足球表面正五边形和正六边形的个数.docx

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足球表面正五边形和正六边形的个数

足球表面正五边形和正六边形的个数

四川南充七中杜生高

问题：

足球表面由若干个正五边形和正六边形组成，试求这些正五边形和正六边形的个数。

解答：

简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2，这个公式叫欧拉公式。

设正五边形x个，正六边形y个，则F=x+y，V=5x，E=5x+

，

代入欧拉公式V+F-E=2，得

，

化简得

……①

另一方面，正五边形的边的总数有两种算法。

一是单从正五边形看，这x个正五边形共有5x条边。

二是从正六边形的角度看，每个正六边形有3条边是正五边形的边，y个正六边形有6y条边，其中有

即

是正五边形的边。

所以正五边形的边的总数=6y×

=3y，于是有5x=3y……②，①②联立解得x=12，y=20.即正五边形12个，正六边形20个。

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