极坐标题.docx
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极坐标题
总题数：
15题
第1题（2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类（上海卷））
题目
如图，在极坐标系中，过点M（2,0）的直线l与极轴的夹角.若将l的极坐标方程写成ρ＝f（θ）的形式，则f（θ）＝__________.
答案
解析：
如图所示，根据正弦定理，有，∴.
第2题（2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类（湖南卷））
题目
在极坐标系中，曲线C1：
ρ（cosθ+sinθ）＝1与曲线C2：
ρ＝a（a＞0）的一个交点在极轴上，则a＝________.
答案
解析：
把曲线C1：
ρ（cosθ+sinθ）＝1化成直角坐标方程，得x+y＝1；
把曲线C2：
ρ＝a（a＞0）化成直角坐标方程，得x2+y2＝a2.
∵C1与C2的一个交点在极轴上，
∴x+y＝1与x轴交点（，0）在C2上，
即（）2+0＝a2.
又∵a＞0，∴.
第3题（2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类（安徽卷））
题目
在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线（ρ∈R）的距离是__________．
答案
解析：
由极坐标下圆的方程ρ＝4sinθ可得，ρ2＝4ρsinθ，所以x2+y2＝4y，即x2+（y－2）2＝4，表示以（0,2）为圆心，2为半径的圆．又（ρ∈R）表示直线，∴由点到直线的距离公式可得．
第4题（2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学（江苏卷））
题目
[选修4－4：
坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
答案
解：
如图，在中令θ=0，得ρ=1，
所以圆C的圆心坐标为（1,0）．
因为圆C经过点P（，），所以圆C的半径，
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
第5题（2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类（湖北卷））
题目
设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2＝10，x2+y2+z2＝40，ax+by+cz＝20，则（ ）
A． B． C． D．
答案
C
∵由题意可得，，
∴a2+b2+c2+－ax－by－cz＝0，
即（a－）2+（b－）2+（c－）2＝0.
∴，，.∴.
第6题（2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类（北京卷））
题目
直线（t为参数）与曲线（α为参数）的交点个数为________．
答案
2
解析：
由题意知直线与曲线的参数方程可分别化为x+y－1＝0，x2+y2＝9，进而求出圆心（0,0）到直线x+y－1＝0的距离，∴交点个数为2．
第7题（2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类（天津卷））
题目
已知抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝__________．
答案
2
解析：
由参数方程（t为参数），p＞0，可得曲线方程为：
y2＝2px（p＞0）．
∵|EF|＝|MF|，且|MF|＝|ME|（抛物线定义），
∴△MEF为等边三角形，
E的横坐标为，M的横坐标为3．
∴EM中点的横坐标为：
，与F的横坐标相同，
∴，∴p＝2．
第8题（2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类（湖北卷））
题目
（选修4—4：
坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．
答案
解析：
由极坐标方程可知，表示直线y＝x，而表示y＝（x－2）2.设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x0，y0）．联立可得，x2－5x+4＝0，可得x1+x2＝5.即x0＝y0＝，故M．
第9题（2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类（湖南卷））
题目
在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：
（t为参数）与曲线C2：
（θ为参数，a＞0）有一个公共点在x轴上，则a＝________.
答案
解析：
∵C1：
∴C1的方程为2x+y－3＝0.
∵C2：
∴C2的方程为.
∵C1与C2有一个公共点在x轴上，且a＞0，
∴C1与x轴的交点（，0）在C2上，
代入解得.
第10题（2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类（广东卷））
题目
（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（t为参数）和（θ为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为__________．
答案
（1,1）
解析：
由C1得，即y2＝x（y≥0）．①
由C2得x2+y2＝2.②
由①②联立得
第11题（2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类（广东卷））
题目
（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（θ为参数，0≤θ≤）和（t为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为__________．
答案
（2,1）
解析：
由C1得x2+y2＝5①，且
由C2得x＝1+y②，
∴由①②联立得得
第12题（2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类（辽宁卷））
题目
选修4—4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C1：
x2+y2＝4，圆C2：
（x－2）2+y2＝4．
（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；
（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
答案
解：
（1）圆C1的极坐标方程为ρ＝2，
圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．
解得ρ＝2，，
故圆C1与圆C2交点的坐标为（2，），（2，）．
注：
极坐标系下点的表示不唯一．
（2）解法一：
由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为（1，），（1，）．
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为
（或参数方程写成）
解法二：
将x＝1代入得ρcosθ＝1，从而．
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为．
第13题（2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类（浙江卷））
题目
“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块
在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：
（t为参数）与曲线C：
（θ为参数）相交于不同两点A，B．
（1）若，求线段AB中点M的坐标；
（2）若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P（2，），求直线l的斜率．
答案
解：
设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2．将曲线C的参数方程化为普通方程+y2＝1．
（1）当时，设点M对应参数为t0．
直线l方程为（t为参数），
代入曲线C的普通方程+y2＝1，得13t2+56t+48＝0，
则，所以，点M的坐标为（，）．
（2）将代入曲线C的普通方程+y2＝1，得
（cos2α+4sin2α）t2+（sinα+4cosα）t+12＝0，
因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝，|OP|2＝7，
所以，得．
由于＝32cosα（sinα－cosα）＞0，
故．
所以直线l的斜率为．
第14题（2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类（全国卷新课标））
题目
选修4—4：
坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
答案
解：
（1）由已知可得A（，），
B（，），
C（2cos（+π），2sin（+π）），
D（，），
即A（1，），B（，1），C（－1，），D（，－1）．
（2）设P（2cosφ，3sinφ），令S＝|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2，
则S＝16cos2φ+36sin2φ+16＝32+20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．
第15题（2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类（全国卷新课标））
题目
选修4—4：
坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
答案
解：
（1）由已知可得A（，），
B（，），
C（2cos（+π），2sin（+π）），
D（，），
即A（1，），B（，1），C（－1，），D（，－1）．
（2）设P（2cosφ，3sinφ），令S＝|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2，
则S＝16cos2φ+36sin2φ+16＝32+20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．
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