电大形成性考核微积分初步形成性考核册答案14汇编.docx
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电大形成性考核微积分初步形成性考核册答案14汇编
微积分初步形成性考核作业
（一）解答
函数
极限和连续
、填空题（每小题2分，共20分）
1.
函数
f（x）
1的定义域是（2,3）一（3,•：
：
）
In（x-2）
2.
函数
f（x）
1—
:
的定义域是（-：
：
5）_
5-x
3.
函数
f（x）
ln（x2）「X2
的定义域是（-2,-1）一（-1,2]
4.
函数
2
f（x-1）=x-2x7，则
2
f（x）=x6_
函数
f（x）=*
厂2
x十2x兰0，则
xc
ex>0
f（0）=2
函数
f（x「1）=x2-2x，则f（x）二x2-1
函数
x-2x-3
的间断点是x--1
9.若lim叱=2，则k—tsinkx
10.若
sin3xlim
x—0kx
二、单项选择题（每小题2分，共24分）
-xx
e亠e
1.设函数y，则该函数是（B）.
2
A•奇函数B.偶函数C•非奇非偶函数
2.设函数y=x2sinx，则该函数是（A）.
A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
D.既奇又偶函数
3•函数
f（x）
的图形是关于
D）对称.
4.
下列函数中为奇函数是（C）.
A.
xsinx
B.InxC.
ln（x..1x2）
5.
1
函数y二
•ln（x-5）的定义域为（D）.
x+4
A.
x-5B.
x-4C.x
-5且x=0
6.
函数f（x）=
1
的定义域是（
D）.
A.y=xB.x轴C.y轴D.坐标原点
In（x—1）
D.xx2
D.x-5且x^-4
A.（1,：
：
）B.（0,1）_•（1,:
:
）
C.（0,2）（2「：
）
D.（1,2）一（2,：
：
）
设f（x1）=x
-1，则f（x）二（c）
x（x1）
x（x-2）
D.（x2）（x-1）
F列各函数对中,
（D）中的两个函数相等.
f（x）=（•x）2,
g（x）二x
B.f（x）=.x2,g（x）二xC.f（x）二lnx2,
当x—；0时，下列变量中为无穷小量的是（
B.Sin-x
C.ln（1x）
10.当k
时,
函数f（x）=*
x21,
k,
D.
-1
11.当k
时,
函数f（x）=」ex+2,
•k,
x严0
在x=0处连续.
x=0
12.函数
f（x）二
x-3
x2-3x2的间断点是（A）
C.x=1,x=2,x=3
D•无间断点
三、解答题（每小题7分，共56分）
2•计算极限
x2+5x-6lim
x1x-1
2
解:
x5x-6（x-1）（x6）x67
lim2limlim
x1x-1x:
1（X1）（x-1）xHx12
解:
2
l:
_X
-6x8,：
一（x-2）（x-4）―
x-22
limo
x）4x2
limlim
-5x4x—4（x-1）（x-4）i
4x—1「3
5.
计算极限
x2—6x+8
lim
li^n2
x2x-5x6
4•计算极限lim
2
x「6x8
x2-5x4
=Tim——
x1_X1
7•计算极限
sin4x
百1—x-1lim
x50
|im（1-x-1）（d-x1）
xesin4x（、1-X1）
8.
计算极限lim
x屮
=lim
x一0
-X
sin4x（.1-x1）
4x
1
（、1-x1）
sin4x
x4—2
ll
解:
sin4x广sin4x（Jx+4+2）
lim:
lim
x—x4-2xx4-2）（..x42）
..sin4x（Jx+4+2）厂.rsim4xz“
=lim4lim[（、x42）=16
x_oxx_p4x
微积分初步形成性考核作业
（二）解答（除选择题）
导数、微分及应用
、填空题（每小题2分，共20分）
L1
1.曲线f（x）iX1在（1,2）点的斜率是一
2
2•曲线f（x）=eX在（0,1）点的切线方程是y二xT
1
3•曲线y=x2在点（1,1）处的切线方程是x•2y-3=0
2
4.
xln2
2一x
5•若y=x（x-1）（x-2）（x-3），贝Uy（0）=_-6_
6•已知f（X）=X33x，则f（3）=2727ln3.
&若f（x）二xe」，则f（0）=二2
2
9•函数y=3（x—1）的单调增加区间是［1,邑）
2
10.函数f（x）=ax21在区间（0,•：
：
）内单调增加，贝Ua应满足a一0
二、单项选择题（每小题2分，共24分）
2
1.函数y=（x•1）在区间（-2,2）是（D）
A
.单调增加
B.单调减少
C
.先增后减
D.先减后增
2.
满足方程
y=f（x）的（C）.
T（X）-U的点
定是函数
A
.极值点
B.最值点
C.驻点
D.间断点
3.
若f（x）二
:
e“cosx，贝U
f（0）=（
C）.
A.
2
B.1
C.-1
D.-2
4.设y=Ig2x，贝Udy=（B）.
6.曲线y=e2x1在x=2处切线的斜率是（C）.
B.f（x）在x=x0处不连续，则一定在x0处不可导.
C.可导函数的极值点一定发生在其驻点上•
D.若f（x）在［a,b］内恒有f（x）：
：
：
0，则在［a,b］内函数是单调下降的.10.若函数f（x）在点X0处可导，则（B）是错误的.
A.函数f（x）在点X0处有定义B.limf（x）=A，但A=f（x0）
C.函数f（x）在点X0处连续D.函数f（x）在点x°处可微
11.下列函数在指定区间|（~°°严）|上单调增加的是（B）.
x2
A.sinxB.eC.xD.3-x
12.下列结论正确的有（A）.
A.X。
是f（x）的极值点，且「（切存在，则必有f'（X0）=0
B.X0是f（x）的极值点，贝UX0必是f（x）的驻点
C.若「（血）=0,则X0必是f（x）的极值点
D.使f（x）不存在的点X0,--定是f（x）的极值点
三、解答题（每小题7分，共56分）
1
1.设y=x2ex，求y.
11111
1
解：
y=2xexxex
（2）=2xex-ex=（2x-1）ex
x
2.设y=sin4xcos3x，求y.
解:
y=4cos4x「3cos2xsinx
3•设y二eR丄，求y•
x
8.设cos（xy）ey=1，求dy.
解：
两边对C0S（xy）e^1求导，得：
-（1y）sinXy）yey=0
-sinXy）_ysinXy）ye0
[ey-sin（xy）]y=sinX■y）
sinX+y）
丫ey_sinx（+y）
dy=ydx="dX
ey—sin（x+y）
微积分初步形成性考核作业（三）解答（填空题除外）
不定积分，极值应用问题
一、填空题（每小题2分，共20分）
2
1•若f（x）的一个原函数为lnx，则f（x）二。
x.
2.若f（x）的一个原函数为x-e，贝Uf（x）二。
3.若f（x）dx=xexc，贝Hf（x）=.
4.若f（x）dx二sin2xc，则f（x）.
5.若f（x）dx=xlnxc，贝Uf（x）二.
6.若f（x）dx=cos2xc，则f（x）二.
2
7.dedx=.
8.（sinx）dx二.
9.若f（x）dx二F（x）c，贝Uf（2x-3）dx二
10.若f（x）dx=F（x）c，则xf（1-x2）dx=.
二、单项选择题（每小题2分，共16分）
1.下列等式成立的是（A）.
A.—f（x）dx=f（x）B.f（x）dx=f（x）
dx
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C•df（x）dx=f（x）
D•df（x）=f（x）
3若f（x）dx二x2e2x-c,
则f（x）二（A）.
2x
A.2xe（1x）
22x
B.2xe
2x
C.2xe
D.xe2x
4若f（x）=X、.X（X0）,
f（x）dx=（A）.
B.
x2xc
C.X23x2c
2
D.
5以下计算正确的是（A
*（1x2）
C•dX=d..x
%：
V
6xf（x）dx=（A）
A.xf（x）「f（x）c
12
C.1xf（x）c
D.
解:
1
Inxdx=d（-）
x
B.xf（x）c
（x1）f（x）c
xf（x）dx二xdf（x）二xf（x）-f（x）dx二xf（x）-f（x）c
A-2x
A•a
B•
.2x
-2a2Xln
adxC.a_2xdx
8果等式
.f（x）e
1
：
dx
1
八「C
，则f（x）二（B）
1
1
11
A.
B.
2
C.
D.2
X
X
XX
_2x
7dadx=（a）•
解：
两边求导，得：
f（x）e「/2
x
D•a_2xdxc
三、计算题（每小题7分，共35分）
解:
IJ
dx=3dx-xdxsinxdxx
10
2.（2x-1）dx
111
解：
（2x—1）10dx（2x-1）10d（2x-1）（2x-1）101c
2'210+1
111
（2x-1）c
22
1
sin
3.—dx
x
.1
sin_111
解：
一dx--sind（-）=cosc
xxxx
2.欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两
块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？
216
解：
设矩形的长为x米，则矩形的宽为竺米，从而所用建筑材料为：
x
叫=2-驾，令=0得：
x=18（取正值），这时空=12
dxxdxx
由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为18米，宽为12米时，才能使所用
建筑材料最省
五、证明题（本题5分）
函数f（x）=x-ex在（-：
：
0）是单调增加的.
证明：
因为f（x）=1-ex，当x•（-：
：
0）时，f（x）=1-ex.0
所以函数f（x）二x-ex在（-：
：
0）是单调增加的.
微积分初步形成性考核作业（四）解答
定积分及应用、微分方程
一、填空题（每小题2分，共20分）
i22
1.（sinxcos2x-x）dx=
°3
n
2.J；（x-4x+cosx）dx=2.
~2
3•已知曲线y二f（x）在任意点x处切线的斜率为x，且曲线过（4,5），则该曲线的方程
2x2
3
7.
&微分方程y"=y,y（0）=1的特解为y=ex
9.微分方程y'3y=0的通解为y=ce*
10.微分方程（y），4xy⑷二y7sinx的阶数为4
二、单项选择题（每小题2分，共20分）
1.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（A）.
22
A.y=x+3B.y=x+4
C.
y=x22
D.y=x21
2.若
1
0（2xk）dx=
=2,
则k=（A）.
A.
1
B.
-1C.0
D.1
）•
3.下列定积分中积分值为0的是（A
1-—dx
-j2
1ex■e
-j
_x
dx
2
（x3cosx）dx
-Tt
（x2sinx）dx
4•设
f（x）是连续的奇函数,
则定积分
-a
f（x）dx=（
0
2f（x）dx
-a
0
f（x）dx
-a
a
0f（x）dx
5.
2」sinxdx二（D
）.
一：
1
—dx
x
B.二
A.yx2lny=y
y
C.yxy=e
9.
微分方程y=0的通解为（C）.
10.下列微分方程中为可分离变量方程的是（
A.史二xy;B.鱼
dxdx
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dydy
C.xysinx；D.x（yx）
dxdx
三、计算题（每小题7分，共56分）
ln2-
1.e（1ex）dx
解:
2.
解:
3.
解:
4.
解:
；1（1ex）2dx
e15Inx
X
dx
e15Inxdx
1x
ln221
二0（1ex）2d（1ex^3（1
3
x\3
e）
In2
亠8
o3
19
~3
e
1（1
5Inx）dIn
1
x=一
5
e
d（15Inx）d（15lnx）
-（15Inx）2
2
°xexdx
fxexdx=
-0
xsinxdx
o
e
xd
11
x
二xe
i
exdx
二e_e
=e_（e_1）=1
二x
0xsin2dx
xx
=20xsind（?
）=一2°xd
xcos-
2
x
=-2（xcos—
2
"0"cos2d（2*4sin2
兀
=4
o
5.jxsinxdx
JtJTj[Tt
解:
J；xsinxdx=-『xdcosx=-（xcosx,-『cosxdx）
=sinx（2=1
6•求微分方程，•乂=x2T满足初始条件y
（1）=7的特解.
x4
解：
微分方程的通解为y=e"皿[q（x）^^X）d>12
这里p（x），q（x）二x1x
将初始条件y
（1）=7代入上式，解得c=1
4
11i
所以微分方程的特解为y（―x4•—x2•1）
x42
7.求微分方程y--=2xsin2x的通解。
x
解：
微分方程的通解为y乂一卩以角q（x）e•PgdXdxc]
1
这里p（x）,q（x）=2xsin2x
x
代入得微分方程的通解为y=x（-cos2x-c）
四、证明题（本题4分）
aa
证明等式^f（x）dx=0【f（「x）f（x）]dx。
a0a
证明：
f（x）dxf（x）dxf（x）dx
0
考虑积分.f（x）dx，令x=-t，则dx=-dt，从而£
0
」（x）dx=
00aa
af（—t）[—dt]=—.af（—t）dt=0f（—t）dt=0f（—x）dx
a0a
所以f（x）dxf（x）dx亠if（x）dx
'~a■a'0
aaa
=0f（-x）dx0f（x）dx=Jf（-x）f（x）]dx
4.xsin2xdx
11
xco2xsin2x
24
5.xe"dx
解：
xe»dx--xde^=（xe^-e»dx）--xe。
_e。
c
四、极值应用题（每小题12分，共24分）
1.设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。
试求矩形的边
长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。
解：
设矩形的一边长为x厘米，则另一边长为60-x厘米，以60-x厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则体积V为：
V=瞅2（60-x），即：
V=60二x2-二x3
dV2人dV/曰
120”：
x-3：
x，令0，得：
dxdx
x=0（不合题意，舍去），x=40,这时60-x=20
由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为40厘米、另一边长为60厘米时,才能使圆柱体的体积最大。
114丄12丄
代入得微分方程的通解为y（―x4•—x2•c）
x42
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