高考数学山东卷学生版.docx
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高考数学山东卷学生版
2020年高考数学山东卷
满分150分,120分钟完成,允许使用计算器,答
案一律写在答题纸上.
2020.07
一.选择题本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)设集合𝐴={𝑥|1≤𝑥≤3},𝐵={𝑥|2<𝑥<4},则𝐴∪𝐵=................()
A.{𝑥|2<𝑥≤3}B.{𝑥|2≤𝑥≤3}C.{𝑥|1≤𝑥<4}D.{𝑥|1<𝑥<4}
i
2.(5分)2−i
1+2
=.............................................................()
A.1B.−1C.iD.−i
3.(5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有..................()
A.120种B.90种C.60种D.30种
4.(5分)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间。
把地球看成一个球(球心记为𝑂),地球上一点𝐴的纬度是指𝑂𝐴与地球赤道所在平面所成的角,点𝐴处的水平面是指过点𝐴且与𝑂𝐴垂直的平面,在点𝐴处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点𝐴处的纬度为北纬40∘,则晷针与点𝐴处的水平面所成的角为
...............................................................................()
A.20∘B.40∘C.50∘D.90∘
图1:
第4题
5.(5分)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球有喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是.........................................................................()
A.62%B.56%C.46%D.42%
6.(5分)基本再生数𝑅0与世代间隔𝑇是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型∶𝐼(𝑡)=𝑒𝑟𝑡描述累计感染病例数𝐼(𝑡)随时间𝑡(单位:
天)的变化规律,指数增长率𝑟与𝑅0,𝑇近似满足𝑅0=1+𝑟𝑇.有学者基于已有数据估计出𝑅0=3.28,𝑇=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为.(ln2≈0.69)(
)
A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天
7.(5分)已知𝑃是边长为2的正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹内的一点,则𝐴⃗𝑃⋅𝐴⃗𝐵的取值范围是..(
)
A.(−2,6)B.(−6,2)C.(−2,4)D.(−4,6)
8.(5分)若定义在𝑅的奇函数𝑓(𝑥)在(−∞,0)单调递减,且𝑓
(2)=0,则满足𝑥𝑓(𝑥−1)≥0的𝑥
的取值范围..................................................................()A.[−1,1]∪[3,+∞)B.[−3,−1]∪[0,1]
C.[−1,0]∪[1,+∞)D.[−1,0]∪[1,3]
二.选择题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项选择题.
9.(5分)已知曲线𝐶∶𝑚𝑥2+𝑛𝑦2=1......................................()
A.若𝑚>𝑛>0,则𝐶是椭圆,其焦点在𝑦轴上
B.若𝑚=𝑛>0,则𝐶是圆,其半径为√𝑛
C.若𝑚𝑛<0,则𝐶是双曲线,其渐近线方程为𝑦=±
D.若𝑚=0,𝑛>0,则𝐶是两条直线
𝑚
√𝑛𝑥
10.(5分)如图是函数𝑦=sin(𝜔𝑥+𝜑)的部分图象,则sin(𝜔𝑥+𝜑)=..........()
A.sin(𝑥+𝜋)B.sin(𝜋−2𝑥)C.cos(2𝑥+𝜋)D.cos(5𝜋−2𝑥)
3366
图2:
第10题
11.(5分)已知𝑎>0,𝑏>0,且𝑎+𝑏=1,则..................................()
A.𝑎2+𝑏2⩽1
2
B.2𝑎−𝑏>1
2
C.𝑙𝑜𝑔2𝑎+𝑙𝑜𝑔2𝑏⩾−2D.√𝑎+√𝑏⩽√2
12.(5分)信息熵是信息论中的一个重要概念,设随机变量𝑋所有可能的取值为1,2⋯,𝑛,且
𝑛
𝑃(𝑋=𝑖)=𝑝𝑖>0(𝑖=1,2,⋯,𝑛),∑𝑝𝑖=1.
𝑖=1
𝑛
定义𝑋的信息熵𝐻(𝑋)=−∑𝑝𝑖log2𝑝𝑖.则以下结论中正确的是............()
𝑖=1
A.若𝑛=1,则𝐻(𝑋)=0
B.若𝑛=2,则𝐻(𝑋)随着𝑝1的增大而增大
C.若𝑝𝑖
=1(𝑖=1,2,⋯,𝑛),则𝐻(𝑋)随着𝑛增大而增大
𝑛
D.若𝑛=2𝑚,随机变量𝑌所有可能的取值为1,2⋯,𝑚,且
𝑃(𝑋=𝑗)=𝑝𝑗+𝑝2𝑚+1−𝑗(𝑗=1,2,⋯𝑚)则𝐻(𝑋)≤𝐻(𝑌)
三.填空题:
本题共4小题,每小题分,共20分
13.(5分)斜率为√3的直线过抛物线𝐶∶𝑦2=4𝑥的焦点,且与𝐶交于𝐴,𝐵两点,则𝐴𝐵=
.
14.(5分)将数列{2𝑛−1}与{3𝑛−2}的公共项从小到大排列得到数列{𝑎𝑛},则{𝑎𝑛}的前𝑛项和为
.
15.(5分)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示,𝑂为圆孔及轮廓圆弧𝐴𝐵所在圆的圆心,𝐴是圆弧𝐴𝐵与直线𝐴𝐺的切点,𝐵是圆弧𝐴𝐵与直线𝐵𝐶的切点,四边形𝐷𝐸′𝑐为矩形,𝐵𝐶⟂𝐷𝐺,垂足为𝐶.tan∠𝑂𝐷𝐶=3,𝐵𝐻//𝐷𝐺,𝐸𝐹=12𝑐𝑚,𝐷𝐸=2𝑐𝑚,𝐴
5
到直线𝐷𝐸和𝐸𝐹的距离均为7𝑐𝑚,圆孔半径为1,则图中阴影部分的面积为cm2.
图3:
第15题
16.(5分)已知直四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长均为2,∠𝐵𝐴𝐷=60∘.以𝐷1为球心,√5为半径的球面与侧面𝐵𝐶𝐶1𝐵1的交线长为
四.解答题本大题共70分
17.(10分)在𝑎𝑐=√3,➁𝑐sin𝐴=3,𝑐=√3𝑏这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求𝑐的值;若问题的三角形不存在,说明理由,问题:
是否存在△𝐴𝐵𝐶,
它的内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐,sin𝐴=√3sin𝐵,𝐶=𝜋,注:
如果选择多个条件分别解
6
答,按第一个解答计分.
18.(12分)已知公比大于1的等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎2+𝑎4=20,𝑎3=8.
(1)求{𝑎𝑛}的通项公式;
(2)记𝑏𝑚为{𝑎𝑛}在区间(0,𝑚](𝑚∈𝑁")中的项的个数,求数列{𝑏𝑛}的前100项和𝑆100.
19.(12分)为了加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位𝜇g/m3,得下表:
PM2.5\SO2
[0,50]
(50,150]
(150,475]
[0,35]
32
18
4
(35,75]
6
8
12
(75,115]
3
7
10
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;
(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表
PM2.5\SO2
[0,150]
(150,475]
[0,75]
(75,115]
(3)根据
(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2
浓度有关?
附:
𝐾2
𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2
=(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)
20.(12分)如图,四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面为正方形,𝑃𝐷⟂底面𝐴𝐵𝐶𝐷,设平面𝑃𝐴𝐷与平面
𝑃𝐵𝐶的交线为𝑙.
(1)证明:
𝑙⟂平面𝑃𝐷𝐶;
(2)已知𝑃𝐷=𝐴𝐷=1,𝑄为𝑙上的点,求𝑃𝐵与平面𝑄𝐶𝐷所成角的正弦值的最大值.
图4:
第20题
21.(12分)已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑒𝑥−1−ln𝑥+ln𝑎.
(1)当𝑎=𝑒时,求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓
(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若𝑓(𝑥)≥1,求𝑎的取值范围.
22.(12分)已知椭圆𝐶∶𝑥2+𝑦2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为√2,且过点𝐴(2,1).
𝑎2𝑏22
(1)求𝐶的方程;
(2)点𝑀,𝑁在𝐶上,且𝐴𝑀⟂𝐴𝑁,𝐴𝐷⟂𝑀𝑁,𝐷为垂足.证明:
存在定点𝑄,使得|𝐷𝑄|
为定值.