1、电大形成性考核微积分初步形成性考核册答案14汇编微积分初步形成性考核作业(一)解答函数极限和连续、填空题(每小题 2分,共20 分)1.函数f(x)1 的定义域是(2,3) 一(3, :)In(x -2)2.函数f(x)1 : 的定义域是(-:,5)_5 - x3.函数f(x)ln(x 2)X2的定义域是(-2,-1) 一 (-1,24.函数2f (x -1) = x - 2x 7,则2f (x) = x 6_函数f (x) = *厂 2x十2 x兰0,则x ce x 0f(0) = 2函数f (x1) = x2 -2x,则 f (x)二 x2 -1函数x - 2x - 3的间断点是x - -
2、19 .若 lim 叱=2,则 k t sin kx10 .若sin 3x limx0 kx二、单项选择题(每小题 2分,共24分)-x xe 亠e1.设函数y ,则该函数是(B).2A 奇函数 B.偶函数 C 非奇非偶函数2.设函数y = x2 sinx,则该函数是(A).A .奇函数 B.偶函数 C .非奇非偶函数D .既奇又偶函数D .既奇又偶函数3 函数f(x)的图形是关于D)对称.4 .下列函数中为奇函数是( C ).A .xsin xB . In x C .ln (x .1 x2)5 .1函数y二 ln(x - 5)的定义域为(D ).x +4A .x -5 B .x -4 C .
3、 x-5 且 x = 06 .函数f (x)=1的定义域是(D).A . y=x B. x轴 C. y轴 D .坐标原点In (x 1)D. x x2D . x -5 且 x -4A. (1, :) B. (0,1) _ (1,:)C . (0,2) (2:)D . (1,2) 一(2,:)设 f(x 1) = x-1,则 f (x)二(c )x(x 1)x(x-2)D . (x 2)(x -1)F列各函数对中,( D )中的两个函数相等.f (x) = ( x)2,g(x)二xB . f (x) = . x2 , g(x)二 x C . f (x)二 ln x2,当x; 0时,下列变量中为无
4、穷小量的是(B . Sin-xC. ln(1 x)10 .当 k时,函数f (x) = *x2 1,k,D.-111 .当 k时,函数 f(x)=ex+2, k,x严0在x = 0处连续.x = 012 .函数f(x)二x - 3x2-3x 2的间断点是(A )C. x =1,x =2, x = 3D 无间断点三、解答题(每小题 7分,共56 分)2计算极限x2 +5x -6 lim x 1 x -12解:x 5x -6 (x -1)(x 6) x 6 7lim 2 lim limx 1 x -1 x :1(X 1)(x -1) x H x 1 2解:2l:_ X- 6x 8 ,:一(x-2)
5、(x-4) x-2 2lim ox)4 x2lim lim-5x 4 x4 (x -1)(x - 4) i4x 135.计算极限x2 6x +8limlin 2x 2 x -5x 64 计算极限lim2x6x 8x2 -5x 4=Tim x1 _ X 17 计算极限sin 4x百1 x -1 limx 50|im ( 1-x -1)(d-x 1)x e sin4x(、1 - X 1)8.计算极限limx屮=limx一0-Xsin 4x(. 1 - x 1)4x1(、1 -x 1)sin 4xx 42ll解:sin4x 广 sin 4 x(Jx + 4+2)lim : lim x x 4 -2
6、x x 4 -2)(. x 4 2).sin4x(Jx+4+2) 厂.rsim4xz “=lim 4lim (、x 4 2) = 16x_o x x_p 4x微积分初步形成性考核作业(二)解答(除选择题) 导数、微分及应用、填空题(每小题 2分,共20 分)L 11.曲线f(x) iX 1在(1,2)点的斜率是一22曲线f(x)=eX在(0,1)点的切线方程是y二x T13曲线y = x 2在点(1, 1)处的切线方程是 x 2y -3 = 024.xln22一 x5 若 y = x (x -1)(x -2)(x -3),贝U y (0) = _-6_6 已知 f(X)=X3 3x,则 f (
7、3) =27 27ln3.&若 f (x)二xe,则 f (0)=二229函数y=3(x1)的单调增加区间是1,邑)210.函数f(x) =ax2 1在区间(0, :)内单调增加,贝U a应满足a 一 0二、单项选择题(每小题 2分,共24分)21 .函数y = (x 1)在区间(-2,2)是(D )A.单调增加B.单调减少C.先增后减D.先减后增2.满足方程y = f(x)的(C ).T (X) - U的点定是函数A.极值点B.最值点C.驻点D.间断点3.若 f(x)二:e “ cosx,贝Uf (0)=(C ).A.2B. 1C. -1D. -24.设 y = Ig2 x,贝U dy =
8、( B ).6.曲线y =e2x 1在x = 2处切线的斜率是(C ).B . f (x)在x = x0处不连续,则一定在 x0处不可导.C. 可导函数的极值点一定发生在其驻点上 D.若f (x)在a, b内恒有f (x) :0,则在a, b内函数是单调下降的. 10 .若函数f (x)在点X0处可导,则(B )是错误的.A .函数f (x)在点X0处有定义 B . lim f (x) = A,但A = f (x0)C.函数f (x)在点X0处连续 D .函数f (x)在点x处可微11 .下列函数在指定区间|(严)|上单调增加的是( B ).x 2A . sinx B . e C . x D
9、. 3 - x12.下列结论正确的有( A ).A . X。是f (x)的极值点,且 (切存在,则必有f (X0)= 0B . X0是f (x)的极值点,贝U X0必是f (x)的驻点C.若(血)=0,则X0必是f (x)的极值点D .使f (x)不存在的点X0,- -定是 f (x)的极值点三、解答题(每小题 7分,共56分)11.设 y = x2ex,求 y .11 11 11解:y = 2xex x ex( 2) = 2xex -ex = (2x -1)exx2 .设 y =sin4x cos3 x,求 y .解: y = 4cos4x3cos2 xsinx3设y二e R 丄,求y x8
10、.设 cos(x y) ey =1,求 dy .解:两边对C0S(x y) e1求导,得:-(1 y )s i nX y) y ey = 0-s i nX y) _ y s i nX y) y e 0ey -sin(x y)y = s i nX y)si nX + y)丫 ey _s i nx(+ y)dy =ydx= dXey s in (x + y)微积分初步形成性考核作业(三)解答(填空题除外) 不定积分,极值应用问题一、 填空题(每小题 2分,共20分)21若f (x)的一个原函数为ln x,则f(x)二 。x .2.若f(x)的一个原函数为x-e ,贝U f (x)二 。3. 若 f
11、(x)dx =xex c,贝H f(x) = .4. 若 f (x)dx 二sin2x c,则 f (x) .5.若 f (x)dx =xlnx c,贝U f (x)二 .6.若 f (x)dx = cos2x c,则 f (x)二 .27.d edx = .8.(sin x) dx 二 .9.若 f (x)dx 二 F (x) c,贝U f (2x - 3)dx 二 10 .若 f(x)dx = F(x) c,则 xf(1-x2)dx= .二、 单项选择题(每小题 2分,共16分)1 .下列等式成立的是(A ).A. f(x)dx=f(x) B . f (x)dx=f(x)dx更多精品文档C
12、 d f (x)dx = f(x)D df(x) = f(x)3 若 f (x)dx 二 x2e2x - c,则 f(x)二(A).2xA. 2xe (1 x)2 2xB. 2x e2xC. 2xeD. xe2x4 若 f (x) = X 、. X(X 0),f (x)dx = (A).B.x2 x cC. X2 3x2 c2D.5以下计算正确的是( A*(1 x2)C dX=d.x%: V6 xf (x)dx = ( A )A. xf (x)f (x) c1 2C. 1xf(x) cD.解:1In xdx = d(-)xB. xf (x) c(x 1)f (x) cxf (x)dx 二 xd
13、f (x)二 xf (x) - f (x)dx 二 xf (x) - f (x) cA -2xA aB .2x-2a 2Xlnadx C. a _2xdx8果等式.f (x)e1:dx1八C,则 f(x)二(B )111 1A.B.2C.D. 2XXX X_2 x7d a dx=(a)解:两边求导,得:f(x)e/2xD a_2xdx c三、计算题(每小题 7分,共35分)解:I J dx = 3 dx - xdx sin xdx x102. (2x-1)dx1 11解:(2x1)10dx (2x-1)10d(2x-1) (2x-1)101 c2 2 10 + 11 11(2x-1) c221
14、sin3. dxx.1si n_ 1 1 1解: 一dx - - sin d(-) =cos cx x x x2. 欲用围墙围成面积为 216平方米的一成矩形的土地,并在正中用一堵墙将其隔成两块,问这块土地的长和宽选取多大尺寸,才能使所用建筑材料最省?216解:设矩形的长为x米,则矩形的宽为 竺 米,从而所用建筑材料为:x叫=2 -驾,令=0得:x=18 (取正值),这时空=12dx x dx x由于根据实际问题,确实有最小值,故当矩形的长为 18米,宽为12米时,才能使所用建筑材料最省五、证明题(本题 5分)函数f(x) =x-ex在(-:,0)是单调增加的.证明:因为 f (x) = 1
15、-ex,当 x ( - : ,0)时,f (x) = 1 - ex . 0所以函数f(x)二x-ex在(-:,0)是单调增加的.微积分初步形成性考核作业(四)解答 定积分及应用、微分方程一、填空题(每小题 2分,共20分)i 2 21. (sin xcos2x - x )dx = 3n2. J;(x -4x+cosx)dx= 2 .23已知曲线y二f(x)在任意点x处切线的斜率为 x,且曲线过(4,5),则该曲线的方程2x237.&微分方程y = y,y(0)=1的特解为y=ex9 .微分方程y3y=0的通解为y=ce*10 .微分方程(y) ,4xy二y7sinx的阶数为 4 二、单项选择题
16、(每小题 2分,共20分)1.在切线斜率为2x的积分曲线族中,通过点(1,4)的曲线为(A ).2 2A . y = x + 3 B. y = x + 4C.y =x2 2D . y =x2 12 .若10(2x k)dx =2 ,则 k = ( A ).A .1B .-1 C . 0D . 1)3 .下列定积分中积分值为 0的是(A1 - dx-j 21 ex e-j_xdx2(x3 cosx)dx-Tt(x2 sinx)dx4 设f(x)是连续的奇函数,则定积分-af(x)dx =(02 f (x)dx-a0f (x)dx-aa0 f(x)dx5.2sinxdx 二(D).一:1dxxB.
17、二A . yx2 lny = yyC. y xy =e9.微分方程y = 0的通解为(C ).10.下列微分方程中为可分离变量方程的是(A.史二 x y ; B.鱼dx dx更多精品文档dy dyC. xy sin x; D. x(y x)dx dx三、计算题(每小题 7分,共56分)ln 2 -1. e(1 ex) dx解:2.解:3.解:4.解:;1(1 ex)2dxe1 5In xXdxe 1 5In x dx1 xln 2 2 1二 0 (1 ex)2d(1 ex3(13x 3e )In 2亠8o 3193e1(15 In x)d In1x =一5ed (1 5 In x)d(1 5l
18、nx)-(1 5I nx)22xexdxf xexdx =-0xs inxdxoexd11x二 xeiexdx二 e _e= e_(e_1) =1二 x0xsin 2dxx x=2 0 xs in d (?) = 一2 xdx cos-2x=-2(xcos20cos2d(2*4sin2兀=4o5.jxs inxdxJt JT j Tt解: J; xsin xdx = -xd cosx = -(xcosx, -cosxdx)=s i nx(2 =16 求微分方程 ,乂 = x2 T满足初始条件y(1) = 7的特解.x 4解:微分方程的通解为y =e 皿q(x) X)ddx c1 2这里 p(x
19、) , q(x)二 x 1 x将初始条件y(1) =7代入上式,解得c=1411 i所以微分方程的特解为 y ( x4 x2 1)x 4 27.求微分方程 y - = 2xsin2x的通解。 x解:微分方程的通解为y 乂一卩以角q(x)e PgdXdx c1这里 p(x) , q(x) = 2xsin 2xx代入得微分方程的通解为 y =x(-cos2x - c)四、证明题(本题 4分)a a证明等式 f(x)d x= 0【f(x) f(x) d x。a 0 a证明: f (x)dx f(x)dx f (x)dx0考虑积分.f (x)dx,令x = -t,则dx = -dt,从而 0(x)dx
20、 =0 0 a aa f(t)dt =.a f(t)dt = 0 f(t)dt = 0 f(x)dxa 0 a所以 f (x)dx f(x)dx 亠 i f (x)dxa a 0a a a=0 f (-x)dx 0 f(x)dx = Jf(-x) f (x)dx4. xsin 2 xdx1 1xc o 2x s i n2x2 45. xedx解: xedx - - xde = (xe - edx) - -xe。_e。 c四、极值应用题(每小题 12分,共24分)1. 设矩形的周长为120厘米,以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时,才能使圆柱体的体积最大。解:设矩形的一边长为 x厘米,则另一边长为 60-x厘米,以60-x厘米的边为轴旋转一周 得一圆柱体,则体积 V为:V =瞅2(60 -x),即:V =60二x2 -二x3dV 2人dV /曰120”:x -3:x,令 0,得:dx dxx = 0 (不合题意,舍去),x = 40 ,这时60 - x = 20由于根据实际问题,有最大体积,故当矩形的一边长为 40厘米、另一边长为60厘米时, 才能使圆柱体的体积最大。1 1 4丄1 2丄代入得微分方程的通解为 y ( x4 x2 c)x 4 2
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