数理金融初步.docx

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数理金融初步

（1章）6从52张扑克随机抽出两张牌。

如果已知两张的花色不同，则他们都是A的条件概率是多少？

解：

设第一次取出A的事件为A1，第二次取出不同花色A的事件为A2,则p（A1A2）=P（A1）p（A2/A1）

因为p（A1）=4/52=1/13p（A2/A1）=3/52-13=3/39=1/13,所以p（A1A2）=1/169

7若A,B独立，证明下列事件也独立：

a）A和B^cb）A^c和B^c

证明：

a）因为p（B）+p（B^c）=1,p（B/A）+P（B^c/A）=1,所以p（B^cA）=p（A）xp（B^c/A）=p（A）[1-p（B/A）]=p（A）

-p（A）p（B）=p（A）[1-p（B）]=p（A）p（B^c）,所以A和B^c独立

b）p（A^c）p（B^c）=p（B^c）p（A^c/B^c）=p（B^c）[1-p（A/B^c）=p（B^c）-p（B^c）p（A/B^c）=p（B^c）-p（A^cB^

c）=p（B^c）-p（A）P（B^c）=p（B^c）[1-p（A）]=p（B^c）p（A^c）,所以A^c和B^c独立。

9四辆公共汽车载着152位学生从同一学校出发去足球场。

四辆车分别载乘39,33,46,34位学生。

如果

从152位学生中任意选取一位，记X为被选中的学生所乘坐的汽车里的学生数。

四辆公共汽车的司机也随机选取一位，令Y为那位司机驾驶的汽车里的乘坐学生人数。

a）你认为E（X）和E（Y）哪一个大？

b）求出E（X）和E（Y）

解：

a）E（X）大。

b）由题意知X可取39,33,46,34。

Y可取39,33,46,34。

所以X=39,p（x）=39/152,x=33,p（x）=33/152,x=46,p（x）=46/152,x=34,p（x）=34/152,同理p（Y=39）=1/4

P（Y=33）=1/4,P（Y=46）=1/4,P（Y=34）=1/4,

所以E（X）=39x39/152+33x33/152+46x46/152+34x34/152=5882/152=38.697

E（Y）=39x1/4+33x1/4+46x1/4+34x1/4=38

10两位选手比赛兵兵球，当一个选手赢了两局时比赛结束。

设每位选手赢每一局概率相等，且每一局的结果都是独立的。

求比赛总局数的期望值和方差。

解：

设x为比赛的总局数，则x可取2,3，则p（x=2）=1/2x1/2x2=1/2,p（x=）=1/2x1/2+1/2x1/2=1/2

E（X）=2x1/2+3x1/2=5/2,x^2=4,9,p（x^2=4）=1/2,p（x^2=9）=1/2,E（x^2）=4x1/2+9x1/2=13/2

所以var（x）=E（x^2）-[E（x）]^2=13/2-（5/2）^2=1/4.

11.证明

证明：

12一位律师要决定收取固定费用5000美元，还是收取胜诉酬金25000美元（输掉则一无所获）。

他估计打赢的概率为0.3，求他收取的费用的均值和方差，如果a）收取固定费用b）收取胜诉酬金费用。

x）]^2=0,所以s=0.b）由题意知x=0,25000,则p（x=0）=1-0.3=0.7,p（x=25000）=0.3,E（x）=0.7x0+

S=根号下var（x）=11456.439

14.证明：

证明：

18设任意给定的时间内，某股票价格只能等概率的增加1或减少1，且不同时期股票变化是独立的。

记X为股票在第一时间段内增加1或减少1的数量，Y为前三段时间内累计上升的数量，求X,Y相关性。

解：

E（X）=0,E（X^2）=1,var（x）=E（X^2）-[E（X）]^2=1

E（Y）=0,E（Y^2）=3,var（y）=E（Y^2）-[E（Y）]^2=3

E（XY）=1,Cov（X,Y）=E（X,Y）-E（X）E（Y）=1,

所以X,Y呈正相关。

（2章）4设x为正态随机变量，均值为u，方差为&^2,y=a+bx,如果y和x服从相同的分布，求a和b的值（a不等于0），并求出Cov（x,y）.

解：

因为E（X）=u,var（x）=&^2,y=a+bx,所以E（Y）=a+bu,var（y）=b^2u^2,又因为x和y服从相同的分布，所以a+bu=u,&^2=b^2&^2,因为a不等于0，所以b=-1,a=2u,即y=2u-x,

Cov（x,y）=cov（x,a+bx）=cov（x,a）+bCov（x,x）=-&^2.

5成年男子的血液收缩压服从均值为127.7，标准差为19.2的正态分布，求：

a）68%的成年男子血液收缩压的取值范围。

b）95%的成年男子血液收缩压的取值范围。

c）99.9%成年男子血液收缩压的取值范围。

解：

a）设陈年男子血液收缩压为X,E为对应的正态随机变量，即E=（X-127）/19.2

u=127.7,&=19.2,所以|&|<=19=0.682,所以-1<=（E-127.7）/19.2<=1,即108.5<=E,所以取值范围为

[108.5,146.9]

b）由表可得p{|E|<=2}=0.9544,即-2<=（E-127.7）/19.2<=2,89.3<=E<=166.1,所以取值范围[89.3,166.1]

c）p{|E|<=3}=0.9974,即-3<=（E-127.7）/19.2<=3,解得70.1<=E<=185.3,所以取值范围[70.1,185.3].

第4章

1若10%的名义利率分别为：

a）半年计息一次的复利b）每季度计息一次的复利c）连续复利

其对应的有效利率分别是多少？

解：

a）reff=（1+r/2）^2-1=10.25%b）reff=（1+r/4）^4-1=10.38%c）e^r-1=10.52

2将钱存入银行，银行支付的名义利率为10%。

如果利率是连续复利利率，多久存入的钱是原来的两倍？

解：

pe^rt=2pe^10%t=2t=6.93需要7年才能变为原来的两倍

3如果利率为5%,每年计息一次，那么大约要多少年才能使你的钱变为原来的4倍？

如果利率变为4%又要多少年？

解：

p（1+r）^n=4p当r=5%时，（1+0.05）^n=4,n=28.41。

当然r=4%，（1+0.04）^n=4,n=35.35

4如果利率为年复利利率r,请给出一个公式，用它来估计多少年使你的钱变为原来的3倍。

解：

由limp（1+r/n）^nt=pe^rtpe^rt=3p,e^rt=3t=lin3/r

5假设年名义利率固定在6%，每月计息一次。

在未来60个月中，每月需要投资多少钱，才能在60个月后得到100000美元？

解：

p[（1+r/12）+（1+r/12）^2+…+（1+r/12）^60]=100000pX1+r/12[1-（1+r/12）^60]/1-（1+r/12）=100000

pX1.005（1-1.35）/-0.05=100000p=100000/70.37=1421.46,所以每月需要投资1421.46美元。

6一个投资的年现金流：

-1000，-1200,800,900,800.年利率为6%。

对于一个既可以借款也可以存款的的人，这是否是一个值得的投资？

解：

现值=-1000+-1200/（1+60%）+800/（1+60%）^2+900/（1+60%）^3+800/（1+60%）^4

=-1000+（-1132.08）+712+755.66+633.67=-30.75<0,所以不值得投资。

8一个五年期、面值为10000美元、具有10%票息率的债权，价值为10000美元。

在今后五年中，每六个月支付给持有者500美元，并且将在这十次支付末再支付本金10000美元。

如果每月计息一次的利率为：

a）6%b）10%c）12%求出其现值。

解：

（1）当r=6%时，B=1/（1+0.6）=0.94pv（a）=500x（0.94）^6+500x（0.94）^12+500x（0.94）^18+…+500x（0.94）^60+500x（0.94）^100=1085+244=1329

（2）当r=10%时，B=1/（1+0.1）=0.91PV（a）=500x0.91^6+500x0.91^12+…+500x0.91^60+10000x0.91^60=653+34=687

（3）当r=12%,B=1/（1+0.12）=0.89pv（a）=500x0.89^6+500x0.89^12+…+500x0.89^60+10000x0.89^60=493+9=502

9一个朋友购买了一套新的价值4200美元的音响系统。

他同意预付定金1000美元，并在一个月后开始每月支付160美元，共支付24个月。

那么所支付的有效利率是多少？

解：

设每个月支付的利率为r,所以B=1/（1+r）所以160（B+B^2+…+B^24）+1000=4200

160XB（1-B^24）/（1-B）=3200B（1-B^24）/（1-B）=20因为r=1-B/B所以1/1+r[1-（1/1+r）^24]/（1-1/1+r）=20所以reff=1+r-1=r=1.5%

12假设向银行贷款120000美元，银行收取两个百分点的费用。

报价利率为每月0.5%，仅需要在随后的36个月中，每月支付累计利息，并在最后支付本金120000美元。

那么这个贷款的有效利率是多少？

解：

每月支付利息120000x0.5%=600美元，则600/（1+r）+600/（1+r）^2+600/（1+r）^3+…+600/（1+r）^36+

120000/（1+r）^36=120000x98%,得r=0.6%

13以下面两张方式偿还贷款：

一种是现在一次还清所有的欠款6000美元，另一种是现在还10000美元，并在十年后还10000.对于下面的名义连续复利利率，哪一种还款方式更可取：

a）2%b）5%c）10%

解：

r=2%时，10000e^-2%x10=10000e^0.2=8187.3>6000,r=5%时，10000e^-rt=10000e^-5%x10=6065.3>

6000,r=10%时，10000e^-rt=10000e^-10%x10=3678.8<6000

23考虑下面两个现金流，其中每一个现金流都是在i年后得到第i次支付：

100,140,131,和90,160，120

如果不知道利率，能够说出哪一个现金流更可取？

解：

设利率为r，则[100/（1+r）+140/（1+r）^2+131/（1+r）^3]-[90/（1+r）+160/（1+r）^2+120/（1+r）^3]=11/（1+r）^3

-20/（1+r）^2+10/（1+r）,令t=1/（1+r）,00

即第一种更可取。

24a）一个初始成本为100的投资，两年后收益110，求该投资的年收益率。

b）一个初始成本为100的投资，两年后或收益120，或收益100，且两种结果是等可能的，求年收益率的期望值。

解a）100（1+r）^2=110,则r=0.05b）100（1+r1）^2=120,r1=0.095,100（1+r2）^2=100,r2=0,E（r）=1/2r1+1/2r2=0.05

26一个初始成本为100的投资，第一年末回报40，第二年末回报70，求该投资的收益率，如果第一年末回报70，第二年末回报40，收益率又是多少？

解：

设第一种投资的收益率为r1,第二种投资的收益率为r2,,则40/（1+r1）+70/（1+r1）^2=100,r1=0.06=6%

70/（1+r2）+40/（1+r2）^2=100,r2=0.75=75%.

28一个初始成本为100的投资，在第i个周期末收到的回报为Xi（i=1,2）,其中X1，X2是相互独立的正态随机变量，均值为60，方差为25。

该投资回报率大于10%的概率是多少？

解：

E（X1+X2）=120，Var（X1+X2）=50,P（X1+X2>110）=P（E>（110-120）/5）=p（x1+x2>-10/5）=1-o（-10/5）=

0.9207,概率是0.9207.

5.5令C是一个看涨期权的价格，这个期权可以在t时刻以价格K买入一个证券，S是这个证券现在的价格，r是利率。

请写出一个包含C、S和

的不等式，并给出证明。

证明：

S-C<

，在0时刻购买一个证券，同时买入一个看涨期权，这个初始的投入S-C，是从银行存款，并将在t时刻偿还。

在t时刻时，S（t）>K，看涨期权将被执行，K-（S-C）>0，所以S-C<

5.8令P是一个执行价格为K和现价为S的证券的看跌期权的价格。

试证明P》

-S。

其中t期权到期日，r是利率。

证明：

在0时刻买入一个证券，同时买入一个看跌期权，从初始的投入为P+S，在t时刻时，S（t）>K时，看跌期权毫无价值，则以K的价格卖出证券，当S（t）

》K，所以P》

-S

5.10请使用一价律证明看跌-看涨期权平价公式。

证明：

构造两个投资组合，

（1）0时刻买入一份股票及一个看跌期权，成本S+P。

（2）0时刻买入一份看涨期权并加上金额为

，现金成本C+

，在时刻t，假定股票价格为S（t），当S（t）》K，对投资

（1）来说价值S（t），投资

（2）价值以

=K买入一份股票，价值为S（t），当S（t）

（1）价值为K，综上所述由一价律值：

S+P=C+

。

5.5令C是一个看涨期权的价格，这个期权可以在t时刻以价格K买入一个证券，S是这个证券现在的价格，r是利率。

请写出一个包含C、S和

的不等式，并给出证明。

证明：

S-C<

，在0时刻购买一个证券，同时买入一个看涨期权，这个初始的投入S-C，是从银行存款并将在t时刻偿还。

在t时刻时，S（t）>K，看涨期权将被执行，

，所以S-C<

。

5.8令P是一个执行价格为K和现价为S的证券的看跌期权的价格，试证明P》

-S，其中t期权到期日，r是利率。

证明：

在0时刻买入一个证券，同时买入一个看跌期权，从初始的投入为P+S，在t时刻里，S（t）>K时，看跌期权毫无价值，则以K的价格卖出证券，当S（t）

》K，所以P》

-S。

5.9证明：

如果S+P-C>K

，那么以下的投资策略总可以得到正的收益：

卖出一股股票，卖出一个看跌期权，并买入一个看涨期权。

证明：

如果S+P-C>K

，那么我们通过在0时刻购买一份股票，同时买入一个看涨期权，并卖出一个看跌期权，这个初始的投入S+P-C，在t时刻卖出如果S（t）<=k,那么买入的看涨期权无价值，可以执行看跌期权，以价格K卖出。

如果S（t）>=k，那么卖出的看跌期权无价值，则执行看涨期权，迫使以K卖出，由于S<（S+P-C）

，我们都有正的利润，所以S+P-C>K

。

6.7假设在每一个时间段内，一个证券的价值或者上涨为原来的两倍或者下跌为原来的二分之一（即

）。

如果该证券的初始价格为100，求一个看涨期权的无套利价格这个期权允许持有者在两个时间段结束时以每股150的价格购买股票。

解:

设每一个时间段名义利率均为r，

的概率，

，

所以，一个看涨期权的无套利价格为

7.2某证券价格服从参数

几何布朗运动，如果当前价格40，则对于一个还有四个月才到期，执行价

的看涨期权，它被执行的概率有多大？

解：

由题意知

是一个均值参数为

，方差参数为

的对数正态随机变量，

，

，

=

=

7.4证券的当前价格是105，那么一个执行价是100，六个月到期的欧式看跌期权的风险中性价值是多少?

已知利率是10%，证券的波动率是0.3。

解：

t=1/2,r=0.1,

k=42,s（0）=105,k=100,