高考数学总复习 第2章 第8节 函数与方程双基自测 理.docx

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高考数学总复习第2章第8节函数与方程双基自测理

第八节　函数与方程

考纲传真

内容

要求

A

B

C

函数与方程

√

1．函数零点的定义

（1）把使函数y＝f（x）的值为0的实数x称为函数y＝f（x）的零点．

（2）函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的实数根，从图象上看，函数y＝f（x）的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．

2．函数零点的判定

若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）·f（b）<0，则函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点，即存在x0∈（a，b），使f（x0）＝0.

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象与零点的关系

Δ>0

Δ＝0

Δ<0

函数的图象

与x轴的交点

x1＝

，x2＝

x1＝x2＝－

无交点

零点个数

两个

一个

没有

4.二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

1．（夯基释疑）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（　　）

（2）对于定义域内的两个变量x1，x2，若f（x1）·f（x2）<0，则函数有零点．（　　）

（3）若f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）f（b）>0，则f（x）在（a，b）内没有零点．（　　）

（4）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续的，且f（a）f（b）<0，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点．（　　）

[解析]　

（1）函数的零点是使函数值为0的x值，是一个数，而图象与x轴的交点是一个点．

（1）错误．

（2）如果函数图象不连续，就不能确定有零点，

（2）错误．

（3）f（a）·f（b）>0不能判断是否有零点，如y＝x2－3x＋2.f（0）·f（3）>0但有零点为1和2，（3）错误．

（4）由判定定理可知（4）正确．

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2．（教材改编题）函数f（x）＝2x＋x－3的零点共有________个．

[解析]　由y＝2x与y＝－x＋3的图象可知有1个零点．

[答案]　1

3．（2014·泰州模拟）已知函数f（x）＝3ax－2a＋1在区间（－1,1）内存在x0，使f（x0）＝0，则实数a的取值范围是________．

[解析]　由f（－1）f

（1）＝（3a－2a＋1）·（－3a－2a＋1）

＝（a＋1）（1－5a）<0，∴a>

或a<－1.

[答案]　（－∞，－1）∪

4．（2014·北京高考改编）已知函数f（x）＝

－log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是________．（填序号）

①（0,1）；②（1,2）；③（2,4）；④（4，＋∞）．

[解析]　f′（x）＝－

－

，∵x>0，∴f′（x）<0.

∴x∈（0，＋∞）时，f（x）是减函数．

而f

（1）＝6>0，f

（2）＝2>0，f（4）＝

－2<0，故③正确．

[答案]　③

5．（2014·常州模拟）若函数f（x）＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af（－2x）>0的解集是________．

[解析]　∵f（x）＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.

∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，

由根与系数的关系知

∴

∴f（x）＝x2－x－6.∵不等式af（－2x）>0，

即－（4x2＋2x－6）>0，∴2x2＋x－3<0，∴解集为

.

[答案]　

考向1　函数零点的求解与判断

【典例1】　（2014·湖北高考改编）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－3x，则函数g（x）＝f（x）－x＋3的零点的集合为________．

[解析]　设x＜0，则－x＞0，

∴f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）2－3（－x）]＝－x2－3x，

求函数g（x）＝f（x）－x＋3的零点等于求方程f（x）＝－3＋x的解．

当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1.

当x<0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－

（正值舍去）．

[答案]　{－2－

，1,3}

【规律方法】　

1．求函数的零点，从代数角度思考就是解方程f（x）＝0的解，从几何角度，思考就是研究其图象与x轴交点，有时也转化为f（x）＝g（x）的形式，此时是求f（x），g（x）图象交点的横坐标．

2．函数零点的判定常用方法有

（1）零点存在性定理；

（2）数形结合；（3）解方程．

【变式训练1】　（2013·天津高考改编）函数f（x）＝2x|log0.5x|－1的零点有________个．

[解析]　令f（x）＝2x|log0.5x|－1＝0，

可得|log0.5x|＝

x.

设g（x）＝|log0.5x|，h（x）＝

x，在同一坐标系下分别画出函数g（x），h（x）的图象．

可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f（x）有2个零点．

[答案]　2

考向2　二分法及其应用

【典例2】　若函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值如下（精确度0.1）：

f

（1）＝－2

f（1.5）＝0.625

f（1.25）＝－0.984

f（1.375）＝－0.260

f（1.4375）＝0.162

f（1.40625）＝－0.054

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根（保留3位有效数字）为________．

[解析]　根据表格知f（1.40625）·f（1.4375）<0，即函数f（x）的零点在区间（1.40625,1.4375）内，

且1.4375－1.40625＝0.03125<0.1，

所以方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.41.

[答案]　1.41（答案不唯一）

【规律方法】　

1．解答本题一要从图表中寻找数量信息，二要注意“精确度”的含义，切不可与“精确到”混淆．

2．

（1）用二分法求函数零点的近似解必须满足①y＝f（x）的图象在[a，b]内连续不间断，②f（a）·f（b）＜0.

（2）在第一步中，尽量使区间长度缩短，以减少计算量及计算次数．

【变式训练2】　在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间（1,2）内，则下一步可断定该根所在的区间为________．

[解析]　在（1,2）内取中点x0＝

，令f（x）＝x3－2x－1，

∵f

＝

－4<0，f

（2）＝8－4－1>0，f

（1）＜0，

∴f（x）＝0的根在

内．

[答案]　

考向3　函数零点的应用（高频考点）

命题视角　函数零点是函数值为0时的x值，即函数对应方程的解，也是函数图象与x轴交点的横坐标，也可以看作两函数图象交点的横坐标．高考主要出题角度是给出函数零点情况求参数范围．

【典例3】　（2014·重庆高考）已知函数f（x）＝

且g（x）＝f（x）－mx－m在（－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是________．

【思路点拨】　把函数零点转化为两函数图象交点情况，画出两函数图象，数形结合，分类讨论求解．

[解析]

由g（x）＝f（x）－mx－m＝0，即f（x）＝m（x＋1），分别作出函数f（x）和y＝g（x）＝m（x＋1）的图象如图：

由图象可知f

（1）＝1，g（x）表示过定点A（－1,0）的直线，

当g（x）过（1,1）时，m＝

此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m取值范围是0

，

当g（x）过（0，－2）时，g（0）＝－2，解得m＝－2，此时两个函数有两个交点，

当g（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，

此时

－3＝m（x＋1），即m（x＋1）2＋3（x＋1）－1＝0，

当m＝0时，x＝－

，只有1解，

当m≠0，由Δ＝9＋4m＝0得m＝－

，此时直线和f（x）相切，

∴要使函数有两个零点，则－

.

[答案]　

∪

【通关锦囊】　

已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：

（1）直接法：

直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：

先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合法：

先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

【变式训练3】　（2014·连云港调研）设函数f（x）＝log3

－a在区间（1,2）内有零点，则实数a的取值范围是________．

[解析]　∵函数f（x）在区间（1,2）内有零点．

∴方程log3

＝a在区间（1,2）上有解，

由1＜x＜2，得2＜

＜3，∴log32＜log3

＜1.

所以log32

[答案]　log32

记住1个口诀　用二分法求函数零点近似值的口诀为：

定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？

精确度上来判断．

做到2个防范　1.函数的零点不是点，是方程f（x）＝0的实根．　2.函数

零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．

熟记3种方法　判断函数零点个数的常用方法

1．通过解方程直接求零点．　2.根据零点存在性定理，结合函数性质来判断．　3.将函数y＝f（x）－g（x）的零点个数转化为函数y＝f（x）与y＝g（x）图象公共点的个数来判断．

创新探究之2

函数零点的创新应用

（2013·天津高考改编）设函数f（x）＝ex＋x－2，g（x）＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f（a）＝0，g（b）＝0，则g（a），f（b）与0的大小关系是________．

[解析]　由f′（x）＝ex＋1>0知f（x）是R上的增函数，

又g（x）＝lnx＋x2－3的定义域为（0，＋∞）．

所以g′（x）＝

＋2x>0，所以g（x）在（0，＋∞）上是增函数．

因为f（0）＝－1<0，f

（1）＝e－1>0，所以0

因为g

（1）＝－2<0，g

（2）＝ln2＋1>0，所以1

所以f（b）>0，g（a）<0，即f（b）>0>g（a）．

[答案]　g（a）<0

【智慧心语】　

创新点拨：

（1）本题以函数的零点为背景，综合考查函数的导数与单调性的关系，函数的零点存在性定理，所考查知识点具有隐蔽性是本题的最大特色．

（2）本题中由等量关系到不等关系的转化，考查学生的分析问题、解决问题的能力及逆向思维意识．

应对措施：

（1）本题中由等量关系到不等关系的转化，暗示我们应从函数的单调性着手，进而需明确a，b的大小关系．

（2）由a，b分别是函数f（x）与g（x）的零点，进而想到函数的零点存在性定理或数形结合确定a，b的大小关系．

【类题通关】　对于实数a和b，定义运算“*”：

a*b＝

设f（x）＝（2x－1）*（x－1），且关于x的方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．

[解析]　由定义可知，

f（x）＝

作出函数f（x）的图象，如图所示．

由图可知，当0

时，f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3.不妨设x10，且x2＋x3＝2×

＝1，∴x2x3<

.

令

解得x＝

或x＝

（舍去）．

∴

[答案]　

课后限时自测

[A级　基础达标练]

一、填空题

1．（2014·徐州模拟）设函数f（x）＝

则函数g（x）＝f（x）－log4x的零点个数为________．

[解析]　设y＝f（x）与y＝log4x，分别画出它们的图象，得3个交点．∴函数g（x）＝f（x）－log4x的零点个数为3.

[答案]　3

2．函数y＝

|x|－m有两个零点，则m的取值范围是________．

[解析]　由题意知，方程

|x|＝m有两个根，即函数y＝

|x|与y＝m有两个不同的交点．

在同一坐标系中，画出函数y＝

|x|与y＝m的图象．

观察图象得，0＜m＜1.

[答案]　（0,1）

3．（2014·泰州模拟）已知符号函数sgn（x）＝

则函数f（x）＝sgn（lnx）－lnx的零点个数为________．

[解析]　sgn（lnx）＝

故函数f（x）＝sgn（lnx）－lnx的零点分别为e,1，

.

[答案]　3

4．（2014·江苏高考）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3）时，f（x）＝

.若函数y＝f（x）－a在区间[－3,4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是________．

[解析]　作出函数y＝f（x）在[－3,4]上的图象，f（－3）＝f（－2）＝f（－1）＝f（0）＝f

（1）＝f

（2）＝f（3）＝f（4）＝

，观察图象可得0

.

[答案]　

5．（2014·苏州模拟）若偶函数f（x）在区间[0，a]（a>0）上是单调函数，且f（0）·f（a）<0，则方程f（x）＝0在区间[－a，a]内根的个数是________．

[解析]　由f（0）·f（a）<0，且f（x）在[0，a]（a>0）上单调，知f（x）＝0在[0，a]上有一根，又函数f（x）为偶函数，∴f（x）＝0，在[－a,0]上也有一根．∴f（x）＝0在区间[－a，a]内有两个根．

[答案]　2

6．（2014·泰州模拟）设函数f（x）＝n－1，x∈[n，n＋1），n∈N，则方程f（x）＝log2x有________个根．

[解析]　由f（x）＝n－1，x∈[n，n＋1），得f（x）＝

如图，y＝f（x）的图象与y＝log2x的图象有3个交点，方程f（x）＝log2x有3个根．

[答案]　3

7．（2014·苏州调研）若方程lnx＋2x－6＝0的根为x0，则小于x0的最大整数是________．

[解析]　令f（x）＝lnx＋2x－6（x＞0），

由于f

（2）＝ln2－2＜0，f（3）＝ln3＞0.

又f（x）在x∈（0，＋∞）时，是增函数且图象不间断．

∴f（x）有唯一的零点x0∈（2,3）．

因此小于x0的最大整数是2.

[答案]　2

8．（2014·无锡模拟）已知函数f（x）＝

的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是________．

[解析]　由题意知，直线y＝x与f（x）＝x2＋4x＋2（x≤m）有两个交点，

由

解得

或

因此m≥－1.

直线y＝x与f（x）＝2（x>m）有一个交点，即（2,2），

此时m<2，综上知－1≤m<2.

[答案]　[－1,2）

二、解答题

9．若函数f（x）＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的值．

[解]　

（1）当a＝0时，函数f（x）＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．

（2）当a≠0时，函数f（x）＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．

所以Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－

.

综上，当a＝0或a＝－

时，函数仅有一个零点．

10．（2014·南京模拟）已知关于x的方程x2＋2alog2（x2＋2）＋a2－3＝0有唯一解，求实数a的值．

[解]　∵方程有唯一解，由于相应函数为偶函数，

知唯一解必为x＝0，∴2alog22＋a2－3＝0，

∴a＝1或a＝－3.

检验：

①当a＝1时，x2＋2log2（x2＋2）－2＝0，

即2log2（x2＋2）＝2－x2，

令x2＋2＝t≥2，则2log2t＝4－t（t≥2），

由图①可知，有一个交点，符合题意．

②当a＝－3时，x2－6log2（x2＋2）＋6＝0，

即6log2（x2＋2）＝x2＋6，

令x2＋2＝t≥2，则6log2t＝t＋4（t≥2）．

由图②可知，有两个交点，不符题意，舍去．

综上可知a＝1.

[B级　能力提升练]

一、填空题

1．（2014·镇江模拟）方程xlg（x＋2）＝1有________个不同的实数根．

[解析]　由xlg（x＋2）＝1得，lg（x＋2）＝

，在同一坐标系中，画出函数y＝lg（x＋2）与y＝

的图象，如图所示：

由图象知，方程有两个不同的实根．

[答案]　2

2．（2014·南京、盐城模拟）已知函数f（x）＝

若关于x的方程f（x）＝kx（k>0）有且仅有四个根，其最大根为t，则函数g（t）＝

t2－6t＋7的值域为________．

[解析]　作出f（x）的图象，如图所示．

当y＝kx与半圆（x－3）2＋y2＝1相切时，最大根t∈[x1，x2），

Rt△OA1B1中，OA1＝3，A1B1＝1，则OB1＝2

.

由三角形相似得Ox1＝

.Rt△OA2B2中，OA2＝5，A2B2＝1，则OB2＝

，则kOB2＝

.

由

得x2满足方程

x2－6x＋8＝0，

则g（x2）＝

x

－6x2＋7＝－1，

∵t∈

，∴g（t）∈

.

[答案]　

二、解答题

3．设函数f（x）＝x2＋2bx＋c（c

（1）证明：

－3

（2）若m是函数g（x）的一个零点，试判断f（m－4）的正负并加以证明．

[证明]　

（1）由f

（1）＝0，得b＝－

.

又c

<1，∴－3

.

方程f（x）＋1＝0有实根，即方程x2＋2bx＋c＋1＝0有实根．

故Δ＝4b2－4（c＋1）≥0，即c2－2c－3≥0.

∴c≥3，或c≤－1.

又－3

，所以－3

又b＝－

，∴b≥0.

（2）∵f（x）＝x2＋2bx＋c＝（x－c）（x－1），且m是函数g（x）＝f（x）＋1的一个零点，

∴f（m）＝－1<0，故c

∴c－4

∴f（m－4）＝（m－4－c）（m－4－1）>0，

所以f（m－4）的符号为正．