高中数学第一章常用逻辑用语充分条件和必要条件教案2北师大版选修11.docx

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高中数学第一章常用逻辑用语充分条件和必要条件教案2北师大版选修11

2019-2020年高中数学第一章常用逻辑用语充分条件和必要条件教案2北师大版选修1-1

课题

充分条件和必要条件

教学目标

1）理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；

2）会判断充分条件，必要条件和充要条件．

3）从集合的观点理解充要条件。

4）会证明简单的充要条件的命题。

重点

充分条件，必要条件和充要条件的判断．

难点

充要条件的理解和充要条件的命题的证明。

【知识点梳理】

1、命题“若p则q”为真，记作pq；“若p则q”为假，记作“pq”.

2、充分与必要条件：

①如果已知pq，则称p是q的充分条件，而q是p的必要条件.

②如果既有pq，又有qq，即pq,则称p是q的充要条件.

3、充分、必要条件与四种命题的关系：

①如果p是q的充分条件，则原命题“若p则q”以及逆否命题“若p则q”都是真命题.

②如果p是q的必要条件，则逆命题“若q则p”以及否命题“若p则q”为真命题.

③如果p是q的充要条件，则四种命题均为真命题。

4、充要条件的判断方法：

四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：

⑴确定条件是什么，结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：

直接证法或间接证法，集合思想）；⑶确定条件是结论的什么条件.

【典型例题分析】

例1.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.

（1）是的___________________条件；

（2）是的___________________条件；

（3）是的___________________条件；

（4）是或的___________________条件.

分析：

从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.

解：

（1）因为结合不等式性质易得，反之不成立，若，，有，但不成立，所以是的充分不必要条件.

（2）因为的解集为，的解集为，故是的必要不充分条件.

（3）当时，均不存在；当时，取，，但，所以是的既不充分也不必要条件.

（4）原问题等价其逆否形式，即判断“且是的____条件”，故是或的充分不必要条件.

点评：

判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件.

在判断时注意反例法的应用.

在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q则p”的真假.

例2.已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则p是s的_________条件.

分析：

将各个命题间的关系用符号连接，易解答.

解：

故p是s的的充要条件.

点评：

将语言符号化，可以起到简化推理过程的作用.

例3.已知，

，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

分析：

若是的必要不充分条件等价其逆否形式，即是的必要不充分条件.

解：

由题知：

，

是的必要不充分条件，是的必要不充分条件.

，即

得.

故m的取值范围为.

点评：

对于充分必要条件的判断，除了直接使用定义及其等价命题进行判断外，还可以根据集合的包含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系：

若集合，则是的充分条件；若集合，则是的必要条件；若集合，则是的充要条件．

例4.求证：

关于x的方程有一个根为－1的充要条件是．

分析：

充要条件的证明既要证充分性，也要证必要性．

证明：

必要性：

若是方程的根，求证：

．

是方程的根，，即．

充分性：

关于x的方程的系数满足，求证：

方程有一根为－1．

，，代入方程得：

，

得，是方程的一个根．

故原命题成立．

点评：

在代数论证中，充要条件的证明要证两方面：

充分性和必要性，缺一不可

【小结】

1.理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．

2.从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：

若集合，则是的充分条件；

若集合，则是的必要条件；

若集合，则是的充要条件．

3.会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力

【课堂练习】

【基础达标】

1.若，则是的充分条件．若，则是的必要条件．若，则是的充要条件．

2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.

（1）已知，，那么是的_____充分不必要___条件．

（2）已知两直线平行，内错角相等，那么是的____充要_____条件．

（3）已知四边形的四条边相等，四边形是正方形，那么是的__必要不充分条件．

（4）已知，，那么是的____必要不充分___条件．

3.函数过原点的充要条件是．

4.对任意实数a，b，c，给出下列命题：

①“”是“”充要条件；②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件；

③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.

其中真命题的序号是____②_④___．

5.若，则的一个必要不充分条件是．

【能力提高】

必要不充分

6．设集合，，则“”是“”的__________条件．

7．已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件。

现有下列命题：

①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④的必要条件而不是充分条件；⑤是的充分条件而不是必要条件，其中正确命题序号是______①②④____．

8．已知条件

，条件

．若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解：

，若是的充分不必要条件，则．

若，则，即；

若，则

解得．

综上所述，．

【探究创新】

9．已知关于x的方程

，．求：

（1）方程有两个正根的充要条件；

（2）方程至少有一个正根的充要条件．

解：

（1）方程

有两个正根的充要条件

设此时方程的两实根为，，则

，的正数的充要条件是．

综上，方程有两个正根的充要条件为或．

（2）

方程有两个正根，由

（1）知或．

当时，方程化为，有一个正根．

方程无零根，故方程有一正根，一负根的充要条件是

即．

综上，方程至少有一正根的充要条件是或．

【课后作业】

1．设集合，，则“”是“”的_必要不充分

充分不必要

条件．

2．已知p：

1＜x＜2，q：

x（x－3）＜0，则p是q的条件．

3．设，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的______充分不必要______条件．

4．已知，，则是的_____必要不充分_______条件．

5．集合A＝{x|＜0}，B＝｛x||x－b|＜a，若“a＝1”是“A∩B≠”的充分条件，则b的取值范围是．

6．有限集合中元素个数记作card，设、都为有限集合，给出下列命题：

①的充要条件是card=card+card；

②的必要条件是cardcard；

③的充分条件是cardcard；

④的充要条件是cardcard.

其中真命题的序号是_①②__．

7．已知函数，求证：

函数是偶函数的充要条件为．

证：

充分性：

定义域关于原点对称．

，，

，

所以，所以为偶函数．

必要性：

因为是偶函数，则对任意x有，

得

，即，所以．

综上所述，原命题得证．

作业

2019-2020年高中数学第一章常用逻辑用语全称量词与存在量词教案1北师大版选修1-1

一、学习目标

1知识与技能：

理解全称量词与存在量词的意义；会判断全称命题与存在性命题的真假。

2过程与方法：

通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，掌握判断全称命题与存在性命题的真假的方法。

3情感、态度与价值观：

培养学生抽象概括能力，让学生体会数学与实际生活紧密联系。

二、教学重点难点

重点：

判断全称命题与存在性命题的真假

难点：

用全称量词与存在量词叙述命题

三、教学方法与手段

分组讨论、讲练结合

四、教学过程

（一）复习旧知，情景引入

问题一：

下列命题有何特点？

（1）我们班上所有的学生都学物理；

（2）对任意实数x，都有x2≥0；

（3）存在有理数x，使x2-2=0。

（二）教授新知识，构建新认知

1全称量词：

表示全体的量词在逻辑中称为全称量词。

如：

“所有”、“任意”、“每一个”等，

符号表示：

∀x

读作：

对任意x

例如命题

（2）可表示为：

2存在量词：

表示部分的量词在逻辑中称为全称量词。

如：

“有一个”、“有些”、“存在一个”等，

符号表示：

∃x

读作：

存在x

例如命题（3）可表示为

3全称命题：

含有全称量词的命题。

表示为：

∀x∈M，p（x）（其中，M为给定的集合，p（x）是一个含有x的语句）

4存在性命题：

含有存在量词的命题。

表示为：

∃x∈M，p（x）（其中，M为给定的集合，p（x）是一个含有x的语句）

问题二：

命题

（1）

（2）（3）中那些是存在性命题，那些是全称命题？

（三）、知识巩固与应用

1指出下列各命题中使用了什么量词

（1）所有正数大于负数；

（2）存在一个x∈Z，使2x+3=5；

（3）任意三角形中，三角之和是180°；

（4）有的三角形两边之和小于第三边。

2下列命题是全称命题还是存在性命题

（1）任何实数的平方都是非负数；

（2）任何数与0相乘，都等于0；

（3）任何一个实数都有相反数；

（4）有些三角形的三个内角都是锐角。

3判断下列命题的真假：

（1）∃x∈R，x2＞x；

（2）∃x∈Q，x2-8=0；

（3）∀x∈R,x2＞x；

（4）∀x∈R,x2+2＞0

结论：

（1）要判定一个存在性命题为真，只要在给定的集合中，找到一个元素x，使p（x）成立；否则命题为假。

（2）要判定一个全称命题为真，必须对给定的集合的每一个元素x，都使p（x）成立；。

要判定一个全称命题为假，只要在给定的集合中，找到一个元素x0，使p（x0）不成立。

（四）、练习

1指出下列命题中的量词，并判断是全称命题还是存在性命题

（1）有的菱形不是正方形；

（2）对顶角相等；

（3）有的直线没有斜率；

（4）和圆只有一个公共点的直线与圆相切。

2用全称量词或存在量词表示下列语句：

（1）有理数都能写成分数形式；

（2）n边形的内角和等于（n-2）×180°；

（3）两个有理数之间，都有另一个有理数；

（4）有一个实数乘以任意一个实数都等于0

3判断下列命题的真假

（1）中国所有的江河都流入太平洋；

（2）有的四边形既是矩形，又是菱形；

（3）实系数方程都有实数解；

（4）有的数比它的倒数小

4判断下列命题的真假

（1）所有的奇数都是素数；

（2）∃x∈R，x2≥0；

（3）∀x∈R,x2-3x+5＞0；

（4）所有奇函数f（x）都有f（0）=0

5判断下列命题的真假

（1）∀x∈R,x2-x+2＞0；

（2）∀x∈{1，2，3}，2x-3＞0；

（3）∃x∈N，x2+1≤x+1；

（4）∃x∈N﹡，使x为13的约数。

6判断下列命题的真假

（1）∀x∈R,x2+x+1＞0；

（2）∃x∈R，x2+x+1＞0；

（3）∀x∈R，x2+x-2＞0；

（4）∃x∈R,x2+x-2＞0；

（五）、小结

1全称量词与存在量词的意义

2判断全称命题与存在性命题真假的方法

思考：

1将x2+y2≥2xy改写成全称命题一般形式

2设A、B为两集合，有下列命题：

（1）

（2）

（3）

（4）

其中真命题的序号是

课后作业：

1给出下列全称命题：

①末位数是0的整数总能被5整除；②角平分线上的点到角的两边距离相等；③正三棱的任意两个面所成的二面角相等；其中真命题有

2给出下列存在性命题：

①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数；③∃x∈{x|x是无理数，x2是无理数}；其中真命题有

3现有下列存在性命题：

①∃x∈R，x是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的四棱柱是正方形；④有些整数，只有两个正因数；其中是真命题的是

4判断下列命题是存在性命题还是全称命题

（1）奇函数图像关于原点对称

（2）正方形是菱形

（3）过平面上直线外一点有一条与该直线垂直的直线

（4）有实数x，使x2+1=0成立

（5）有理数都能写成分数形式；

（6）垂直于同一直线的两个平面平行；

（7）实数a乘以0结果仍为零

5判断下列命题的真假

（1）∀x∈N，x2＞x；

（2）∃x∈Q，x2=2；

（3）∃x∈N＊使x为11的约数

6判断下列命题是全称命题还是存在性命题；并判断命题的真假

（1）正三棱锥的三条侧棱长相等；

（2）必有一个偶数是质数；

（3）菱形的对角线互相垂直

7举反例说明下列命题为假命题：

（1）∀x∈R，x2＞0；

（2）所有集合都有真子集

8下列四命题

（1）∀n∈R，n2≥n；

（2）∀n∈R，n2＜n

（3）∀n∈R，∃m∈R，m2＜n

（4）∃n∈R，∀m∈R，m·n=m

其中真命题的序号是