高考数学总复习 第2章 第8节 函数与方程双基自测 理.docx

1、高考数学总复习 第2章 第8节 函数与方程双基自测 理第八节函数与方程考纲传真内容要求ABC函数与方程1函数零点的定义(1)把使函数yf(x)的值为0的实数x称为函数yf(x)的零点(2)函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，从图象上看，函数yf(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标2函数零点的判定若函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000函数的图象与x轴的交点x1，x2x1x2无交点零点个数两个一个没有4.二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分

2、为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法1(夯基释疑)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)对于定义域内的两个变量x1，x2，若f(x1)f(x2)0，则f(x)在(a，b)内没有零点()(4)若函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续的，且f(a)f(b)0不能判断是否有零点，如yx23x2.f(0)f(3)0但有零点为1和2，(3)错误(4)由判定定理可知(4)正确答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编题)函数f(x)2xx3的零点共有_个解析由y2x与yx3的图象可知有1个零点答案13(2014

3、泰州模拟)已知函数f(x)3ax2a1在区间(1,1)内存在x0，使f(x0)0，则实数a的取值范围是_解析由f(1)f(1)(3a2a1)(3a2a1)(a1)(15a)或a0，f(x)0，f(2)20，f(4)20的解集是_解析f(x)x2axb的两个零点是2,3.2,3是方程x2axb0的两根，由根与系数的关系知f(x)x2x6.不等式af(2x)0，即(4x22x6)0，2x2x30，解集为.答案考向1函数零点的求解与判断【典例1】(2014湖北高考改编)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为_解析设x0，则x0，f(x)

4、f(x)(x)23(x)x23x，求函数g(x)f(x)x3的零点等于求方程f(x)3x的解当x0时，x23x3x，解得x13，x21.当x0时，x23x3x，解得x32(正值舍去)答案2，1,3【规律方法】1求函数的零点，从代数角度思考就是解方程f(x)0的解，从几何角度，思考就是研究其图象与x轴交点，有时也转化为f(x)g(x)的形式，此时是求f(x)，g(x)图象交点的横坐标2函数零点的判定常用方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程【变式训练1】(2013天津高考改编)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点有_个解析令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log

5、0.5x|x.设g(x)|log0.5x|，h(x)x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点答案2考向2二分法及其应用【典例2】若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值如下(精确度0.1)：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.437 5)0.162f(1.406 25)0.054那么方程x3x22x20的一个近似根(保留3位有效数字)为_解析根据表格知f(1.406 25)f(1.437 5)0，即函数f(x)的零点在区间(1.406 25,1.437

6、 5)内，且1.437 51.406 250.031 250.1，所以方程x3x22x20的一个近似根为1.41.答案1.41(答案不唯一)【规律方法】1解答本题一要从图表中寻找数量信息，二要注意“精确度”的含义，切不可与“精确到”混淆2(1)用二分法求函数零点的近似解必须满足yf(x)的图象在a，b内连续不间断，f(a)f(b)0.(2)在第一步中，尽量使区间长度缩短，以减少计算量及计算次数【变式训练2】在用二分法求方程x32x10的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为_解析在(1,2)内取中点x0，令f(x)x32x1，f40，f(1)0，f(x

7、)0的根在内答案考向3函数零点的应用(高频考点)命题视角函数零点是函数值为0时的x值，即函数对应方程的解，也是函数图象与x轴交点的横坐标，也可以看作两函数图象交点的横坐标高考主要出题角度是给出函数零点情况求参数范围【典例3】(2014重庆高考)已知函数f(x)且g(x)f(x)mxm在(1，1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是_【思路点拨】把函数零点转化为两函数图象交点情况，画出两函数图象，数形结合，分类讨论求解解析由g(x)f(x)mxm0，即f(x)m(x1)，分别作出函数f(x)和yg(x)m(x1)的图象如图：由图象可知f(1)1，g(x)表示过定点A(1,0)的直线，当g

8、(x)过(1,1)时，m此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m取值范围是0m，当g(x)过(0，2)时，g(0)2，解得m2，此时两个函数有两个交点，当g(x)与f(x)相切时，两个函数只有一个交点，此时3m(x1)，即m(x1)23(x1)10，当m0时，x，只有1解，当m0，由94m0得m，此时直线和f(x)相切，要使函数有两个零点，则m2或0m.答案【通关锦囊】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一

9、平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解【变式训练3】(2014连云港调研)设函数f(x)log3a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是_解析函数f(x)在区间(1,2)内有零点方程log3a在区间(1,2)上有解，由1x2，得23，log32log31.所以log32a1.答案log32a0知f(x)是R上的增函数，又g(x)ln xx23的定义域为(0，)所以g(x)2x0，所以g(x)在(0，)上是增函数因为f(0)10，所以0a1，因为g(1)20，所以1b0，g(a)0g(a)答案g(a)0f(b)【智慧心语】创新点拨：(1)本题以函数的零点为背景，综合考查函数的

10、导数与单调性的关系，函数的零点存在性定理，所考查知识点具有隐蔽性是本题的最大特色(2)本题中由等量关系到不等关系的转化，考查学生的分析问题、解决问题的能力及逆向思维意识应对措施：(1)本题中由等量关系到不等关系的转化，暗示我们应从函数的单调性着手，进而需明确a，b的大小关系(2)由a，b分别是函数f(x)与g(x)的零点，进而想到函数的零点存在性定理或数形结合确定a，b的大小关系【类题通关】对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设f(x)(2x1)*(x1)，且关于x的方程f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_解析由定义可知，f(x)作出函数f

11、(x)的图象，如图所示由图可知，当0m时，f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3.不妨设x1x20，且x2x321，x2x3.令解得x或x(舍去)x10，x1x2x30.答案课后限时自测A级基础达标练一、填空题1(2014徐州模拟)设函数f(x)则函数g(x)f(x)log4x的零点个数为_解析设yf(x)与ylog4x，分别画出它们的图象，得3个交点函数g(x)f(x)log4x的零点个数为3.答案32函数y|x|m有两个零点，则m的取值范围是_解析由题意知，方程|x|m有两个根，即函数y|x|与ym有两个不同的交点在同一坐标系中，画出函数y|x|与ym的图象观察图象得，

12、0m1.答案(0,1)3(2014泰州模拟)已知符号函数sgn(x)则函数f(x)sgn(ln x)ln x的零点个数为_解析sgn(ln x)故函数f(x)sgn(ln x)ln x的零点分别为e,1，.答案34(2014江苏高考)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x0,3)时，f(x).若函数yf(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_解析作出函数yf(x)在3,4上的图象，f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)，观察图象可得0a0)上是单调函数，且f(0)f(a)0，则方程f(x)0在区间a，a内根的个数是_解析由f(0)

13、f(a)0)上单调，知f(x)0在0，a上有一根，又函数f(x)为偶函数，f(x)0，在a,0上也有一根f(x)0在区间a，a内有两个根答案26(2014泰州模拟)设函数f(x)n1，xn，n1)，nN，则方程f(x)log2x有_个根解析由f(x)n1，xn，n1)，得f(x)如图，yf(x)的图象与ylog2x的图象有3个交点，方程f(x)log2x有3个根答案37(2014苏州调研)若方程ln x2x60的根为x0，则小于x0的最大整数是_解析令f(x)ln x2x6(x0)，由于f(2)ln 220，f(3)ln 30.又f(x)在x(0，)时，是增函数且图象不间断f(x)有唯一的零点

14、x0(2,3)因此小于x0的最大整数是2.答案28(2014无锡模拟)已知函数f(x)的图象与直线yx恰有三个公共点，则实数m的取值范围是_解析由题意知，直线yx与f(x)x24x2(xm)有两个交点，由解得或因此m1.直线yx与f(x)2(xm)有一个交点，即(2,2)，此时m2，综上知1m0)有且仅有四个根，其最大根为t，则函数g(t)t26t7的值域为_解析作出f(x)的图象，如图所示当ykx与半圆(x3)2y21相切时，最大根tx1，x2)，RtOA1B1中，OA13，A1B11，则OB12.由三角形相似得Ox1.RtOA2B2中，OA25，A2B21，则OB2，则kOB2.由得x2满足方程x26x80，则g(x2)x6x271，t，g(t).答案二、解答题3设函数f(x)x22bxc(cb1)的一个零点是1，且函数g(x)f(x)1也有零点(1)证明：3c1，且b0；(2)若m是函数g(x)的一个零点，试判断f(m4)的正负并加以证明证明(1)由f(1)0，得b.又cb1，故c1，3c.方程f(x)10有实根，即方程x22bxc10有实根故4b24(c1)0，即c22c30.c3，或c1.又3c，所以3c1.又b，b0.(2)f(x)x22bxc(xc)(x1)，且m是函数g(x)f(x)1的一个零点，f(m)10，故cm1.c4m430，所以f(m4)的符号为正