.
[答案]
5.(2014·苏州模拟)若偶函数f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且f(0)·f(a)<0,则方程f(x)=0在区间[-a,a]内根的个数是________.
[解析] 由f(0)·f(a)<0,且f(x)在[0,a](a>0)上单调,知f(x)=0在[0,a]上有一根,又函数f(x)为偶函数,∴f(x)=0,在[-a,0]上也有一根.∴f(x)=0在区间[-a,a]内有两个根.
[答案] 2
6.(2014·泰州模拟)设函数f(x)=n-1,x∈[n,n+1),n∈N,则方程f(x)=log2x有________个根.
[解析] 由f(x)=n-1,x∈[n,n+1),得f(x)=
如图,y=f(x)的图象与y=log2x的图象有3个交点,方程f(x)=log2x有3个根.
[答案] 3
7.(2014·苏州调研)若方程lnx+2x-6=0的根为x0,则小于x0的最大整数是________.
[解析] 令f(x)=lnx+2x-6(x>0),
由于f
(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0.
又f(x)在x∈(0,+∞)时,是增函数且图象不间断.
∴f(x)有唯一的零点x0∈(2,3).
因此小于x0的最大整数是2.
[答案] 2
8.(2014·无锡模拟)已知函数f(x)=
的图象与直线y=x恰有三个公共点,则实数m的取值范围是________.
[解析] 由题意知,直线y=x与f(x)=x2+4x+2(x≤m)有两个交点,
由
解得
或
因此m≥-1.
直线y=x与f(x)=2(x>m)有一个交点,即(2,2),
此时m<2,综上知-1≤m<2.
[答案] [-1,2)
二、解答题
9.若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,求实数a的值.
[解]
(1)当a=0时,函数f(x)=-x-1为一次函数,则-1是函数的零点,即函数仅有一个零点.
(2)当a≠0时,函数f(x)=ax2-x-1为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程ax2-x-1=0有两个相等实根.
所以Δ=1+4a=0,解得a=-
.
综上,当a=0或a=-
时,函数仅有一个零点.
10.(2014·南京模拟)已知关于x的方程x2+2alog2(x2+2)+a2-3=0有唯一解,求实数a的值.
[解] ∵方程有唯一解,由于相应函数为偶函数,
知唯一解必为x=0,∴2alog22+a2-3=0,
∴a=1或a=-3.
检验:
①当a=1时,x2+2log2(x2+2)-2=0,
即2log2(x2+2)=2-x2,
令x2+2=t≥2,则2log2t=4-t(t≥2),
由图①可知,有一个交点,符合题意.
②当a=-3时,x2-6log2(x2+2)+6=0,
即6log2(x2+2)=x2+6,
令x2+2=t≥2,则6log2t=t+4(t≥2).
由图②可知,有两个交点,不符题意,舍去.
综上可知a=1.
[B级 能力提升练]
一、填空题
1.(2014·镇江模拟)方程xlg(x+2)=1有________个不同的实数根.
[解析] 由xlg(x+2)=1得,lg(x+2)=
,在同一坐标系中,画出函数y=lg(x+2)与y=
的图象,如图所示:
由图象知,方程有两个不同的实根.
[答案] 2
2.(2014·南京、盐城模拟)已知函数f(x)=
若关于x的方程f(x)=kx(k>0)有且仅有四个根,其最大根为t,则函数g(t)=
t2-6t+7的值域为________.
[解析] 作出f(x)的图象,如图所示.
当y=kx与半圆(x-3)2+y2=1相切时,最大根t∈[x1,x2),
Rt△OA1B1中,OA1=3,A1B1=1,则OB1=2
.
由三角形相似得Ox1=
.Rt△OA2B2中,OA2=5,A2B2=1,则OB2=
,则kOB2=
.
由
得x2满足方程
x2-6x+8=0,
则g(x2)=
x
-6x2+7=-1,
∵t∈
,∴g(t)∈
.
[答案]
二、解答题
3.设函数f(x)=x2+2bx+c(c
(1)证明:
-3(2)若m是函数g(x)的一个零点,试判断f(m-4)的正负并加以证明.
[证明]
(1)由f
(1)=0,得b=-
.
又c
<1,∴-3.
方程f(x)+1=0有实根,即方程x2+2bx+c+1=0有实根.
故Δ=4b2-4(c+1)≥0,即c2-2c-3≥0.
∴c≥3,或c≤-1.
又-3,所以-3又b=-
,∴b≥0.
(2)∵f(x)=x2+2bx+c=(x-c)(x-1),且m是函数g(x)=f(x)+1的一个零点,
∴f(m)=-1<0,故c∴c-4∴f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)>0,
所以f(m-4)的符号为正.