高考数学山东卷学生版.docx
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高考数学山东卷学生版
2020年高考数学山东卷
满分150分,120分钟完成,允许使用计算器，答
案一律写在答题纸上.
2020.07
一.选择题本题共8小题，每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（5分）设集合𝐴={𝑥|1≤𝑥≤3},𝐵={𝑥|2<𝑥<4},则𝐴∪𝐵=................（）
A.{𝑥|2<𝑥≤3}B.{𝑥|2≤𝑥≤3}C.{𝑥|1≤𝑥<4}D.{𝑥|1<𝑥<4}
i
2.（5分）2−i
1+2
=.............................................................（）
A.1B.−1C.iD.−i
3.（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有..................（）
A.120种B.90种C.60种D.30种
4.（5分）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间。
把地球看成一个球（球心记为𝑂），地球上一点𝐴的纬度是指𝑂𝐴与地球赤道所在平面所成的角，点𝐴处的水平面是指过点𝐴且与𝑂𝐴垂直的平面，在点𝐴处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点𝐴处的纬度为北纬40∘，则晷针与点𝐴处的水平面所成的角为
...............................................................................（）
A.20∘B.40∘C.50∘D.90∘
图1:
第4题
5.（5分）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球有喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是.........................................................................（）
A.62%B.56%C.46%D.42%
6.（5分）基本再生数𝑅0与世代间隔𝑇是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型∶𝐼（𝑡）=𝑒𝑟𝑡描述累计感染病例数𝐼（𝑡）随时间𝑡（单位:
天）的变化规律，指数增长率𝑟与𝑅0,𝑇近似满足𝑅0=1+𝑟𝑇.有学者基于已有数据估计出𝑅0=3.28,𝑇=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为.（ln2≈0.69）（
）
A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天
7.（5分）已知𝑃是边长为2的正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹内的一点,则𝐴⃗𝑃⋅𝐴⃗𝐵的取值范围是..（
）
A.（−2,6）B.（−6,2）C.（−2,4）D.（−4,6）
8.（5分）若定义在𝑅的奇函数𝑓（𝑥）在（−∞,0）单调递减，且𝑓
（2）=0,则满足𝑥𝑓（𝑥−1）≥0的𝑥
的取值范围..................................................................（）A.[−1,1]∪[3,+∞）B.[−3,−1]∪[0,1]
C.[−1,0]∪[1,+∞）D.[−1,0]∪[1,3]
二.选择题:
本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项选择题.
9.（5分）已知曲线𝐶∶𝑚𝑥2+𝑛𝑦2=1......................................（）
A.若𝑚>𝑛>0,则𝐶是椭圆，其焦点在𝑦轴上
B.若𝑚=𝑛>0,则𝐶是圆，其半径为√𝑛
C.若𝑚𝑛<0,则𝐶是双曲线，其渐近线方程为𝑦=±
D.若𝑚=0,𝑛>0,则𝐶是两条直线
𝑚
√𝑛𝑥
10.（5分）如图是函数𝑦=sin（𝜔𝑥+𝜑）的部分图象，则sin（𝜔𝑥+𝜑）=..........（）
A.sin（𝑥+𝜋）B.sin（𝜋−2𝑥）C.cos（2𝑥+𝜋）D.cos（5𝜋−2𝑥）
3366
图2:
第10题
11.（5分）已知𝑎>0,𝑏>0,且𝑎+𝑏=1,则..................................（）
A.𝑎2+𝑏2⩽1
2
B.2𝑎−𝑏>1
2
C.𝑙𝑜𝑔2𝑎+𝑙𝑜𝑔2𝑏⩾−2D.√𝑎+√𝑏⩽√2
12.（5分）信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量𝑋所有可能的取值为1,2⋯,𝑛,且
𝑛
𝑃（𝑋=𝑖）=𝑝𝑖>0（𝑖=1,2,⋯,𝑛）,∑𝑝𝑖=1.
𝑖=1
𝑛
定义𝑋的信息熵𝐻（𝑋）=−∑𝑝𝑖log2𝑝𝑖.则以下结论中正确的是............（）
𝑖=1
A.若𝑛=1,则𝐻（𝑋）=0
B.若𝑛=2,则𝐻（𝑋）随着𝑝1的增大而增大
C.若𝑝𝑖
=1（𝑖=1,2,⋯,𝑛），则𝐻（𝑋）随着𝑛增大而增大
𝑛
D.若𝑛=2𝑚,随机变量𝑌所有可能的取值为1,2⋯,𝑚，且
𝑃（𝑋=𝑗）=𝑝𝑗+𝑝2𝑚+1−𝑗（𝑗=1,2,⋯𝑚）则𝐻（𝑋）≤𝐻（𝑌）
三.填空题:
本题共4小题，每小题分，共20分
13.（5分）斜率为√3的直线过抛物线𝐶∶𝑦2=4𝑥的焦点,且与𝐶交于𝐴,𝐵两点，则𝐴𝐵=
.
14.（5分）将数列{2𝑛−1}与{3𝑛−2}的公共项从小到大排列得到数列{𝑎𝑛},则{𝑎𝑛}的前𝑛项和为
.
15.（5分）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，𝑂为圆孔及轮廓圆弧𝐴𝐵所在圆的圆心，𝐴是圆弧𝐴𝐵与直线𝐴𝐺的切点,𝐵是圆弧𝐴𝐵与直线𝐵𝐶的切点,四边形𝐷𝐸′𝑐为矩形，𝐵𝐶⟂𝐷𝐺，垂足为𝐶.tan∠𝑂𝐷𝐶=3，𝐵𝐻//𝐷𝐺，𝐸𝐹=12𝑐𝑚,𝐷𝐸=2𝑐𝑚,𝐴
5
到直线𝐷𝐸和𝐸𝐹的距离均为7𝑐𝑚,圆孔半径为1,则图中阴影部分的面积为cm2.
图3:
第15题
16.（5分）已知直四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长均为2,∠𝐵𝐴𝐷=60∘.以𝐷1为球心，√5为半径的球面与侧面𝐵𝐶𝐶1𝐵1的交线长为
四.解答题本大题共70分
17.（10分）在𝑎𝑐=√3,➁𝑐sin𝐴=3,𝑐=√3𝑏这三个条件中任选一个，补充在下面问题中,若问题中的三角形存在，求𝑐的值;若问题的三角形不存在，说明理由,问题:
是否存在△𝐴𝐵𝐶,
它的内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐,sin𝐴=√3sin𝐵,𝐶=𝜋,注:
如果选择多个条件分别解
6
答，按第一个解答计分.
18.（12分）已知公比大于1的等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎2+𝑎4=20,𝑎3=8.
（1）求{𝑎𝑛}的通项公式;
（2）记𝑏𝑚为{𝑎𝑛}在区间（0,𝑚]（𝑚∈𝑁"）中的项的个数,求数列{𝑏𝑛}的前100项和𝑆100.
19.（12分）为了加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位𝜇g/m3,得下表:
PM2.5\SO2
[0,50]
（50,150]
（150,475]
[0,35]
32
18
4
（35,75]
6
8
12
（75,115]
3
7
10
（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率;
（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表
PM2.5\SO2
[0,150]
（150,475]
[0,75]
（75,115]
（3）根据
（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2
浓度有关?
附:
𝐾2
𝑛（𝑎𝑑−𝑏𝑐）2
=（𝑎+𝑏）（𝑐+𝑑）（𝑎+𝑐）（𝑏+𝑑）
20.（12分）如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面为正方形，𝑃𝐷⟂底面𝐴𝐵𝐶𝐷，设平面𝑃𝐴𝐷与平面
𝑃𝐵𝐶的交线为𝑙.
（1）证明:
𝑙⟂平面𝑃𝐷𝐶;
（2）已知𝑃𝐷=𝐴𝐷=1，𝑄为𝑙上的点，求𝑃𝐵与平面𝑄𝐶𝐷所成角的正弦值的最大值.
图4:
第20题
21.（12分）已知函数𝑓（𝑥）=𝑎𝑒𝑥−1−ln𝑥+ln𝑎.
（1）当𝑎=𝑒时,求曲线𝑦=𝑓（𝑥）在点（1,𝑓
（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
（2）若𝑓（𝑥）≥1,求𝑎的取值范围.
22.（12分）已知椭圆𝐶∶𝑥2+𝑦2=1（𝑎>𝑏>0）的离心率为√2，且过点𝐴（2,1）.
𝑎2𝑏22
（1）求𝐶的方程;
（2）点𝑀,𝑁在𝐶上，且𝐴𝑀⟂𝐴𝑁，𝐴𝐷⟂𝑀𝑁，𝐷为垂足.证明：
存在定点𝑄，使得|𝐷𝑄|
为定值.
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