数学分析华东师大第十一章反常积分.docx
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数学分析华东师大第十一章反常积分
第十一章反常积分
§1反常积分概念
一问题提出
在讨论定积分时有两个最基本的限制:
积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,考虑无穷区间上的“积分”,或是无界函数的“积分”,这便是本章的主题.
例1(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭(图11-1),要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初速度v0至少要多大?
设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重力加速度为
g.按万有引力定律,在距地心x(≥R)处火箭所受的引力为
mgR2
F=.
x2
于是火箭从地面上升到距离地心为r(>R)处需作的功为
2
∫dx=mgR21
-1.
Rx2Rr
当r→+∞时,其极限mgR就是火箭无限远离地球需作的功.我们很自然地会把这极限写作上限为+∞的“积分”:
图11-1
+∞mgR2
dx=lim
rmgR2
Rx2
r→+∞R
dx=mgR.
x2
最后,由机械能守恒定律可求得初速度v0至少应使
12
2mv0=mgR.
用g=9.81(m6s/2),R=6.371×106(m)代入,便得
v0=2gR≈11.2(km6s/).
例2圆柱形桶的内壁高为h,内半径为R,桶底有一半径为r的小孔(图
11-2).试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水,共需多少时间?
§1反常积分概念
265
从物理学知道,在不计摩擦力的情形下,当桶内水位高度为(h-x)时,水从孔中流出的流速(单位时间内流过单位截面积的流量)为
v=2g(h-x),
其中g为重力加速度.
设在很小一段时间dt内,桶中液面降低的微小量为
dx,它们之间应满足
πR2dx=vπr2dt,
图11-2
由此则有
2
dt=Rdx,x∈[0,h].r22g(h-x)
所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”:
∫
h
tf=
0
R2
dx.
r22g(h-x)
但是在这里因为被积函数是[0,h)上的无界函数,所以它的确切含义应该是
u2
tf=lim∫2dx
u→h-0r2g(h-x)
=lim
-
22
·R
gr2h-h-u
u→h
2
=2hR.gr
相对于以前所讲的定积分(不妨称之为正常积分)而言,例1和例2分别提出了两类反常积分.
二两类反常积分的定义
定义1设函数f定义在无穷区间[a,+∞)上,且在任何有限区间[a,u]
上可积.如果存在极限
u
lim∫f(x)dx=J,
(1)
u→+∞a
则称此极限J为函数f在[a,+∞)上的无穷限反常积分(简称无穷积分),记作
∫
+∞
J=f(x)dx,(1′)
a
+∞+∞
并称f(x)dx收敛.如果极限
(1)不存在,为方便起见,亦称f(x)dx
aa
发散.
类似地,可定义f在(-∞,b]上的无穷积分:
266第十一章反常积分
∫f(x)dx=lim∫f(x)dx.
(2)
-∞u→-∞u
对于f在(-∞,+∞)上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义:
+∞a
f(x)dx=
-∞-∞
+∞
f(x)dx+
a
f(x)dx,(3)
其中a为任一实数,当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.
注1无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值,都和实数a的选取无关.
注2由于无穷积分(3)是由
(1)、
(2)两类无穷积分来定义的,因此,f在任何有限区间[v,u]ì(-∞,+∞)上,首先必须是可积的.
+∞
注3
a
f(x)dx收敛的几何意义是:
若f在
[a,+∞)上为非负连续函数,则图11-3中介于曲线y=f(x),直线x=a以及x轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J.
例3讨论无穷积分
∫
+∞
图11-3
的收敛性.
解由于
dx
1xp(4)
∫
udx
1xp=
11-p(u
1-p
-1),p≠1,
lnu,p=1,
1
u
lim∫dx=
u→+∞1xp
p-1,p>1
+∞p≤1,
因此无穷积分(4)当p>1时收敛,其值为1;而当p≤1时发散于+∞.
p-1
从图11-4看到,例3的结论是很直观的:
p
的值越大,曲线y=1当x>1时越靠近x轴,从
xp
而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也就越大.
例4讨论下列无穷积分的收敛性:
1∫)
+∞dx
∫
2x(lnx)p;2)
+∞dx
-∞1+x2.
解1)由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的,因此有关定积分的换元积分法和
图11-4
§1反常积分概念
267
分部积分法一般都可引用到无穷积分中来.对于本例来说,就有
∫+∞dx
+∞dt
2x(lnx)p=∫ln2
tp.
从例3知道,该无穷积分当p>1时收敛,当p≤1时发散.
2)任取实数a,讨论如下两个无穷积分:
a
∫dx
+∞dx
-∞1+x2和∫a
由于
a
1+x2.
lim∫
dx=lim
(arctana-arctanu)
u→-∞
u1+x2
v
u→-∞
=arctana+π,
2
lim∫
dx=lim
(arctanv-arctana)
v→+∞
a1+x2
v→+∞
=
π
2-arctana,
因此这两个无穷积分都收敛.由定义1,
∫+∞dx
adx
+∞dx
-∞1+x2=∫-∞
1+x2+∫a
1+x2=π.
注由于上述结果与a无关,因此若取a=0,则可使计算过程更简洁些.
定义2设函数f定义在区间(a,b]上,在点a的任一右邻域内无界,但在任何内闭区间[u,b]ì(a,b]上有界且可积.如果存在极限
b
lim∫f(x)dx=J,(5)
u→a+u
则称此极限为无界函数f在(a,b]上的反常积分,记作
∫
b
J=f(x)dx,(5′)
a
∫
b
并称反常积分f(x)dx收敛.如果极限(5)不存在,这时也说反常积分
a
∫
b
f(x)dx发散.
a
在定义2中,被积函数f在点a近旁是无界的,这时点a称为f的瑕点,而无
∫
b
界函数反常积分f(x)dx又称为瑕积分.
a
类似地,可定义瑕点为b时的瑕积分:
bu
∫f(x)dx=lim∫f(x)dx.
au→b-a
其中f在[a,b)有定义,在点b的任一左邻域内无界,但在任何[a,u]ì[a,b)
268第十一章反常积分
上可积.
若f的瑕点c∈(a,b),则定义瑕积分
bcb
∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx
aac
ub
=lim∫f(x)dx+lim∫f(x)dx.(6)
u→c-av→c+v
其中f在[a,c)∪(c,b]上有定义,在点c的任一领域内无界,但在任何[a,u]ì[a,c)和[v,b]ì(c,b]上都可积.当且仅当(6)式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.
又若a、b两点都是f的瑕点,而f在任何[u,v]ì(a,b)上可积,这时定义瑕积分
bcb
∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx
aac
cv
=lim∫f(x)dx+lim∫f(x)dx,(7)
u→a+uv→b-c
其中c为(a,b)内任一实数.同样地,当且仅当(7)式右边两个瑕积分都收敛时,
左边的瑕积分才是收敛的.
1
例5计算瑕积分∫dx的值.
01-x2
解被积函数f(x)=1在[0,1)上连续,从而在任何[0,u]ì[0,1)
1-x2
上可积,x=1为其瑕点.依定义2求得
1u
∫dx=lim∫
dx
0
01-x2
-
u→1
1-x2
例6讨论瑕积分
=lim
u→1-
1
arcsinu=π.
2
∫dx
的收敛性.
0xq(q>0)(8)
解被积函数在(0,1]上连续,x=0为其瑕点.由于
∫
1dx
uxq=
1
1-q(1-u
1-q
),q≠1,
(0
-lnu,q=1
故当0∫dx∫dx1
x
q=lim
0u→0+
uxq=1-q;
§1反常积分概念
269
而当q≥1时,瑕积分(8)发散于+∞.
上述结论在图11-4中同样能获得直观的反映.
如果把例3与例6联系起来,考察反常积分
∫
+∞
我们定义
dx
0xp(p>0).(9)
∫+∞dx
1dx
+∞dx
0xp=∫0
xp+∫1
xp,
它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分都收敛时才收敛.但由例3与例6的结果可知,这两个反常积分不能同时收敛,故反常积分(9)对任何实数p都是发散的.
习题
1.讨论下列无穷积分是否收敛?
若收敛,则求其值:
(1∫)
+∞
xe-x
0
2+∞
∫
dx;
(2)
-∞
2
xe-x
dx;
(3∫)
+∞1+∞
dx;(4)
dx
2
0ex
+∞
1x(1+x)
+∞
(5∫)
dx;(6)∫
e-xsinxdx;
-∞4x2+4x+50
+∞+∞
∫
(7∫)
exsinxdx;(8)
-∞0
dx.
1+x2
2.讨论下列瑕积分是否收敛?
若收敛,则求其值:
(1∫)
bdx1dx
∫
;
(2);
a(x-a)p
2
01-x2
1
(3∫)dx;(4)∫xdx;
0|x-1|
01-x2
(5∫)
∫
11
lnxdx;(6)
00
xdx;
1-x
(7∫)
1dx1dx
∫
;(8)p.
0x-x2
0x(lnx)
b
a
3.举例说明:
瑕积分∫f(x)dx收敛时∫,
b
f2(x)dx不一定收敛.
a
4.举例说明∫:
+∞
f(x)dx收敛且f在[a,+∞)上连续时,不一定有lim
ax→+∞
f(x)=0.
∫
+∞
5.证明:
若
a
f(x)dx收敛,且存在极限lim
x→+∞
f(x)=A,则A=0.
270第十一章反常积分
+∞
6.证明:
若f在[a,+∞)上可导,且
a
+∞
f(x)dx与
a
f′(x)dx都收敛,则lim
x→+∞
f(x)=0.
§2无穷积分的性质与收敛判别
一无穷积分的性质
∫
+∞
由定义知道,无穷积分
a
∫
u
f(x)dx收敛与否,取决于函数F(u)=
f(x)dx在u→+∞时是否存在极限.因此可由函数极限的柯西准则导出无穷
a
积分收敛的柯西准则.
∫
+∞
定理11.1无穷积分
a
≥a,只要u1、u2>G,便有
f(x)dx收敛的充要条件是:
任给ε>0,存在G
uuu
∫2f(x)dx-∫1f(x)dx=∫
f(x)dx<ε.
aau
此外,还可根据函数极限的性质与定积分的性质,导出无穷积分的一些相应性质.
+∞
性质1若
a
∫
+∞
+∞
f1(x)dx与
a
f2(x)dx都收敛,k1、k2为任意常数,则
[k1f1(x)+k2f2(x)]dx也收敛,且
a
+∞+∞+∞
[k1f1(x)+k2f2(x)]dx=k1
aa
f1(x)dx+k2
a
f2(x)dx.
(1)
∫
+∞
性质2若f在任何有限区间[a,u]上可积,a
a
f(x)dx与
∫
+∞
f(x)dx同敛态(即同时收敛或同时发散),且有
b
+∞b+∞
∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx,
(2)
aab
其中右边第一项是定积分.
∫
+∞
性质2相当于定积分的积分区间可加性,由它又可导出
a
f(x)dx收敛的
另一充要条件:
任给ε>0,存在G≥a,当u>G时,总有
+∞
f(x)dx<ε.
u
§2无穷积分的性质与收敛判别
271
事实上,这可由
+∞
u+∞
∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx
aau
结合无穷积分的收敛定义而得.
∫
+∞
性质3若f在任何有限区间[a,u]上可积,且有
a
∫
+∞
f(x)dx亦必收敛,并有
a
|f(x)|dx收敛,则
+∞+∞
f(x)dx≤
aa
+∞
f(x)dx.(3)
证由
a
f(x)dx收敛,根据柯西准则(必要性),任给ε>0,存在G≥
a,当u2>u1>G时,总有
uu
f(x)dx2
u
f(x)dx<ε.
1u1
利用定积分的绝对值不等式,又有
uu
2f(x)dx≤2
uu
11
∫
+∞
f(x)dx<ε.
再由柯西准则(充分性),证得
a
f(x)dx收敛.
uu
又因∫f(x)dx≤∫f(x)dx(u>a),令u→+∞取极限,立刻得到不
aa
等式(3).
+∞+∞
当f(x)dx收敛时,称
aa
f(x)dx为绝对收敛.性质3指出:
绝对收敛
的无穷积分,它自身也一定收敛.但是它的逆命题一般不成立,今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛.
我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.
二比较判别法
首先给出无穷积分的绝对收敛判别法.
u+∞
由于|f(x)|dx关于上限u是单调递增的,因此
aa
|f(x)|dx收敛的
∫
u
充要条件是
a
|f(x)|dx存在上界.根据这一分析,便立即导出下述比较判别
法(请读者自己写出证明):
定理11.2(比较法则)设定义在[a,+∞)上的两个函数f和g都在任何
272第十一章反常积分
有限区间[a,u]上可积,且满足
f(x)≤g(x),x∈[a,+∞),
+∞+∞
则当g(x)dx收敛时
aa
∫
+∞
+∞
|f(x)|dx必收敛(或者,当
a
|f(x)|dx发散
时,
a
g(x)dx必发散).
∫
+∞
例1讨论
0
sinxdx的收敛性.
1+x2
+∞
解由于sinx1
dxπ
1+x2≤1+x2,x∈[0,+∞),以及∫
1+x2=
为收敛
2
(§1例4),根据比较法则∫,
sinxdx为绝对收敛.
+∞
01+x2
上述比较法则的极限形式如下:
推论1若f和g都在任何[a,u]上可积,g(x)>0,且lim
x→+∞
|f(x)|
g(x)
=c,
则有:
(i)当0+∞
+∞+∞
∫
|f(x)|dx与
aa
+∞
g(x)dx同敛态;
(ii)当c=0时,由
a
g(x)dx收敛可推知
a
+∞
f(x)dx也收敛;
+∞
(ii)
)当c=+∞时,由
a
+∞
g(x)dx发散可推知
a
+∞
f(x)dx也发散.
∫
当选用∫dx作为比较对象
g(x)dx时,比较判别法及其极限形式成
1xpa
为如下两个推论(称为柯西判别法).
推论2设f定义于[a,+∞)(a>0),且在任何有限区间[a,u]上可积,
则有:
(i)当f(x)≤1,x∈[a,+∞),且p>1时
+∞
f(x)dx收敛;
xpa
+∞
(ii)当f(x)≥1,x∈[a,+∞),且p≤1时
f(x)dx发散.
xpa
推论3设f定义于[a,+∞),在任何有限区间[a,u]上可积,且
则有:
lim
x→+∞
xpf(x)=λ.
+∞
(i)当p>1,0≤λ<+∞时,f(x)dx收敛;
a
+∞
(ii)当p≤1,0<λ≤+∞时,
a
f(x)dx发散.
§2无穷积分的性质与收敛判别
273
例2讨论下列无穷限积分的收敛性:
1∫)
+∞
∫
xαe-xdx;2)
1
+∞x2
dx.
0x5+1
解本例中两个被积函数都是非负的,故收敛与绝对收敛是同一回事.
1)由于对任何实数α都有
lim
x→+∞
x2·xαe-x=lim
x→+∞
xα+2
ex
=0,
因此根据上述推论3(p=2,λ=0),推知1)对任何实数α都是收敛的.
2)由于
12
lim
x→+∞
x2·x
x5+1
=1,
因此根据上述推论3(p=1,λ=1),推知2)是发散的.
2
b
对于f(x)dx的比较判别亦可类似地进行.
-∞
三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法