第六七课时因式分解2.docx

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第六七课时因式分解2

第六、七课时、因式分解

（2）

3、用分组分解法进行因式分解

【知识精读】

分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。

使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。

能预见到下一步能继续分解。

而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。

应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。

下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。

【分类解析】

1.在数学计算、化简、证明题中的应用

例1.把多项式分解因式，所得的结果为（）

例2.分解因式

2.在几何学中的应用

例：

已知三条线段长分别为a、b、c，且满足

3.在方程中的应用

例：

求方程的整数解

例2．分解因式：

____________

例3.分解因式：

____________

5、题型展示：

例1.分解因式：

例2.已知：

，求ab+cd的值。

例3.分解因式：

【实战模拟】

1.填空题：

2.已知：

3.分解因式：

4.已知：

，试求A的表达式。

5.证明：

4、用十字相乘法把二次三项式分解因式

【知识精读】

对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式

进行因式分解。

掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。

对于二次三项（a、b、c都是整数，且）来说，如果存在四个整数满足，并且，那么二次三项式即可以分解为。

这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

【分类解析】

1.在方程、不等式中的应用

例1.已知：

，求x的取值范围。

例2.如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。

分析：

应当把分成，而对于常数项-2，可能分解成，或者分解成，由此分为两种情况进行讨论。

解：

2.在几何学中的应用

例.已知：

长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足

，求长方形的面积。

分析：

要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。

解：

3、在代数证明题中的应用

例.证明：

若是7的倍数，其中x，y都是整数，则是49的倍数。

分析：

要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。

4、中考点拨

例1.把

分解因式的结果是________________。

解：

例2.

因式分解：

_______________

解：

5、题型展示

例1.若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）

A.1B.-1C.D.2

解：

例2.已知：

a、b、c为互不相等的数，且满足。

求证：

例3.若有一因式。

求a，并将原式因式分解。

【实战模拟】

1.分解因式：

（1）

（2）

（3）

2.在多项式，哪些是多项式的因式？

3.已知多项式有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。

4.分解因式：

5.已知：

，求的值。

因式分解小结

【知识精读】

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1.因式分解的对象是多项式；

2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

7.因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；

下面我们一起来回顾本章所学的内容。

【分类解析】

1.通过基本思路达到分解多项式的目的

例1.分解因式

分析：

这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解一：

原式

解二：

原式=

2.通过变形达到分解的目的

例1.分解因式

解一：

将拆成，则有

解二：

将常数拆成，则有

3.在证明题中的应用

例：

求证：

多项式的值一定是非负数

分析：

现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。

本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。

证明：

设，则

4.因式分解中的转化思想

例：

分解因式：

分析：

本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。

解：

设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B

说明：

在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。

中考点拨：

例1.在中，三边a,b,c满足

求证：

证明：

说明：

此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。

例2.已知：

__________

解：

说明：

利用等式化繁为易。

题型展示：

1.若x为任意整数，求证：

的值不大于100。

解：

说明：

代数证明问题在初二是较为困难的问题。

一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。

2.将

解：

说明：

利用因式分解简化有理数的计算。

【实战模拟】

1.分解因式：

2.已知：

的值。

3.矩形的周长是28cm，两边x,y使，求矩形的面积。

4.求证：

是6的倍数。

（其中n为整数）