∴CE与D1F必相交，
设交点为P，
则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点．
思维升华 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．
如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝
AD，BE∥AF且BE＝
AF，G、H分别为FA、FD的中点．
（1）证明：
四边形BCHG是平行四边形；
（2）C、D、F、E四点是否共面？
为什么？
（1）证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綊
AD.
又BC綊
AD，∴GH綊BC.
∴四边形BCHG为平行四边形．
（2）解 ∵BE綊
AF，G是FA的中点，∴BE綊FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由
（1）知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．
题型二 判断空间两直线的位置关系
例2
（1）
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是（ ）
A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
（2）在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．（填上所有正确答案的序号）
思维点拨
（1）连接B1C，B1D1，则点M点是B1C的中点，证明MN∥B1D1；
（2）先判断直线GH、MN是否共面，若不共面，再利用异面直线的判定定理判定．
答案
（1）D
（2）②④
解析
（1）连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，
∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，
∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.
又∵A1B1与B1D1相交，
∴MN与A1B1不平行，故选D.
（2）图①中，直线GH∥MN；
图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，
因此直线GH与MN异面；
图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；
图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，
因此GH与MN异面．
所以图②④中GH与MN异面．
思维升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形（梯形）中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．
如图，已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：
AD与BC是异面直线．
证明 方法一 （反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内，
∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，
∴AD和BC是异面直线．
方法二 （直接证法）∵a∩c＝P，∴它们确定一个平面，
设为α，由已知C∉平面α，B∈平面α，BC⊄平面α，AD⊂平面α，B∉AD，
∴AD和BC是异面直线．
题型三 求两条异面直线所成的角
例3 空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
思维点拨 取AC中点，利用三角形中位线的性质作出所求角．
解 取AC的中点G，连接EG、FG，
则EG綊
AB，FG綊
CD，
由AB＝CD知EG＝FG，
∴∠GEF（或它的补角）为EF与AB所成的角，∠EGF（或它的补角）为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°.
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.
故EF与AB所成的角为15°或75°.
思维升华
（1）求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：
利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移．
（2）求异面直线所成的角的三步曲：
即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．
（1）（2014·大纲全国）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
（2）直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
答案
（1）B
（2）C
解析
（1）画出正四面体ABCD的直观图，如图所示．
设其棱长为2，取AD的中点F，连接EF，
设EF的中点为O，连接CO，
则EF∥BD，
则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角．
△ABC为等边三角形，则CE⊥AB，
易得CE＝
，
同理可得CF＝
，
故CE＝CF.
因为OE＝OF，所以CO⊥EF.
又EO＝
EF＝
BD＝
，
所以cos∠FEC＝
＝
＝
.
（2）如图，可补成一个正方体，
∴AC1∥BD1.
∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.
又易知△A1BD1为正三角形，
∴∠A1BD1＝60°.
即BA1与AC1成60°的角．
构造模型判断空间线面位置关系
典例：
已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.
其中所有正确的命题是（ ）
A．①④B．②④C．①D．④
思维点拨 构造一个长方体模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判断它们的位置关系．
解析 借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图
（1）所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图
（2）所示；对于③，平面α、β可能垂直，如图（3）所示；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图（4）所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n.
答案 A
温馨提醒
（1）构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误；
（2）对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．
方法与技巧
1．主要题型的解题方法
（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）．
（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．
2．判定空间两条直线是异面直线的方法
（1）判定定理：
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
（2）反证法：
证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上（线面的端点或中点）利用三角形求解．
失误与防范
1．正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．
2．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．
3．两条异面直线所成角的范围是（0°，90°].
A组 专项基础训练
（时间：
45分钟）
1．（2013·安徽）在下列命题中，不是公理的是（ ）
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
答案 A
解析 选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．
2．（2014·辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
答案 B
解析 方法一 若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；
若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；
若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；
若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．
方法二
如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.
A项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，n∥α，但m与n是相交直线，故A错．
B项中，m⊥α，n⊂α，
满足m⊥n，这是线面垂直的性质，故B正确．
C项中，若m为AA′，n为AB，
满足m⊥α，m⊥n，但n⊂α，故C错．
D项中，若m为A′B′，n为B′C′，
满足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D错．
3．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，
和a，且长为a的棱与长为
的棱异面，则a的取值范围是（ ）
A．（0，
）B．（0，
）C．（1，
）D．（1，
）
答案 A
解析 此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于
.故选A.
4．四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为
，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 因为四边形ABCD为正方形，故CD∥AB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角，即为∠PAB.
在△PAB内，PB＝PA＝
，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝
＝
＝
，故选B.
5．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）
①P∈a，P∈α⇒a⊂α；
②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；
③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；
④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.
A．①②B．②③C．①④D．③④
答案 D
解析
当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；
a∩β＝P时，②错；
如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，
∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．
6．如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a与c，b与c的位置关系是________．
答案 a∥b∥c
解析 ∵a∥b，a⊂α，b⊄α，∴b∥α.
又∵b⊂β，α∩β＝c，∴b∥c.
∴a∥b∥c.
7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝________.
答案 8
解析 取CD的中点H，连接EH，HF.在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.
8．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．
答案 24
解析 正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B，BC′，A′D，C′D，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有
＝24（对）．
9．如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于点H.
（1）求AH∶HD；
（2）求证：
EH、FG、BD三线共点．
（1）解 ∵
＝
＝2，∴EF∥AC，
∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH，
平面EFGH∩平面ACD＝GH，
∴EF∥GH，∴AC∥GH.
∴
＝
＝3.
∴AH∶HD＝3∶1.
（2）证明 ∵EF∥GH，且
＝
，
＝
，
∴EF≠GH，∴EFGH为梯形．
令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，
又P∈FG，FG⊂平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴P∈BD.
∴EH、FG、BD三线共点．
10．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
（1）求四棱锥O－ABCD的体积；
（2）求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小．
解
（1）由已知可求得，正方形ABCD的面积S＝4，
所以，四棱锥O－ABCD的体积V＝
×4×2＝
.
（2）连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，
则∠EMD为异面直线OC与MD所成的角（或其补角），
由已知，可得DE＝
，EM＝
，MD＝
，
∵（
）2＋（
）2＝（
）2，
∴△DEM为直角三角形，
∴tan∠EMD＝
＝
＝
.
B组 专项能力提升
（时间：
30分钟）
11．以下四个命题中，
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案 B
解析 ①中显然是正确的；②中若A、B、C三点共线，则A、B、C、D、E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．
12．如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
答案 ②③④
解析 还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.
13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．
答案
解析 如图，连接DF，
则AE∥DF，
∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．
设正方体棱长为a，则D1D＝a，DF＝
a，D1F＝
a，
∴cos∠D1FD＝
＝
.
14．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：
D1、H、O三点共线．
证明 连接BD，B1D1，
则BD∩AC＝O，
∵BB1綊DD1，
∴四边形BB1D1D为平行四边形，
又H∈B1D，
B1D⊂平面BB1D1D，
则H∈平面BB1D1D，
∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.
即D1、H、O三点共线．
15．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝
，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
解 取AC的中点F，连接EF，BF，
在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，
∴EF∥CD.
∴∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角．
在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝
AD＝
，
∴BE＝
.
在Rt△EAF中，AF＝
AC＝
，AE＝
，
∴EF＝
.
在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝
，∴BF＝
.
在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝
＝
＝
.
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为
.
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