5测量不确定度讲义.docx
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5测量不确定度讲义
测量和测量不确定度
（一）不确定度定义：
测量不确定度：
表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。
注：
（1）此参数可以是诸如标准差或其倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度。
（2）测量不确定度由多个分量组成。
其中一些分量可用测量列结果的统计分布估算，并用实验标准差表征。
另一些分量则可用基于经验或其它信息的假定概率分布估算，也可用标准差表征。
（3）测量结果应理解为被测量之值的最佳估计，而所有的不确定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系统效应引起的（如，与修正值和参考测量标准有关的）分量。
（二）测量与测量不确定度
测量给出关于某物的属性，它可以告诉我们某物体有多重、或多长、或多热，即告诉我们量值有多大。
测量总是通过某种仪器或设备来实现的，尺子、秒表、衡器、温度计等都是测量仪器。
被测量的测量结果通常由两部分组成（一个数和一个测量单位），他们构成了量值。
例如：
人体温度37.2℃是量值，人体温度是被测量，37.2是数，℃是单位。
对于比较复杂的测量，通过实际测量获得被测量的测量数据后，通常需要对这些数据进行计算、分析、整理，有时还要将数据归纳成相应的表示式或绘制成表格、曲线等等，亦即要进行数据处理，然后给出测量结果。
检测/校准工作的核心是测量。
测量不确定度是对测量结果存有怀疑的程度。
测量不确定度亦需要用两个数来表示：
一个是测量不确定度的大小，即置信区间的半宽；另一个是对其相信的程度，即置信概率（或称置信水准、置信水平、包含概率），表明测量结果落在该区间有多大把握。
例如：
上述测量人体温度为37.2℃，或加或减0.1℃，置信水准为95％。
则该结果可以表示为37.2℃±0.1℃，置信概率为95％
这个表述是说，我们测量的人体温度处在37.1℃到37.3℃之间，有95％的把握。
当然，还有一些其他不确定度的方式。
这里表述的是最终的扩展不确定度，它是确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望包含于此区间。
2.1合理地赋予：
测量不确定度是测量者合理赋予给测量结果的，因此测量不确定度将或多或少与评定者有关，例如与人的经验、知识范围和认识水平等有关。
定义中的“合理”是指应该考虑各种因素对测量结果的影响，特别是测量应处于统计控制状态下，即处于随机控制过程中。
也就是说测量应在重复性条件或复现性条件下进行。
测量不确定度可以由人们根据实验、资料、经验等信息进行评定的，不是测量仪器固有的，根据评定人员的水平进行评定，评定出来的测量不确定度是大好，还是小好，不一定，重要的是合理。
2.2测量不确定度是与测量结果相联系的参数
根据定义，测量不确定度是与测量结果相联系的参数，意指测量不确定度是一个与测量结果“在一起”的参数，在测量结果的完整表述中应该包括测量不确定度。
既然不确定度是与测量结果相联系的参数，因此一般不用它来表示测量仪器的特性，只有用仪器得到的测量结果才具有不确定度。
测量仪器的特性可以用示值误差或最大允许误差等术语来描述，一般不宜说“测量仪器的不确定度”或“计量标准的不确定度”。
可以将测量仪器或计量标准的不确定度，理解为由他们所提供的或复现的量值的不确定度。
对于经过校准并已知其示值误差的测量仪器，有时也简单地将其示值误差的不确定度称为测量仪器的不确定度。
1测量不确定度用以表明测量结果的质量：
质量愈高，不确定度愈小，测量结果的使用价值愈高；质量愈差，不确定度愈大，使用价值愈低。
不知道不确定度的测量结果，实际上不具备完整的使用价值。
②对单一参数的计量仪器或标准物质因为在给出测量数据时同时给出测量不确定度是合适的。
因为在这种情况下，我们非常明确，该测量不确定度就是给出参数的测量不确定度。
③如果用测量不确定度用来表示一个机构对某一仪器或参数的校准能力；因为在这种情况下，针对的是具体的被校仪器的参数，并用最佳测量能力的定义对其进行了约束，此参数一般应该用范围来表示
④测量仪器的特性评定指标不适用测量不确定度，因为测量不确定度是与测量数据相联系的参数，用不同的标准器来检定被评定仪器，根据测量不确定度的评定方法，被评定仪器的同一示值会有不同的测量不确定度，无法表示该仪器的特性。
2.3标准差
标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，通常用SD来表示。
简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。
一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。
例如，两组数{0,5,9,14}和{5,6,8,9}其平均值都是7，但第二组数具有较小的标准差。
标准差可以当作不确定度的一种表示，表示的就是样本数据的离散程度。
标准差越小，表明数据越聚集；标准差越大，表明数据越离散。
标准差的计算一般用贝塞尔公式：
实验标准[偏]差：
对同一被测量作n次测量，表征测量结果分散性的量s可按下式算出：
式中：
xi为第i次测量的结果；
为所考虑的n次测量结果的算术平均值。
注：
1．当将n个值视作分布的取样时，
为该分布的期望的无偏差估计，s2为该分布的方差σ2的无偏差估计。
2．
为
分布的标准偏差的估计，称为平均值的实验标准偏差。
3．将平均值的实验标准偏差称为平均值的标准误差是不正确的。
2.4分散性
一个样本，经过多次测量，会获得一个平均值，其测量结果应该分布在平均值周围，因此，分散性是评价测量结果不确定度的重要的指标之一。
测量不确定度表示被测量之值的分散性，因此不确定度表示一个区间，即测量结果所分布的区间。
2.5概率：
概率是某一个随机事件在试验中出现的可能性或可信程度大小的一个度量。
由于测量的不完善或人们对被测量及其影响量的认识不足，由测量所得的测量结果是以一定概率落在某个区间内的，我们用声（n≤x≤6）表示测量值落在区间可以简写为p。
概率分布通常用概率密度函数随随机变量变化的曲线来表示
2.6置信水准的区间：
置信水准也称为可靠度，或置信度、置信系数，即在抽样对总体参数作出估计时，由于样本的随机性，其结论总是不确定的。
置信水准是指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率；而置信区间是指在某一置信水平下，样本统计值与总体参数值间误差范围。
置信区间越大，置信水准越高。
2.7分布：
分布是某一值在一定的范围内的散布，如：
人口分布，商业网点的分布。
分布函数是描述随机变量的统计规律的函数。
我们通过分布函数来分析、研究随机变量。
若已知X的分布函数，就可以知道X落在任一区间（x1,x2]上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。
2.8常用的分布：
①．正态分布
正态分布曲线如图所示，具有以下特征：
①单峰：
概率分布曲线在均值μ处具有一个极大值；
②对称分布：
正态分布以x=μ为其对称轴，分布曲线在均值μ的两侧是对称的；
③当x→∞。
时，概率分布曲线以x轴为渐近线；
④概率分布曲线在离均值等距离（即x=μ±σ）处两边各有一个拐点；
⑤分布曲线与x轴所围面积为1，即各样本值出现概率的总和为1；
⑥μ为位置参数，σ为形状参数。
正态分布时的概率与置信因子的关系
根据概率论可以计算得到测量值x落在[μ-kσ，μ+kσ]区间内的置信概率，在概率论中称为置信因子，[μ-kσ，μ+kσ]称为置信区间，kσ为区间的半宽度。
正态分布时置信概率与置信因子k的关系
置信概率p
0.5
0.6827
0.9
0.95
0.9545
0.99
0.9973
置信因子k
0.675
1
1.645
1.96
2
2.576
3
②.均匀分布
均匀分布为等概率分布，又称矩形分布，即测量值在区间内的各处出现的可能性或可信度相同，当对称分布时，可表示矩形分布。
如图所示。
③.三角分布
三角分布呈三角形，如图所示。
④.梯形分布
梯形分布的形状为梯形，如图所示。
⑤.反正弦分布
反正弦分布如图所示，
⑥.T分布
t分布又称学生分布，分布如图所示，
几种非正态分布的标准偏差与置信因子的关系
几种非正态分布的标准偏差与置信因子的关系如下表：
对应几种非正态分布其包含因子为：
（p＝100％）
分布
三角
梯形
均匀
反正弦
k
其中
为上下底边之比
（三）误差
3.1定义：
[测量]误差：
测量结果减去被测量的真值。
注：
1．由于真值不能确定，实际上用的是约定真值。
2．当有必要与相对误差相构别时，此术语有时称为测量的绝对误差。
注意不要与误差的绝对值相混淆，后者为误差的模。
①相对误差：
测量误差除以被测量的真值。
注：
由于真值不能确定，实际上用的是约定真值。
②随机误差：
测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。
注：
1．随机误差等于误差减去系统误差。
2．因为测量只能进行有限次数，故可能确定的只是随机误差的估计值。
③系统误差：
在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。
注：
1．如真值一样，系统误差及其原因不能完全获知。
2．对测量仪器而言，参见“偏移”（7.25）。
④修正值：
用代数方法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值
注：
1．修正值等于负的系统误差。
2．由于系统误差不能完全获知，因此这种补偿并不完全。
⑤修正因子：
为补偿系统误差而与未修正测量结果相乘的数字因子。
注：
由于系统误差不能完全获知，因此这种补偿并不完全。
3.2系统误差与随机误差
误差按其性质，可以分为随机误差和系统误差两类。
随机误差是“测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值（总体均值）之差”。
而系统误差是“在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值（总体均值）与被测量的真值之差”。
由于它们都是对应于无限多次测量的理想概念，而实际上只能用有限次测量的结果作为无限多次测量结果的估计值，因此可以确定的只是它们的估计值。
误差经常用于已知约定真值的情况，例如经常用示值误差来表示测量仪器的特性。
由误差、随机误差和系统误差的定义可知：
误差＝测量结果一真值
＝测量结果一总体均值＋总体均值一真值
＝随机误差＋系统误差
测量结果＝真值＋误差＝真值＋随机误差＋系统误差
图3.1示意了测量结果的随机误差、系统误差和误差之间的关系。
由图可知，误差等于随机误差和系统误差的代数和。
而且，由于误差是一个差值，因此任何误差的合成都应采用代数相加的方法。
过去在对随机误差进行合成时，通常都采用方和根法。
前后的区别在于随机误差定义的改变。
图3.1测量误差示意图
随机误差大抵来源于影响量的变化，这种变化在时间和空间上是不可预知的或随机的，它会引起被测量重复观测值的变化，故称为“随机效应”。
可以认为正是这种随机效应导致了重复观测值中的分散性，我们用统计方法得到的实验标准差是分散的，确切地说是来源于测量过程的随机效应，而并非来源于测量结果中的随机误差分量。
1993年前，随机误差被定义为“在同一量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差分量”。
其大小用多次重复测量结果的实验标准差表示，因此当时随机误差是用一个“区间”来表示的。
1993年国际上对“随机误差”一词的定义作了原则性修改，随机误差表示测量结果与无限多次测量所得结果的平均值（即总体均值或期望值）之差，因此随机误差已不再表示区间，而是表示“差值”，并且测量结果是真值、系统误差和随机误差三者的代数和。
系统误差大抵来源于影响量，它对测量结果的影响若可识别并可定量表述，则称之为“系统效应”。
该效应的大小若是显著的，则可通过估计的修正值予以补偿。
例如：
高阻抗电阻器的电位差（被测量）是用电压表测量的，为减少电压表负载效应给测量结果带来的“系统效应”，应对该表的有限阻抗进行修正。
但是，用以估计修正值的电压表阻抗与电阻器阻抗（它们均由其他测量获得），本身就是不确定的。
这些不确定度可用于评定电位差的测量不确定度分量，他们来源于修正，从而来源于电压表有限阻抗的系统效应。
另外，为了尽可能消除系统误差，测量仪器须经常地用计量标准或标准物质进行调整或校准；但是同时须考虑的是：
这些标准自身仍带有不确定度。
过去人们常常会误用“误差”这一术语，例如通过误差分析给出的结果往往是被测量值不能确定的范围，而不是真正的误差值。
按定义，误差与测量结果有关，即不同的测量结果有不同的误差。
合理赋予被测量的值各有其误差而并不存在一个共同的误差。
必须区分误差和粗差。
粗差往往是由测量过程中不可重复的突发事件引起的，造成测量结果中的异常值。
显然，它们不可能被定量地描述，也不能成为测量不确定度的一个分量。
在计算测量结果和进行测量不确定度评定之前必须按一定规则将粗差或异常值剔除。
（四）测量部确定度与误差的区别
注意区别不确定度和误差，误差是仪器固有的，误差是一个具体的数值（有±号，或者为0），不是我们通常所说的由于测量不准确产生的差值，具体见误差的定义：
4.1测量结果：
由测量所得到的赋予被测量的值。
注：
1．在给出测量结果时，应说明它是示值、未修正测量结果或已修正测量结果，还应表明它是否为几个值的平均。
2．在测量结果的完整表述中应包括测量不确定度，必要时还应说明有关影响
量的取值范围。
表4.1测量误差与不确定度的主要区别
序号
内容
测量误差
测量不确定度
1
定义
表明测量结果偏离真值，是一个确定的值。
表明被测量之值的分散性，是一个区间。
用标准偏差，标准偏差的倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度来表示。
2
分类
按出现于测量结果中的规律，分为随机误差和系统误差，它们都是无限多次测量的理想概念。
按是否用统计方法求得，分为A类评定和B类评定。
它们都以标准不确定度表示。
在评定测量不确定度时，一般不必区分其性质。
若需要区分时，应表述为“由随机效应引入的测量不确定度分量”和“由系统效应引入的不确定度分量”。
3
可操作性
由于真值未知，往往不能得到测量误差的值。
当用约定直位代替美值时，可以得到测量误差的估计值。
测量不确定度可以由人们根据实验、资料、经验等信息进行评定，从而可以定量确定测量不确定度的值。
4
数值符号
非正即负（或零），不能用正负（±）号表示。
是一个无符号的参数，恒取正值。
当由方差求得时，取其正平方根。
5
合成方法
各误差分量的代数和。
当各分量彼此独立时用方和根法合成，否则应考虑加入相关项。
6
结果修正
己知系统误差的估计值时，可以对测量结果进行修正，得到已修正的测量结果。
不能用测量不确定度对测量结果进行修正。
对已修正测量结果进行不确定度评定时，应考虑修正不完善引入的不确定度分量。
7
结果说明
误差是客观存在的，不以人的认识程度而转移。
误差属于给定的测量结果，相同的测量结果具有相同的误差，而与得到该测量结果的测量仪器和测量方法无关。
测量不确定度与人们对被测量、影响量、以及测量过程的认识有关。
合理赋予被测量的任一个值，均具有相同的测量不确定度。
（五）测量不确定度的表示
5.1标准不确定度：
以标准偏差表示的测量不确定度。
当测量不确定度用标准差σ表示时，称为标准不确定度，用小写斜体英文字母u表示。
由于标准差所对应的置信水准通常还不够高，在正态分布情况下仅为68.27％，因此还规定可以用标准差的倍数kσ来表示。
这种不确定度称为扩展不确定度。
5.2不确定度的A类估算和B类估算
由于测量结果会受多个因素影响，因此不确定度通常由多个分量组成。
对于每一个分量都要评定其标准不确定度，评定方法分为A、B两类。
A类评定是指用对观测列进行统计分析的方法进行的评定，其标准不确定度用实验标准差表征。
所有与A类不同的其他评定方法均称为B类评定，可根据经验或其它信息的假定概率分布估算其不确定度，也可用标准差表征
无论A类还是B类评定，他们的标准不确定度均以标准差表示，因此这两种评定方法得到的不确定度并无实质上的区别，只是评定方法不同而已。
在对各分量合成时，两者的合成方法也相同。
因此，过分认真地区分每一分量究竟属于A类还是B类评定,其实是没有必要的。
①不确定度的A类估算：
通过对观测列进行统计分析，对标准不确定度进行估算的一种方法。
注：
不确定度的A类估算，有时也称A类不确定度估算。
（计算方法见4.4标准差）
②不确定度的B类估算：
通过对观测列进行非统计分析，对标准不确定度进行估算的一种方法。
注：
不确定度的B类估算有时也称B类不确定度估算。
5.3合成标准不确定度：
各种标准不确定度分量的合成，称为合成标准不确定度，以符号uc表示，它是测量结果的标准差的估计值。
当测量结果是由若干个其他量的值求得时，按其他各量的方差或（和）协方差算得的标准不确定度。
5.4扩展不确定度：
用标准差的倍数kσ来表示。
这种不确定度称为扩展不确定度，用大写斜体英文字母U表示。
于是可得标准不确定度和扩展不确定度之间的关系：
U＝kσ＝ku
式中，k称为包含因子。
确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。
注：
扩展不确定度有时也称展伸不确定度或范围不确定度。
5.5包含因子：
为求得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘之数字因子。
注：
1．包含因子等于扩展不确定度与合成标准不确定度之比。
2．包含因子有时也称覆盖因子。
5.6扩展不确定度两种表示方法
5.6.1扩展不确定度U
在不确定度分量较多而且其大小也比较接近时，可以估计为正态分布，（当无法确定概率分布时，可估计为正态分布。
）当选择约95％的包含概率时，包含因子可取k＝2。
为与其他实验室的数据具有可比性，一般情况下采用此种方法表示测量不确定度。
5.6.2扩展不确定度Up
①如果合成不确定度中A类分量占的比重较大，如而且作A类评估时重复测量次数n较少，则包含因子k必须查t分布表获得。
扩展不确定度应该用Up表示。
当规定的置信概率p分别为95%和99%时，扩展不确定度分别用U95和U99表示。
②如果可以确定合成不确定度包含的分量中较多分量或占支配地位的分量的概率分布不是正态分布（如矩形分布、三角分布），则合成不确定度的概率分布就不能估计为正态分布，而是接近于其他分布，应根据其分布查找概率约为95%下的k值。
③在给出扩展不确定度Up的同时，应注明所取包含因子kp的数值，以及被测量的分布类型。
必要时，还应给出其有效自由度νeff。
5.7相对扩展不确定度
不确定度可以有绝对和相对两种形式。
绝对不确定度与被测量有相同的量纲，相对不确定度的量纲为1或称为无量纲。
被测量x的标准不确定度u（x）及其相对标准不确定度urel（x）之间的关系为：
（六）测量不确定度信息来源（资料）的应用
6.1若资料（如校准证书）给出了xi的扩展不确定度U（xi）和包含因子k，则xi的标准不确定度为
这里有几种可能的情况：
----若资料只给出了U没有具体指明k，则可以认为k=2对应约95%的置信概率。
----若资料只给出了UP（xi）（其中p为置信概率），则包含因子kP与xi的分布有关，此时除非另有说明一般按照正态分布考虑，对应p＝0.95，k可以查t分布表得到，即kP＝1.960
-----若资料给出了UP及
，则kP可查t分布表得到，即kP＝
6.2若由资料查得或判断xi的可能值分布区间半宽度为a。
此时k与xi在此区间内的概率分布有关。
通常按级使用的数字式仪表、测量仪器最大允许误差导致的不确定度带来的B类不确定度分量，则匀分布的置信因子k=
。
（七）测量不确定度的计算
7.1简述测量原理和方法
简述测量原理和测量方法，有必要时还应画出测量系统原理或测量方法的方框图和测量流程图。
7.2测量的数学模型
6.2.1即被测量与各输入量之间的函数关系。
若Y的测量结果为
，输入量Xi的估计值为Xi则
Y=f（X1、、、X2、…、XN）
7.2.2在建立模型时要注意有一些潜在的不确定度来源不能明显地呈现在上述函数关系中，它们对测量结果本身有影响，但由于缺乏必要的信息无法写出它们与被测量的函数关系，因此在具体测量时无法定量地计算出它对测量结果影响的大小，在计算公式中只能将其忽略而作为不确定度处理。
7.2.3此外，对检测和校准实验室有些特殊不确定度来源，如取样、预处理、方法偏离测试条件的变化以及样品类型的改变等也应考虑在模型中。
7.3测量不确定度来源分析
7.3.1对检测和校准结果测量不确定度来源的识别应从分析测量过程入手，即对测量方法、测量系统和测量程序作详细研究。
7.3.2检测和校准结果不确定度可能来自：
----对被测量的定义不完善；
----实现被测量的定义的方法不理想；
----取样的代表性不够，即被测量的样本不能代表所定义的被测量；
----对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善；
----对模拟仪器的读数存在人为偏移；
----测量仪器的分辨力或鉴别力不够；
----赋予计量标准的值或标准物质的值不准；
----引用于数据计算的常量和其它参量不准；
----测量方法和测量程序的近似性和假定性；
----在表面上看来完全相同的条件下，被测量重复观测值的变化。
7.3.3有些不确定度来源可能无法从上述分析中发现，只能通过实验室间比对或采用不同的测量程序才能识别。
7.3.4在识别不确定度来源后，对不确定度各个分量作一个预估算是必要的，对那些比最大分量的三分之一还小的分量不必仔细评估（除非这种分量数目较多）通常只需对其估计一个上限即可。
7.3.5重点应放在识别并仔细评估那些重要的分量特别是占支配地位的分量上，对难于写出上述数学模型的检测量，对各个分量作预估算更为重要。
7.4测量不确定度分量的计算
7.4.1A类评定――对观测列进行统计分析所作的评定
a）对输入量Xi进行n次独立的等精度测量得到的测量结果为
X1X2……Xn
单次测量结果的实验标准差为
u（xi）=s（xi）=
观测列平均值即估计值的标准不确定度为
u（
）=s（
）=
b）测量不确定度的A类评定一般是预先评定的（分校准测量能力的评定/日常开展检测和校准的测试系统和具有代表性的样品的评定）。
C）这时如提供用户的测量结果是单次测量获得的，A类分量可用预先评定获得的u（xi），如提供用户的是两次或三次或n次测得值的平均值，
A类分量可用u（
）=s（
）=
获得
其中m分别取m=2,m=3和m=n
7.4.2B类评定――当输入量的估计量Xi不是由重复观测得到时，其标准偏差可用对Xi的有关信息或资料来评估。
B类评定的信息来源可来自：
----校准证书、检定证书；
----生产厂的说明书；
----检测依据的标准；
----引用手册的参考数据；
----以前测量的数据；
----相关材料特性的知识等
7.4.2.1若资料（如校准证书）给出了xi的扩展不确定度U（xi）和包含因子k则xi的标准不确定度为.
这里有几种可能的情况：
a）若资料只给出了U没有具体指明k，则可以认为k=2对应约95%的置信概率
b）若资料只给出了UP（xi）（其中p为置信概率），则包含因子kP与xi的分布有关，此时除非另有说明一般按照
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