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第五届华中地区大学生数学建模邀请赛
承诺书
我们仔细阅读了第五届华中地区大学生数学建模邀请赛的竞赛细则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们的参赛报名号为：
参赛队员（签名）：
队员1：
队员2：
队员3：
武汉工业与应用数学学会
第五届华中地区大学生数学建模邀请赛组委会
第五届华中地区大学生数学建模邀请赛
编号专用页
选择的题号：
B
参赛的编号：
（以下内容参赛队伍不需要填写）
竞赛评阅编号：
第五届华中地区大学生数学建模邀请赛
题目：
高校硕士研究生招生指标分配问题
【摘要】
研究生教育是培养高层次专门人才的主要途径，它是体现高等学校教学、科研两个中心的重要标志。
同时研究生教育也是提高高等学校教学质量的根本措施。
合理分配高校硕士研究生的招生指标将对研究生的培养质量、学科建设和科研成果的取得有直接影响。
本文根据2007-2011年研究生招生人数和教师岗位级别，科研经费，发表中、英文论文数，专利数，获奖数，获得校、省优秀论文奖数量等信息之间关系的分析，提出了三阶多项式拟合，关联度分析方法进行分析判断。
针对问题一，我们首先通过EXCEL软件对所给的数据表格进行处理，由题中所知，研究生招生指标分配主要根据教师的数量以及教师岗位进行分配，所以我们将所有数据按教师岗位级别进行分类，得到七组数据表格，然后对这些数据进行算术平均求值，分析岗位级别X和研究生招生数Y之间关系，然后用MATLAB软件进行多项式拟合，得到一个三次多项式Y=-0.1113X3+1.7677X2-11.5155X+35.2836,然后从所给的数据中随机取出5组数据进行验证，经验证得出拟合曲线误差较小，所以采用此三次多项式将求出表格中所缺失的数据。
得出第18位A学科所缺为三级岗，第103位C学科所缺为六级岗，第110位C学科所缺为七级岗，第123位D学科所缺为七级岗，第150位E学科所缺为三级岗，第168位F学科所缺为三级岗，第274位I学科所缺为三级岗，第324位J学科所缺为三级岗，第335位K学科所缺为六级岗，第352位K学科所缺为六级岗。
针对问题二，根据已得出的按教师岗位级别分类得出的数据表格，将每个岗位的硕士生招生人数、科研经费、发表中英文论文数、申请专利数、获奖数、获得优秀论文数量这五组数据求出算术平均值，然后根据灰色系统方法中关联分析建立数学模型，得出这五类数据和指标岗位级别的关联度。
按关联度大小可知教师岗位级别和发表中英文论文数，获奖数，获得优秀论文数量关联度最大。
一、问题的重述
高等学校研究生招生指标分配问题，对研究生的培养质量、学科建设和科研成果的取得有直接影响。
特别是2011年研究生招生改革方案中，将硕士研究生招生指标划分为学术型和专业型两类。
这一改革方案的实施，给研究生教育的发展带来发展机遇的同时，也给研究生招生指标分配的优化配置提出了新的思考。
附件的数据是某高校2007-2011年硕士研究生招生实际情况。
研究生招生指标分配主要根据指导教师的数量以及教师岗位进行分配。
其中教师岗位分为七个岗位等级（一级岗位为教师的最高级，七级岗为具备硕士招生资格的最低级）。
另外数据表还列出了各位教师的学科方向，2007-2011年的招生数，科研经费，发表中、英文论文数，专利数，获奖数，获得校、省优秀论文奖数量等信息。
请你参考有关文献、利用附件的数据建立数学模型，并解决下列问题。
1.由于统计数据的缺失，第18、103、110、123、150、168、274、324、335、352位教师的数据不完整，请你用数学模型的方法将这些缺失的数据补充完整。
2.以前的硕士研究生名额分配方案主要参考导师岗位级别进行分配。
请你以岗位级别为指标，分析每个岗位的招生人数、科研经费、发表中英文论文数、申请专利数、获奖数、获得优秀论文数量的统计规律，并给出合理的解释。
3.根据第二问的结论，提出更加合理的研究生名额分配方案，使得新方案既兼顾到岗位又能兼顾到其他因素，例如研究生的招生类型等，并要求用此方案对2012年的名额进行预分配。
4.如果在研究生招生指标分配当中，考虑到学科的特点和学科发展的需要，进行差异分配，请你设计调整方案，并用你的方案给出2012年的调整方案。
5.如果想把分配方案做得更加合理，你认为还需要哪些指标数据，用什么方法可以完成你的方案？
请阐述你的思想。
二、模型假设及符号说明
1、模型的假设
2、符号说明
网站第
种DVD的购买量
会员租赁第
种DVD的概率
第
个会员是否租赁第
种DVD
第
个会员是否租赁到第
种DVD
第
会员对第
种DVD的偏爱程度
第
个会员租赁到第
种DVD的满意度
网站是否为第
个会员购买第
种DVD
三、问题的分析
问题一，这道题是要求出10组老师缺失的岗位级别的数据，由于所给的整个表格数据数量很大且信息比较多，所以我们需要通过数据找出岗位级别和各类数据的关系。
因为由题目所给信息已知，研究生招生指标分配主要根据指导教师的数量以及教师岗位进行分配。
所以我们根据老师不同岗位级别对所给数据表格进行处理分类，然后按对各位老师的硕士研究生招生人数进行算术平均求值，利用MATLAB软件进行三项式拟合，所得出的拟合图线和散点图很接近（如图），所以以此三项式为运算标准，根据岗位级别数和招生人数的函数关系，求出各学科所缺的岗位级别数。
问题二，这是一个灰色系统中的关联度分析问题。
根据已得出的按教师岗位级别分类得出的数据表格，将每个岗位的硕士生招生人数、科研经费、发表中英文论文数、申请专利数、获奖数、获得优秀论文数量这五组数据利用EXCEL求出算术平均值，然后根据灰色系统方法中关联分析建立数学模型，得出这五类数据和教师岗位级别的关联度。
按关联度大小可知教师岗位级别和发表中英文论文数，获奖数，获得优秀论文数量关联度最大。
我们综合考虑问题一和问题二，在此基础上分析问题三。
经营者要尽可能的减小成本，即每种DVD购买量尽可能的少的，同时，DVD的购买量要满足95%的会员在一个月内能够看到自己想看的DVD；要求会员的总体满意程度最大，也就是对确定数量的DVD进行优化分配。
此问题为一个双目标规划，即要求各种DVD数目最小的情况下，尽可能的使总体满意度最大。
四、模型的建立及求解：
4.1问题一缺失数据处理：
由题目所给信息已知，研究生招生指标分配主要根据指导教师的数量以及教师岗位进行分配。
所以将所给354组数据，按照七种不同的岗位类型分成七组。
并对每组数据中的2007—2011年所有的招生总数求平均值。
即：
其中
……..
分别表示每个老师所招收的研究生数目，
n表示每种级别岗位所包含的教师数目。
表示在次岗位级别里平均每个老师所招收的研究生数目。
根据七组
和
（表示教师的岗位级别）数据用matlab画出散点图。
再用三次多项式进行拟合，得到的拟合图形如图1所示。
其中的多项式为Y=-0.1113X3+1.7677X2-11.5155X+35.2836
图1
根据所得到的三次多项式，对所缺失的岗位级别数据进行计算可得，第18位A学科所缺为三级岗，第103位C学科所缺为六级岗，第110位C学科所缺为七级岗，第123位D学科所缺为七级岗，第150位E学科所缺为三级岗，第168位F学科所缺为三级岗，第274位I学科所缺为三级岗，第324位J学科所缺为三级岗，第335位K学科所缺为六级岗，第352位K学科所缺为六级岗。
4.2、问题二模型的建立及求解：
以岗位级别为指标，采用关联分析的方法分析各个指标之间的统计规律。
以附件数据为基础，针对招生人数、科研经费、论文发表数、专利申请数、获奖数、优秀论文数分别按照一级岗至七级岗初步处理数据取平均值，得到表格1
表格1
一级岗
二级岗
三级岗
四级岗
五级岗
六级岗
七级岗
招生人数
25.278
18.385
14.333
9.369
7.063
7.194
2.573
科研经费
77.419
68.588
83.083
30.365
35.147
99.376
36.627
发表论文数
6.167
5.462
5.095
2.923
3.563
2.944
2.546
申请专利数
2.556
1.077
1.476
0.662
3
1.972
1.514
获奖数
0.222
0
0.095
0.108
0.063
0.028
0.065
优秀论文数
0.611
0.462
0.952
0.431
0.25
0.25
0.005
由于招生人数、科研经费等数据列具有不同的量纲单位，而计算关联系数及关联度时量纲必须保持一致，因此对数据做初始化处理，实线数据无量纲化处理。
另外，为了便于比较。
还要求所有数列有一个公共的交点。
构造初始数列。
设原始数据数列为
则可以构造它的初始化数列为
，这个初始化数列显然满足无量纲化条件。
并且，如果所有原始数列都构造成这样的初始化数列，则必然有一个公共点1。
假设
为灰色系统的多个因素。
选取其中一个因素
作为比较基准，
可以表示为数列，称为基准数列
=
根据上述方法，得到初始数据表格如表格2
表格2
一级岗
二级岗
三级岗
四级岗
五级岗
六级岗
七级岗
招生人数
1
0.727312
0.567015
0.370638
0.279413
0.284595
0.101788
科研经费
1
0.885932
1.07316
0.392216
0.453984
1.283613
0.473101
发表论文数
1
0.885682
0.826172
0.473974
0.577753
0.47738
0.412843
申请专利数
1
0.421362
0.577465
0.258998
1.173709
0.771518
0.592332
获奖数
1
0
0.427928
0.486486
0.283784
0.126126
0.292793
优秀论文数
1
0.756137
1.558101
0.705401
0.409165
0.409165
0.008183
以招生人数为基础数列，对科研经费，发表论文数，申请专利数等作差序列。
得到数列如下表格3
表格3
一级岗
二级岗
三级岗
四级岗
五级岗
六级岗
七级岗
招生人数
0
0.15862
0.506146
0.021578
0.174571
0.999017
0.371313
科研经费
0
0.15837
0.259157
0.103336
0.29834
0.192784
0.311054
发表论文数
0
0.305951
0.01045
0.11164
0.894296
0.486923
0.490544
申请专利数
0
0.727312
0.139087
0.115848
0.004371
0.158469
0.191005
获奖数
0
0.028825
0.991087
0.334762
0.129752
0.12457
0.093605
优秀论文数
0
0.15862
0.506146
0.021578
0.174571
0.999017
0.371313
两级最小差公式为：
两级最大差公式为：
相关系数有
其中，
称为分辨系数，
和
分别称为两级最小差和两极最大差。
一般来说，
，且
越大，分辨率也越高，关联系数越大；反之，
越小，分辨率越低，关联系数也越小。
关联系数这一指标描述了比较数列与基准数列在某一时刻的关联程度,在一般情况下，
取0.5,。
但是每一时刻都有一个关联系数就显得过于分散，难以全面比较。
因此又定义比较数列
对基准数列
的关联程度来衡量系统因素间的关联程度大小。
代入表格2中的数据，可得相关系数如下表格4
表格4
一级岗
二级岗
三级岗
四级岗
五级岗
六级岗
七级岗
科研经费
1
0.758983
0.4967
0.958591
0.741023
0.333333
0.573606
发表论文数
1
0.759272
0.658404
0.828586
0.62607
0.721528
0.616249
申请专利数
1
0.620154
0.979508
0.817327
0.358378
0.506379
0.504527
获奖数
1
0.407157
0.782199
0.811738
0.991326
0.759157
0.723387
优秀论文数
1
0.945441
0.335107
0.598737
0.793802
0.800394
0.842181
为比较数列
对基准数列
的关联度
故可得各因素对招生人数的关联度为
表格5
科研经费
发表论文数
申请专利数
获奖数
优秀论文数
0.69460517
0.744301282
0.683753414
0.782137742
0.75938011
由关联度分析可知，发表论文数，获奖数，优秀论文数和招生人数的关联性最大，以前的硕士研究生名额分配方案主要由参考导师岗位级别进行分配。
3、问题三模型的建立以及求解：
根据题目所述、附件数据及第二问相关度分析可知高校研究生名额分配主要依据岗位级别、科研资金、获得奖励数等因素所决定。
未考虑到其他因素的影响，故应加进其他因素诸如研究生类型等进行重新建模分析分配名额。
本文采用多指标分配模型对此高校研究生的名额进行重新分配，并以此作为2012年研究生预分配方案。
多指标分配模型处理与研究是人类生活中相当普遍的一类资源分配问题，其目标是试图在一个大集体对小集体进行某种资源分配时尽可能做到公平合理。
在解决实际的资源分配问题时，由于参加分配的各单位情况的复杂性，往往使得做出决策的影响因素是多方面的。
如果哦此时只考虑参加分配各单位的唯一或少数几个指标，可能会导致做出的分配决策在某种程度上不能很好的体现公平合理性。
因此本文第二问中针对第三问提出用多指标分配模型，下面是此模型的具体分析与求解。
在多指标名额分配问题中，设有m个单位参加分配，记为
，在此题中
为学科单位，第i个单位的人数为
，总人数
，本题中
。
影响名额分配的因素有n个，记为
，本题中n除了考虑附件数据所述的岗位级别、科研人数、发表中英文论文数、申请专利数、获得奖励数、优秀论文发表数之外还考虑了招生类型的影响。
第i个学科对影响因素j的指标值为
，其中
根据附件数据，对各个学科的影响因素加以统计可得
如下表。
岗位等级
科研经费
发表论文数
申请专利数
获得奖励数
优秀论文数
招生类型
A
5.922
62.23
5
4.589
0
0.176
51
B
6.542
15.207
1.958
3.625
0.167
0.083
24
C
5.825
28.975
2.35
0
0.025
0.325
40
D
5.75
12.122
2.563
1.25
0
0.25
16
E
5.039
65.709
2.27
1.462
0.077
0.192
26
F
5.381
32.45
6.667
0.714
0.095
0
21
G
4.87
46.656
2.913
0.783
0.13
0.435
23
H
4.837
13.205
0.093
0.023
0.07
0.326
43
I
4.694
56.661
3.667
1.306
0.139
0.361
36
J
6.204
92.213
3.143
1.04
0.082
0.082
49
K
5.52
45.262
4.8
0.88
0.12
0.24
25
由于本题中个指标存在数量级和量纲不同的问题，为了统一各指标的趋势要求，下厨各指标间的不可公度性，将各指标进行标准化处理。
记第i个学科对第j个因素标准化后的指标值为
如下表格所示
岗位等级
科研经费
发表论文数
申请专利数
获得奖励数
优秀论文数
招生类型
A
1.072826
1.374884
1.041667
5.214773
0
0.733333
2.04
B
1.185145
0.335977
0.407917
4.119318
1.391667
0.345833
0.96
C
1.055254
0.640162
0.489583
0
0.208333
1.354167
1.6
D
1.041667
0.267818
0.533958
1.420455
0
1.041667
0.64
E
0.912862
1.451748
0.472917
1.661364
0.641667
0.8
1.04
F
0.974819
0.716937
1.388958
0.811364
0.791667
0
0.84
G
0.882246
1.030798
0.606875
0.889773
1.083333
1.8125
0.92
H
0.876268
0.291746
0.019375
0.026136
0.583333
1.358333
1.72
I
0.850362
1.251845
0.763958
1.484091
1.158333
1.504167
1.44
J
1.123913
2.037316
0.654792
1.181818
0.683333
0.341667
1.96
K
1
1
1
1
1
1
1
由第二问中求得的各因素与招生人数之间的关联度可以得出各个因素在影响招生人数的权重
对第i个学科的各指标值进行加权求和，计算出该学科的综合指标值为：
并记总体的综合指标值为
根据上述所求
及
可求得
岗位等级
科研经费
发表论文数
申请专利数
获得奖励数
优秀论文数
招生类型
A
0.169507
0.188359
0.153125
0.703994
0
0.11
0.24276
B
0.187253
0.046029
0.059964
0.556108
0.214317
0.051875
0.11424
C
0.16673
0.087702
0.071969
0
0.032083
0.203125
0.1904
D
0.164583
0.036691
0.078492
0.191761
0
0.15625
0.07616
E
0.144232
0.198889
0.069519
0.224284
0.098817
0.12
0.12376
F
0.154021
0.09822
0.204177
0.109534
0.121917
0
0.09996
G
0.139395
0.141219
0.089211
0.120119
0.166833
0.271875
0.10948
H
0.13845
0.039969
0.002848
0.003528
0.089833
0.20375
0.20468
I
0.134357
0.171503
0.112302
0.200352
0.178383
0.225625
0.17136
J
0.177578
0.279112
0.096254
0.159545
0.105233
0.05125
0.23324
K
0.158
0.137
0.147
0.135
0.154
0.15
0.119
由以上表格可得
设共有X名额可供分配，第i个学科分得的名额为
。
显然，
根据2007-2011年各学科所招研究生名额可知，
。
现在此数据基础上重新按照多指标整数规划模型。
影响第i个学科分得研究生名额所对应的综合指标值为
，整个分配中总的名额所对应的总体综合指标值为
。
显然，只有当这两个数值相等时，各学科得到的研究生名额的分配方案才是公平合理的。
对于这种不公平程度我们可以用数值
来表示，它的数值越大说明该分配方案对于第i个学科越不公平，因此我们希望对每个学科都应该有数值
尽可能的小。
故根据最小绝对值偏差原则建立多指标分配问题的整数规划模型：
对于上述整数规划模型，利用lingo求解，求得答案如下图
可知不公平度最小的分配方案为
根据lingo输出分析数据（下图）
可知
“Best”代表的即为目标函数不公平度
不公平度较小说明模型选择合适，分配方案公平合理。
五、结果分析与检验
（1）关于满意度的讨论
分析表格2数据可知，分配结果满足满意程度公式，计算出来的满意程度为94.5%，由于我们考虑的满意程度测量标准选取的是会员对各种DVD的偏爱程度的倒数，它不是一组具有线行关系的量，当会员对一种DVD的偏爱程度越大，那相临级别的满意程度相差量越来越小，这样会使最后求出的总的满意程度在意义表达上不是均匀分布的。
如果按照偏爱程度1到10，反过来对应10到1表示满意程度，那么所计算出来的满意程度在数值上，也就是在100个单位长度内使均匀分布的。
由于前者的随着偏爱程度增大，它的满意程度差别就越来越小，而后者始终使均匀分布，即就是说，同样是数值95%，前者实际的满意程度大于后者的满意程度。
（2）结果合理性
由问题一的检验结果看到，要使95%的会员看到自己想租赁的DVD的可靠度依次增大的时候，网站所需购买的DVD的数目也随着增大，这是符合实际情况的。
问题三我们除了用表中数据的期望值来求解，还随机选取了600个会员的数据作为一组随机变量验证模型的正确性，结果是很满意的。
六、模型的优缺点
优点：
（1）我们建立了一个概率模型，引入了数学期望，较好的解决了会员对DVD需求数量的预测，使模型得到简化，进而能够在计算机上得到满意的解。
（2）对于满意程度的表示，我们采取了将表2中的偏爱程度取倒数，使得会员满意程度的描述有依据，显得比较合理，避免了线性取值带来的较大误差。
（3）本
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