高考数学一轮复习第三章导数及其应用考点规范练14导数的概念及运算文新人教B版.docx

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高考数学一轮复习第三章导数及其应用考点规范练14导数的概念及运算文新人教B版

2019-2020年高考数学一轮复习第三章导数及其应用考点规范练14导数的概念及运算文新人教B版

1.已知函数f（x）=+1,则的值为（　　）

A.-B.

C.D.0

2.已知曲线y=lnx的切线过原点,则此切线的斜率为（　　）

A.eB.-e

C.D.-

3.已知奇函数y=f（x）在区间（-∞,0]上的解析式为f（x）=x2+x,则切点横坐标为1的切线方程是（　　）

A.x+y+1=0B.x+y-1=0

C.3x-y-1=0D.3x-y+1=0

4.（xx江西上饶模拟）若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为（　　）

A.1B.

C.D.

5.曲线f（x）=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为（　　）

A.（1,3）B.（-1,3）

C.（1,3）和（-1,3）D.（1,-3）

6.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1,2）,则ab等于（　　）

A.-8B.-6

C.-1D.5

7.若函数y=f（x）的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f（x）具有T性质.下列函数中具有T性质的是（　　）

A.y=sinxB.y=lnx

C.y=exD.y=x3

8.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于（　　）

A.-1或-B.-1或

C.-或-D.-或7

9.（xx吉林长春二模）若函数f（x）=,则f'

（2）=　　　　　. 

10.（xx山西太原模拟）函数f（x）=xex的图象在点（1,f

（1））处的切线方程是　　　　　. 

11.曲线y=log2x在点（1,0）处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于　　　　　. 

12.若函数f（x）=x2-ax+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是　　　　　. 

能力提升

13.函数y=f（x）,y=g（x）的导函数的图象如图所示,则y=f（x）,y=g（x）的图象可能是（　　）

14.（xx广州深圳调研）如图,y=f（x）是可导函数,直线l:

y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线,令g（x）=xf（x）,g'（x）是g（x）的导函数,则g'（3）=（　　）

A.-1B.0

C.2D.4

15.设直线l1,l2分别是函数f（x）=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是（　　）

A.（0,1）B.（0,2）

C.（0,+∞）D.（1,+∞）

16.已知f（x）,g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f（x）-g（x）=ex+x2+1,则函数h（x）=2f（x）-g（x）在点（0,h（0））处的切线方程是　. 

高考预测

17.若函数f（x）=lnx-f'

（1）x2+5x-4,则f'=　　　　　. 

参考答案

考点规范练14　导数的概念及运算

1.A　解析=-

=-f'

（1）=-=-.

2.C　解析由题意可得y=lnx的定义域为（0,+∞）,且y'=.

设切点为（x0,lnx0）,则切线方程为y-lnx0=（x-x0）.

因为切线过点（0,0）,所以-lnx0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为.

3.B　解析由函数y=f（x）为奇函数,可得f（x）在[0,+∞）内的解析式为f（x）=-x2+x,故切点为（1,0）.

因为y'=-2x+1,所以y'|x=1=-1,

故切线方程为y=-（x-1）,即x+y-1=0.

4.B　解析因为定义域为（0,+∞）,所以y'=2x-,令2x-=1,解得x=1,则曲线在点P（1,1）处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=.故所求的最小值为.

5.C　解析∵f（x）=x3-x+3,∴f'（x）=3x2-1.

设点P（x,y）,则f'（x）=2,即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,

故P（1,3）或（-1,3）.

经检验,点（1,3）,（-1,3）均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C.

6.A　解析由题意得y=kx+1过点A（1,2）,故2=k+1,即k=1.

∵y'=3x2+a,且直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1,2）,

∴k=3+a,即1=3+a,∴a=-2.

将点A（1,2）代入曲线方程y=x3+ax+b,可解得b=3,

即ab=（-2）3=-8.故选A.

7.A　解析设曲线上两点P（x1,y1）,Q（x2,y2）,

则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f'（x1）,k2=f'（x2）.

若函数具有T性质,则k1·k2=f'（x1）·f'（x2）=-1.

A项,f'（x）=cosx,显然k1·k2=cosx1·cosx2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;

B项,f'（x）=（x>0）,显然k1·k2==-1无解,故该函数不具有性质T;

C项,f'（x）=ex>0,显然k1·k2==-1无解,故该函数不具有性质T;

D项,f'（x）=3x2≥0,显然k1·k2=3×3=-1无解,故该函数不具有性质T.综上,选A.

8.A　解析因为y=x3,所以y'=3x2.

设过点（1,0）的直线与y=x3相切于点（x0,）,

则在该点处的切线斜率为k=3,所以切线方程为y-=3（x-x0）,即y=3x-2.

又点（1,0）在切线上,则x0=0或x0=.

当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切,可得a=-;

当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切,可得a=-1.

9.　解析由f'（x）=,得f'

（2）=.

10.y=2ex-e　解析∵f（x）=xex,∴f

（1）=e,f'（x）=ex+xex,

∴f'

（1）=2e,∴f（x）的图象在点（1,f

（1））处的切线方程为y-e=2e（x-1）,即y=2ex-e.

11.log2e　解析∵y'=,∴k=,

∴切线方程为y=（x-1）,

∴所围三角形的面积为S=×1×log2e.

12.[2,+∞）　解析∵f（x）=x2-ax+lnx,

∴f'（x）=x-a+.

∵f（x）存在垂直于y轴的切线,

∴f'（x）存在零点,∴x+-a=0有解,

∴a=x+≥2（x>0）.

13.D　解析由y=f'（x）的图象知y=f'（x）在（0,+∞）内单调递减,说明函数y=f（x）的切线的斜率在（0,+∞）内也单调递减,故可排除A,C.

又由图象知y=f'（x）与y=g'（x）的图象在x=x0处相交,

说明y=f（x）与y=g（x）的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.

14.B　解析由题图可知曲线y=f（x）在x=3处的切线斜率等于-,即f'（3）=-.又g（x）=xf（x）,g'（x）=f（x）+xf'（x）,g'（3）=f（3）+3f'（3）.由题图可知f（3）=1,所以g'（3）=1+3×=0.

15.A　解析由题意得P1,P2分别位于两段函数的图象上.

设P1（x1,lnx1）,P2（x2,-lnx2）（不妨设x1>1,0

由已知得k1k2=-1,所以x1x2=1.所以x2=.

所以切线l1的方程为y-lnx1=（x-x1）,切线l2的方程为y+lnx2=-（x-x2）,

即y-lnx1=-x1.

分别令x=0得A（0,-1+lnx1）,B（0,1+lnx1）.

又l1与l2的交点为P.

∵x1>1,∴S△PAB=|yA-yB|·|xP|

==1.

∴0

16.x-y+4=0　解析∵f（x）-g（x）=ex+x2+1,且f（x）是偶函数,g（x）是奇函数,

∴f（-x）-g（-x）=f（x）+g（x）=e-x+x2+1.

∴f（x）=,g（x）=.

∴h（x）=2f（x）-g（x）=ex+e-x+2x2+2-

=ex+e-x+2x2+2.

∴h'（x）=ex-e-x+4x,即h'（0）==1.

又h（0）=4,∴切线方程为x-y+4=0.

17.5　解析∵f'（x）=-2f'

（1）x+5,

∴f'

（1）=1-2f'

（1）+5,解得f'

（1）=2,

∴f'=2-2+5=5.

2019-2020年高考数学一轮复习第三章导数及其应用考点规范练15导数与函数的单调性极值最值文新人教A版

1.函数f（x）=（x-3）ex的单调递增区间是（　　）

A.（-∞,2）B.（0,3）

C.（1,4）D.（2,+∞）

2.已知函数f（x）=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,则m+n=（　　）

A.0B.2C.-4D.-2

3.定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数f'（x）,满足f（x）2ex的解集为（　　）

A.（-∞,0）B.（-∞,2）

C.（0,+∞）D.（2,+∞）

4.（xx浙江,7）函数y=f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示,则函数y=f（x）的图象可能是（　　）

5.已知函数f（x）=-x2+4x-3lnx在区间[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是　　　　　　　　　　　　. 

6.若函数g（x）=lnx+ax2+bx,且g（x）的图象在点（1,g

（1））处的切线与x轴平行.

（1）确定a与b的关系;

（2）若a≥0,试讨论函数g（x）的单调性.

7.已知函数f（x）=（a>0）的导函数y=f'（x）的两个零点为-3和0.

（1）求f（x）的单调区间;

（2）若f（x）的极小值为-e3,求f（x）的极大值及f（x）在区间[-5,+∞）内的最大值.

8.（xx安徽马鞍山一模）已知函数f（x）=xex-a（a∈R）.

（1）当a=1时,求函数f（x）的极值;

（2）讨论函数f（x）的单调性.

9.设函数f（x）=（a∈R）.

（1）若f（x）在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线方程;

（2）若f（x）在区间[3,+∞）内为减函数,求a的取值范围.

能力提升

10.已知函数y=f（x）对任意的x∈满足f'（x）cosx+f（x）sinx>0（其中f'（x）是函数f（x）的导函数）,则下列不等式成立的是（　　）

A.

B.

C.f（0）>2f

D.f（0）>

11.设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数,f（-1）=0,当x>0时,xf'（x）-f（x）<0,则使得f（x）>0成立的x的取值范围是　　　　　　　　　　. 

12.（xx福建福州一模）已知函数f（x）=alnx+x2-ax（a∈R）.

（1）若x=3是f（x）的极值点,求f（x）的单调区间;

（2）求g（x）=f（x）-2x在区间[1,e]上的最小值h（a）.

13.已知函数f（x）=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.

（1）求f（x）的单调区间;

（2）若f（x）存在极值点x0,且f（x1）=f（x0）,其中x1≠x0,求证:

x1+2x0=0;

（3）设a>0,函数g（x）=|f（x）|,求证:

g（x）在区间[-1,1]上的最大值不小于.

高考预测

14.已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）.

（1）求函数f（x）的单调区间;

（2）若函数y=f（x）的图象在点（2,f

（2））处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g（x）=x3+x2·在区间（t,3）内总不是单调函数,求m的取值范围.

答案：

1.D　解析:

函数f（x）=（x-3）ex的导数为f'（x）=[（x-3）ex]'=ex+（x-3）ex=（x-2）ex.

由函数导数与函数单调性的关系,得当f'（x）>0时,函数f（x）单调递增,此时由不等式f'（x）=（x-2）ex>0,解得x>2.

2.B　解析:

因为函数f（x）=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,所以m,n为f'（x）=3x2-6x+1=0的两根.

由根与系数的关系可知m+n=-=2.

3.C　解析:

设g（x）=,则g'（x）=.

∵f（x）0,即函数g（x）在定义域内单调递增.

∵f（0）=2,∴g（0）=f（0）=2,

∴不等式f（x）>2ex等价于g（x）>g（0）.

∵函数g（x）在定义域内单调递增.

∴x>0,∴不等式的解集为（0,+∞）,故选C.

4.D　解析:

设导函数y=f'（x）的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<0

所以在区间（-∞,x1）和（x2,x3）内,f'（x）<0,f（x）是减函数,在区间（x1,x2）和（x3,+∞）内,f'（x）>0,f（x）是增函数,所以函数y=f（x）的图象可能为D,故选D.

5.（0,1）∪（2,3）　解析:

由题意知f'（x）=-x+4-=-.

由f'（x）=0得x1=1,x2=3,可知1,3是函数f（x）的两个极值点.

则只要这两个极值点有一个在区间（t,t+1）内,函数f（x）在区间[t,t+1]上就不单调,

由t<1

6.解:

（1）因为g（x）=lnx+ax2+bx,所以g'（x）=+2ax+b,

由题意,得g'

（1）=1+2a+b=0,所以2a+b=-1.

（2）当a=0时,g'（x）=-,

由g'（x）>0解得01,

即函数g（x）在（0,1）内单调递增,在（1,+∞）内单调递减.

当a>0时,令g'（x）=0,得x=1或x=,若<1,即a>,则由g'（x）>0解得x>1或0

若>1,即00解得x>或0

即函数g（x）在（0,1）,内单调递增,在内单调递减;

若=1,即a=,则在（0,+∞）上恒有g'（x）≥0,

即函数g（x）在（0,+∞）内单调递增.

综上可得:

当a=0时,函数g（x）在（0,1）内单调递增,在（1,+∞）内单调递减;

当0

当a=时,函数g（x）在（0,+∞）内单调递增;

当a>时,函数g（x）在内单调递增,在内单调递减,在（1,+∞）内单调递增.

7.解:

（1）因为f（x）=,

所以f'（x）=,

设g（x）=-ax2+（2a-b）x+b-c.

因为a>0,所以由题意知:

当-30,即f'（x）>0;

当x<-3或x>0时,g（x）<0,即f'（x）<0.

所以f（x）的单调递增区间是（-3,0）,单调递减区间是（-∞,-3）,（0,+∞）.

（2）由

（1）知,x=-3是f（x）的极小值点,

故有=-e3.

结合g（0）=b-c=0,g（-3）=-9a-3（2a-b）+b-c=0,解得a=1,b=5,c=5,所以f（x）=.

因为f（x）的单调递增区间是（-3,0）,单调递减区间是（-∞,-3）,（0,+∞）,所以f（0）=5为函数f（x）的极大值,且f（x）在区间[-5,+∞）内的最大值为f（-5）和f（0）中的最大者.

而f（-5）==5e5>5=f（0）,所以函数f（x）在区间[-5,+∞）内的最大值是5e5.

8.解:

（1）当a=1时,f（x）=xex-,f'（x）=ex+xex-（x+1）=（x+1）（ex-1）,

令f'（x）=0,得x=-1或x=0.

x

（-∞,-1）

-1

（-1,0）

0

（0,+∞）

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

↗

↘

↗

当x=-1时,f（x）有极大值f（-1）=;

当x=0时,f（x）有极小值f（0）=0.

（2）f'（x）=ex+xex-a（x+1）=（x+1）（ex-a）,

当a≤0时,ex-a>0,由f'（x）>0得x>-1,即在区间（-1,+∞）内,函数f（x）单调递增;由f'（x）<0得x<-1,即在区间（-∞,-1）内,函数f（x）单调递减.

当a>0时,令f'（x）=0,得x=-1或x=lna.

①当lna=-1,即a=e-1时,无论x>-1或x<-1,均有f'（x）>0,又f'（-1）=0,

即在R上,f'（x）≥0,从而函数f（x）在R上单调递增.

②当lna<-1,即0

由f'（x）=（x+1）（ex-a）>0⇒x>-1或x

由f'（x）=（x+1）（ex-a）<0⇒lna

③当lna>-1,即a>e-1时,

由f'（x）=（x+1）（ex-a）>0⇒x>lna或x<-1时,函数f（x）单调递增;

由f'（x）=（x+1）（ex-a）<0⇒-1

9.解:

（1）对f（x）求导得f'（x）=.

因为f（x）在x=0处取得极值,所以f'（0）=0,即a=0.

当a=0时,f（x）=,f'（x）=,

故f

（1）=,f'

（1）=,

从而f（x）在点（1,f

（1））处的切线方程为y-（x-1）,化简得3x-ey=0.

（2）由

（1）知f'（x）=.

令g（x）=-3x2+（6-a）x+a,

由g（x）=0解得x1=,x2=.

当x

当x10,即f'（x）>0,故f（x）为增函数;

当x>x2时,g（x）<0,即f'（x）<0,故f（x）为减函数.

由f（x）在区间[3,+∞）内为减函数,知x2=≤3,解得a≥-,故a的取值范围为.

10.A　解析:

构造函数g（x）=,

则g'（x）=[f'（x）cosx+f（x）sinx].

∵对任意的x∈满足f'（x）cosx+f（x）sinx>0,

∴g'（x）>0,即函数g（x）在内单调递增.

∴g

∴

11.（-∞,-1）∪（0,1）　解析:

当x>0时,令F（x）=,

则F'（x）=<0,

∴当x>0时,F（x）=为减函数.

∵f（x）为奇函数,且由f（-1）=0,得f

（1）=0,故F

（1）=0.

在区间（0,1）内,F（x）>0;在（1,+∞）内,F（x）<0,

即当00;当x>1时,f（x）<0.

又f（x）为奇函数,∴当x∈（-∞,-1）时,f（x）>0;

当x∈（-1,0）时,f（x）<0.

综上可知,f（x）>0的解集为（-∞,-1）∪（0,1）.

12.解:

（1）f'（x）=+2x-a（x>0）.

∵x=3是函数f（x）的一个极值点,

∴f'（3）=+6-a=0,解得a=9,

∴f'（x）=,

∴当03时,f'（x）>0;

当

∴f（x）的单调递增区间为,（3,+∞）;f（x）的单调递减区间为.

（2）g（x）=alnx+x2-ax-2x,x∈[1,e],g'（x）=.

①当≤1,即a≤2时,g（x）在区间[1,e]上递增,g（x）min=g

（1）=-a-1;

②当1<

故g（x）min=g=aln-a;

③当≥e,即a≥2e时,g（x）在区间[1,e]上递减,

故g（x）min=g（e）=a（1-e）+e（e-2）.

综上,h（a）=

13.

（1）解:

由f（x）=x3-ax-b,可得f'（x）=3x2-a.

下面分两种情况讨论:

①当a≤0时,有f'（x）=3x2-a≥0恒成立.

所以f（x）的单调递增区间为（-∞,+∞）.

②当a>0时,令f'（x）=0,解得x=,或x=-.

当x变化时,f'（x）,f（x）的变化情况如下表:

x

-

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以f（x）的单调递减区间为,单调递增区间为.

（2）证明:

因为f（x）存在极值点,所以由

（1）知a>0,且x0≠0.

由题意,得f'（x0）=3-a=0,即,

进而f（x0）=-ax0-b=-x0-b.

又f（-2x0）=-8+2ax0-b=-x0+2ax0-b=-x0-b=f（x0）,且-2x0≠x0,由题意及

（1）知,存在唯一实数x1满足f（x1）=f（x0）,且x1≠x0,因此x1=-2x0.

所以x1+2x0=0.

（3）证明:

设g（x）在区间[-1,1]上的最大值为M,max{x,y}表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论:

①当a≥3时,-≤-1<1≤,由

（1）知,f（x）在区间[-1,1]上单调递减,所以f（x）在区间[-1,1]上的取值范围为[f

（1）,f（-1）],

因此M=max{|f

（1）|,|f（-1）|}=max{|1-a-b|,|-1+a-b|}=max{|a-1+b|,|a-1-b|}=

所以M=a-1+|b|≥2.

②当≤a<3时,

-≤-1<-<1≤,

由

（1）和

（2）知f（-1）≥f=f,

f

（1）≤f=f,

所以f（x）在区间[-1,1]上的取值范围为,

因此M=max

=max

=max

=+|b|≥.

③当0

（1）和

（2）知f（-1）

（1）>f=f,

所以f（x）在区间[-1,1]上的取值范围为[f（-1）,f

（1）],

因此M=max{|f（-1）|,|f

（1）|}=max{|-1+a-b|,|1-a-b|}=max{|1-a+b|,|1-a-b|}=1-a+|b|>.

综上所述,当a>0时,g（x）在区间[-1,1]上的最大值不小于.

14.解:

（1）函数f（x）的定义域为（0,+∞）,且f'（x）=.

当a>0时,f（x）的递增区间为（0,1）,递减区间为（1,+∞）;

当a<0时,f（x）的递增区间为（1,+∞）,递减区间为（0,1）;

当a=0时,f（x）不是单调函数.

（2）由

（1）及题意得f'

（2）=-=1,即a=-2.

∴f（x）=-2lnx+2x-3,f'（x）=.

∴g（x）=x3+x2-2x,

∴g'（x）=3x2+（m+4）x-2.

∵g（x）在区间（t,3）内总不是单调函数,

∴g'（x）=0在区间（t,3）内有变号零点.

∵g'（0）=-2,∴

∴g'（t）<0,即3t2+（m+4）t-2<0对任意t∈[1,2]恒成立,∵g'（0）<0,∴只需g'

（1）<0且g'

（2）<0,

即m<-5且m<-9,即m<-9;

由g'（3）>0,即m>-.∴-

即实数m的取值范围是.