，下面说明四种变形。

有两种最重要的独立的力学要素：

力和力偶。

力偶是由大小相等，方向相反，不在一条直线上的两个力构成的，它的作用是使得物体加速旋转。

材料力学就考察一根杆件在力，力偶的作用下，它会如何变形，在内部分子之间会产生多大的力，从而最终可能会导致杆件断裂而失效。

每根杆件都有一根轴线。

如果在杆件的两端，沿着轴线施加一对平衡力，这两个力或者相对，或者相反。

如果这两个力相对，那么杆件会被压缩，变得短而粗。

如果这两个力相反，那么杆件会被拉伸，变得长而细。

这种变形称为拉压变形。

桌子腿，椅子腿，都是发生压缩变形的代表。

而我们的大小腿，在行走奔跑时也是处于受压缩状态。

而系在我们腰间的皮带或者腰带，则处于受拉伸的状态。

如果在杆件的两端，施加一对平衡力偶，这两个力偶的矢量方向沿着轴线。

那么这根杆件会被扭转。

这个时候，杆件上的任何一个横截面都会相对原来的方向发生一个转动。

这种变形称为扭转变形。

扭转的最主要代表是我们拧螺钉，或者我们旋紧饮料瓶上的盖子。

如果在杆件的某一个横截面的上下两侧，施加一对平衡力，这对平衡力垂直于轴线。

那么这根杆件会在这个截面的两边发生上下错动，这种变形称为剪切。

我们用指甲剪剪掉我们珍爱的手指甲，或者用菜刀切断无辜的黄瓜，都是这类例子。

如果一个杆件的某几处被固定，而在杆件的某一处施加一个与轴线垂直的力，那么这根杆件的轴线会变弯，这种变形称为弯曲。

弯曲是最广泛存在的一种变形。

我们在阳台上悬挂着湿衣服的晒衣杆，就发生着弯曲变形，如果晒的衣服没有拧干，而且多是厚重的衣物，我们可能观察到晒衣杆不胜负荷，发生了严重的弯曲。

我们钓鱼时候的钓鱼竿，当一条大鱼上钩而我们焦急的往上拉鱼时，鱼竿就发生了更为严重的弯曲变形，几乎要折断。

弯曲变形对于机械而言至关重要，这是因为机械中的轴发生的主要就是弯曲变形，而轴上支撑着齿轮，链轮，带轮，凸轮，槽轮这样一堆最重要的传动件，这些传动件几乎是机械传动的核心。

如果轴受力过大而发生了断裂，对于机械而言，简直就是灾难性的影响。

所以轴的设计计算向来就是机械设计的一个重头戏。

总之，材料力学研究四种变形：

拉压，扭转，弯曲，剪切。

其中弯曲的低位最重要，所有的材料力学书籍，都不惜重墨，在这里花费了很多的力气来讲解。

除了这四种最基本的变形外，拉压可以与弯曲相组合，扭转也可以与弯曲相组合而发生复杂的变形，我们称之为组合变形。

在弄清楚基本变形的强度和刚度问题以后，组合变形就变得相对简单了。

本文说明材料力学的一个重要概念，内力。

并给出四种变形下内力的计算方法。

以拉伸变形为例来说明问题。

如图1-1所示，一根杆件在其两端点受到沿着轴线相反的一对平衡力作用，它将被拉长。

可以想象，该杆件内部的每根纤维都被拉伸。

为了考虑其内部相互作用力的情况，假想的用一个垂直于轴线的横截面将该轴切断〔如图1-2〕，然后取出左半段来研究〔如图1-3〕，则在切断面上应该受到右半段给它的力的作用，这些作用本来是右边截面上的每个微元给左边截面上每个微元的，本质上是一个分布力系。

这里考虑这个分布力系的总体作用效果，显然这个分布力系可以被该截面上一个力FN所取代，这个力称为内力。

〔对于拉伸而言，这个力有一个更加特殊的名字，称为轴力。

〕这样，左半段〔图1-3〕就只受到两个力的作用，这两个力应该相等，从而可以知道，该内力与外力F是等大的。

这样就得到了内力的大小。

上图实际上就是拉伸变形时内力的计算方法。

该方法是在适当的地方取一个横截面，然后切断整根杆件，任意取一边来研究。

而这一边在切断面上受到的分布力系用一个总的力或者力偶来取代。

根据这一边的力系平衡，从而推出切断面上的力的大小，这种方法称为截面法。

截面法是材料力学中求解内力的基本方法。

下面考虑扭转变形。

如图2-1所示的轴，两端受到两个相等力偶的作用，为了考察内部的受力情况，用一个假想的平面切断这根轴〔如图2-2〕，然后任取一边来研究〔这里取右半段，如图2-3〕，同样，该切断面会受到被舍弃的左段的切断面上微元给它的力的作用。

这些作用本质上仍旧是分布力系。

为便于研究，同样将该力系简化。

根据其受力情况，可以推测，简化的结果会是一个力偶〔如图2-3〕，该力偶称为扭矩。

根据该段的受力情况与力系平衡，可以知道，该扭矩与外加的力偶等大。

这就是扭转内力的计算方法。

下面考虑剪切变形。

如图3-1所示的轴，在一个截面很近的两边分别受到两个等大的力F的作用，为了考察内部的受力情况，在该截面处切断这根轴，然后任取一边来研究〔这里左半段，如图3-2〕，同样，该切断面会受到被舍弃的左段的切断面上微元给它的力的作用。

这些作用本质上仍旧是分布力系。

为便于研究，同样将该力系简化。

根据其受力情况，可以推测，简化的结果会是一个力〔如图3-2〕，该力称为剪力。

根据该段的受力情况与力系平衡，可以知道，该剪力与外加的力等大。

这就是剪切内力的计算方法。

最后考虑弯曲变形。

如图4-1所示的杆，两端支撑，而在中间某处受到一个竖直向下的集中力，为了考察内部的受力情况，用一个假想的平面切断这根杆，然后取右半段来研究〔如图4-2〕，同样，该切断面会受到被舍弃的左段的切断面上微元给它的力的作用。

这些作用本质上仍旧是分布力系。

为便于研究，同样将该力系简化。

根据其受力情况，可以推测，简化的结果会是一个力和一个力偶〔如图4-2〕，该力称为剪力，该力偶称为弯矩。

根据该段的受力情况与力系平衡，可以推出这两个内力的大小〔如图4-2〕。

这就是弯曲内力的计算方法。

可见，四种基本变形的内力计算方法都是一样的。

可以想象，在复杂的受力状态下，杆件不同的截面上其内力是不同的。

如图4-1所示，在集中力F的左右两边取截面，截面上的剪力和弯矩都会变化，而且是随着距支座的距离的变化而变化。

此即，内力是随着截面位置的变化而变化的。

这种变化与其到某一个支座的距离有关〔如图4-1中的X〕，是它的函数。

把该内力与X的关系用数学式表达出来，称为内力方程〔如图4-2左边的两个方程〕，而依据该方程可以在二维笛卡尔坐标系中绘制出该内力方程，它会是一个曲线图，该曲线称为内力图。

下面的图形说明了上述思想。

图5

图5是一个绘制弯曲的内力图的例子。

该图的最上面一个图是实际的受力图，这是一个A,B两点简单支撑的简支梁，在其上受到一个竖直向下的分布力系作用。

可以想象，AB之间的任意一个截面的内力都是不一样的。

根据截面法，任意取一个截面，由其平衡，列出平衡方程，可以分别得到剪力方程和弯矩方程，然后根据它们分别绘制出中间的剪力图和下面的弯矩图。

从图中可以知道，A,B截面的剪力最大，而中间截面的弯矩最大。

这些内力大的截面就是危险截面。

一根杆件的断裂就是从这些危险截面开始的。

材料力学分析强度问题，就是首先绘制内力图，找到危险截面，然后在该危险截面上进一步找到危险点，计算该危险点的力是多少，并把该力与该材料所能够承受的极限相比较，从而判断它有没有超过允许值。

这样来判断杆件的安全性。

现在说明应力的概念。

应力是材料力学最核心的概念，它也是变形固体力学中最重要的概念。

可以说，材料力学这门课程就是以应力为中心而展开的，所以，理解应力至关重要。

我们从简单的拉伸试验开始考察断裂现象,从而阐述应力的概念。

我们试着在粉笔的两端用力拉它，一根粉笔粗〔图1-1〕，而另外一根粉笔细〔图1-2〕，我们可以看到，在这两种情况下，这两根粉笔的内力是一样的〔图1-3，图1-4〕，但是毫无疑问，较细的粉笔更容易被拉断。

这意味着，粉笔断裂的原因不能简单的归于内力〔这里相同的内力，较细的更容易断裂〕，而需要进一步去考察内力在截面上的分布。

实际上，我们需要过渡到截面上更细微的元素，比如说一个点。

如图2-1所示，为了描述截面上一个点受到的力的集中程度，我们在该截面上选取一个微小的面积，则这个微小的面积上可以认为只受到一个集中力的作用。

用该力除以面积并取极限，这就意味着一个点受力的紧张程度，这个极限称为应力〔图2-1〕。

显然，应力表达了当杆件受力以后，一个点的紧张程度。

当这个应力达到某种程度，而超过了材料所允许的程度后，构件就会首先从这个点开始断裂，然后裂纹产生，并向周围扩展，直到整个构件被破坏。

上面定义的应力显然是一个矢量，它的方向由ΔP决定，而ΔP可以取空间的任意方向。

为了便于研究，我们把这个应力向垂直于截面和在平面内两个方向分解，得到两个应力分量。

垂直于截面的那个应力分量我们称为正应力，记做σ；而在截面内的那个应力分量我们称为切应力，记做τ〔图2-2〕。

下面我们会发现，对于不同的变形而言，有的截面上只有正应力，而有的只有切应力，而有的同时有二者。

首先考虑拉伸的应力。

如图3所示，图3中的上图是用截面法后的图形，右边截面上的内力是FN,该内力是由很多正应力合成的。

可以推断，在该截面上，正应力均匀分布〔见图3-中图〕，这样，正应力乘以面积就得到内力，从而可以得出应力的公式〔见图3-下图〕。

从该公式可以知道，截面上内力越大，而截面积越小，则正应力越大，而且正应力在面上是均匀分布的。

接下来考虑扭转的应力。

由图4的右上方扭转的内力图，知道截面上只有一个扭矩存在。

该截面的右视图见图4-中图。

该截面的扭矩显然是由截面内的应力合成的。

而截面内的应力只能是切应力。

那么这些切应力在截面内还是均匀分布的吗？

经过试验发现并非如此。

实际上，从中心往外走，应力越来越大，到外圆处达到最大，而且切应力的大小与该点到圆心的距离成正比。

经过比较复杂的推导，得到切应力的公式见图3-右下公式。

从该公式可以看到，截面上每点的切应力与该截面的扭矩MT成正比。

扭矩越大，则分布在该截面上各点的切应力越大；ρ—是该点到圆心的距离。

距离越远，则应力越大；Ip---是极惯性矩，它是表达截面的惯性的一个几何量，纯粹由截面的几何形状和尺寸所决定。

该量越大，就意味着截面的惯性越大，越是不容易变形。

对于圆形截面而言，极惯性矩完全由圆的直径D所确定〔图3-右下公式〕。

接下来的剪切应力比较简单。

图5-右上图是其内力图。

该截面投影的右视图见图5-中图。

这是一个圆形，截面内存在一个合力FQ.同样，这个合力一定是截面内分布的切应力的合作用效果。

那么，在该截面内部，切应力是怎么分布的呢？

经过研究，可以认为，该截面内部，切应力是均匀分布的。

其公式件图5-右下公式。

可见，切应力与该截面内的剪力成正比，而与截面积成反比。

最后来到弯曲。

图6-上图是用截面法求一个截面的内力〔左面是截面〕。

该截面上本来是有一个剪力和弯矩的。

经过研究发现，剪力所起的作用很小，所以这里忽略，只考虑弯矩。

显然，该弯矩是由很多垂直于截面的正应力合成的。

那么，这些正应力在该截面上是均匀分布的吗？

经过研究发现，并非如此。

实际上，该杆的中间有一个平面，截面上没有正应力。

而往上走，应力越来越大，而且所有的正应力方向都指向截面内部，这种正应力是压应力。

而从中面往下走，应力也越来越大，而所有的应力都离开截面向外，称为拉应力。

而且还发现，每个点的应力与距中面的距离成正比。

经过一系列复杂的推导，最后得到图6-正下的弯曲正应力公式。

该公式中的M就是截面内的弯矩，而Y是某点到中面的距离，IZ是截面的惯性矩。

该惯性矩也是由截面的几何性质唯一的确定的，对于矩形截面，其公式见图6-右下公式。

可见，该惯性矩与截面的宽度成正比，而与高度的三次方成正比。

所以，截面的高度对惯性矩影响很大。

从弯曲正应力公式〔图6-正下公式〕可以知道，截面上的弯矩越大，则正应力越大；而某点到中面的距离越远，则应力越大；截面的惯性矩越大，则相应的各个点的正应力越小。

总之，我们可以看到，应力表达了受力杆件内某一个点的力集中程度。

为便于研究，我们把应力分为正应力和切应力。

对于拉伸和弯曲而言，截面上是正应力；对扭转和剪切而言，截面上是切应力。

就分布而言，拉伸和剪切时，截面上应力均匀分布；对于扭转和弯曲而言，越往外，应力越大。

可见，在任何一种情况下，杆件的表面都是最危险的。

所以，为了增加杆件的强度，我们都会进行表面改性，例如淬火，正火，渗碳，渗氮等，以加强表面的强度。

这篇文章举一个强度问题的例子，说明在设计实践中，材料力学如何用来求解强度问题。

如图1所示的外伸梁，长6米，截面为正方形，其宽度和高度都是200毫米。

外伸梁上作用一个10KN/m的分布载荷和20KN的集中载荷如图。

该梁的许用应力是20MPa.试确定该梁的强度是否合格。

首先计算支座B和D处的反作用力。

这样绘制受力图如图2所示。

由于该梁处于平衡状态，因此它应该满足一个物体的三个平衡方程：

水平方向上所有力相加为零；竖直方向上所有力相加为零；以与所有力对任何一个点取矩之和为零。

由于图2中只有两个未知数，这里根据实际情况，只列出两个方程。

求解上面两个方程，得到如下结果

把这两个结果替代图2中的两个未知力，得到图3.

现在，需要根据进行梁内部截面的内力分析。

根据前面内力篇中的截面法，对各个截面列出方程，然后绘制出内力图如图4所示。

图4的最上面图来自于图3的拷贝，根据这张图，得到的中间图是弯曲内力的剪力图，最下面这张是弯矩图。

我们最关心的是弯矩图。

对于这张图，我们可以看到，从A到B截面，弯矩的绝对值在逐渐的增加到20KNM，而后从B到C,弯矩的绝对值首先减小到零，然后又增加到10KN.M,到C截面后，接着弯矩又开始减小，到D截面时，弯矩减小到零。

这样，我们可以明白，这根梁最危险的截面是B截面，其上的弯矩是20KNM，这就是我们关注的焦点，称之为危险截面。

现在我们来到这个危险截面，从前面的弯曲应力公式我们知道，这个截面上不同的点，其应力是不一样的，越往中面的上下走，应力越大，到表面达到最大。

我们要考察最外面应力到底有多大。

根据公式

代入这的具体数据，即最大弯矩是20KNM，YMAX是截面高度的一半，而IZ由截面的几何性质完全确定，得到

从而我们可以知道

因此，该最危险点的应力是小于许用应力的。

所以该梁的强度是安全的。

所谓安全，就是说，这根梁是不会断裂，或者不会发生很大的塑性变形。

上述例子是材料力学理论最重要的应用。

它是用来计算该梁是否安全，是强度问题的一种类型。

实际上，有三种常见的强度问题。

第一种，强度的校核。

已知梁的尺寸与受力，要考察它是否安全，上述例子就是如此。

第二种，截面的设计。

给定了梁的长度与受力，要设计一下它的截面尺寸。

对于该问题，方法与上面的求解过程类似，只不过截面尺寸成为未知数。

第三种，计算许用载荷。

给定了梁的长度截面，要考察它上面可以承受多大的力，才不至于发生断裂或者过大的塑性变形。

计算方法也与上面的过程类似。

实际上，三种强度问题的求解步骤都是四步：

第一步，外力分析。

根据受力平衡把支座的反作用力求出来。

第二部，内力分析。

计算截面的内力把内力图绘制出来，从而找到危险截面。

第三步，应力分析。

把危险截面上最危险点的应力求出来，这步只需要代入应力公式。

第四步，强度的校核或计算。

根据得到的危险应力，与许用应力相比较；如果没有超过许用应力，就算合格。

如果超过了，则梁很危险，需要重新设计。

材料力学研究三大问题：

强度问题，刚度问题和稳定性问题。

上篇对强度问题做了一个简要的小结，而本篇则对刚度问题做个迅速的小结。

所谓刚度，是指物体抵抗变形的一种能力。

而刚度问题，是说希望某结构在受力以后变形不要超过某个许可值。

比如下图所示的钻床，在钻孔时，钻头受到一个向上的力，该力会使得钻床的横梁和立柱发生变形如图。

如果变形太大，这会使得钻头改变方向，从而使得孔钻偏。

因此，在设计钻床时要进行计算，以保证横梁有足够的刚度。

从上述例子可以看出，问题的关键在于求出结构上的某关键点所发生的位移。

由于结构的变形主要有四种，所以，如果求出四种简单变形的公式，那么对于复杂的结构，也相对容易推算了。

经过简单的推导，可以得到拉伸变形的公式

从该公式可以看出，外力越大，则变形量越大；原长越大，而变形量越大；EA越大，则变形量越小。

显然，EA表达了杆件抵抗拉伸变形的能力，称为拉压刚度。

对于扭转变形，其公式是

从该公式可以看出，外力偶越大，B截面相对于A截面绕轴线转过的角度越大；原长越大，而相对转角越大；GIP越大，则相对转角越小。

显然，GIP表达了轴抵抗扭转变形的能力，称为扭转刚度。

弯曲变形则要复杂一些，一根悬臂梁在终端受到向上的集中力后，整个轴线发生偏移，形成的曲线如下图的虚线所示。

该虚线称为挠曲线。

显然，该挠曲线上各个点的纵坐标是随着x的变化而变化的。

经过积分计算，可以给出各种常见梁的挠曲线方程，这些方程可以在机械设计手册上查到。

当遇到一个受到简单力的梁时，可以直接通过查表得到挠曲线方程，从而计算出所求点的位移或者转角。

但是对于复杂的受力情况，则不能直接查阅到挠曲线方程，此时需要使用叠加法。

例如下图所示的简支梁，上面受到分布力系，集中力和集中力偶的作用，要求B截面的转角和C截面的位移。

此时，没有直接的表可以查到。

但是，手册上给出了简支梁分别在分布力系，集中力，集中力偶作用下B点的转角和C点位移的值，所以只需要分别查阅这三个表，得到数据后叠加就可以了。

一旦叠加后，分别把B点的转角与C点的位移与允许值相比较，就可以知道该梁的刚度是否足够，这就是所谓的刚度问题。