圆周率万的历史演算与历史作用.docx

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圆周率万的历史演算与历史作用

圆周率万的历史演算与历史作用

摘要:

自人类有文字记载的历史开始，人们对圆周率就怀有极大兴趣,它作为重要常数最初是为了解决有关圆的计算而提出,具有应用的迫切性,随着社会的发展与科技的进步，对值的计算精度越来越高,对此几千年来数学家用自己的聪明才智进行了不懈的努力,出现了许多可歌可泣的感人故事。

本文查阅数学史对的计算过程,着力反映计算技术在实验法、几何法、分析法、计算机四个阶段的发展状况以及总结值历史作用,期望以史为鉴更好的发展数学事业。

关键词:

圆周率实验法几何法分析法计算机作用

了解圆周率的演算历史与历史作用,对于我们更好的继承和发展数学事业都具用重要意义。

1圆周率的历史演算

圆周率π是数学常数,它是圆的周长和直径的比,在社会生产与实践中应用是非常广泛的,圆周率的演算精度在某种意义上反映国家的数学水平。

1.1通过实验演算值

演算值的初级阶段发生在公元前950年前后,是通过实验为依据,是根据对圆的周长与直径的测量演算得来。

在古代人们把等于3长期应用,如基督教《圣经》中取为3,在印度、巴比伦等也长期使用=3这个简约数值。

在《周髀算经》中对圆周率有过“圆周三径一”这样的描述,意思是圆的直径是1,周长大概为3,这说明了人类早期对值的估算,在东汉时期官方公布古率明确规定圆周率等于3,并以此来计算圆的面积。

人类的早期还应用其它不精确的方法来推算值。

如古希腊与古埃及人曾经用谷粒摆在圆周之上,以粒数与方形对比的办法获得值,还用质地均匀木板锯得圆形和方形以其重量的比获得值等获得圆周率的许多值,如古埃及人将=3.1605使用近四千年,公元前6世纪印度人曾取3.162,在我国西汉之初王莽命令刘歆造量的容器“律嘉量斛”,在造容器的过程中刘歆就用到圆周率值,为此他通过做实验,获得一些关于圆周率的一组近似值,分别为3.1547、3.1992、3.1498、3.2031,这已比径一周三的古率大大进步了,这种人类经粗糙计算得出的数据,主要用于计算园田面积,由于数值不够精确在当时没有产生较大影响,但用这些值来制造器皿等误差就明显太大了。

1.2通过几何法演算值

通过简易测量的方法演算出的值是很粗略的,阿基米德科学地研究了圆周率,使圆周率的演算发展到中级阶段,他对值的演算建立了数学的方法而非通过测量的手段,将值精确到任意精度,从此使圆周率的演算建立在数学科学为基础。

圆周长界于其外切正四边形与内接正四边形之间,所以4>>,显然这是不精确的,阿基米德将正多边形的边数增加,曾使用了正96边形来演算值,从而使阿基米德所求圆周率的精度越来越高,在他的著作《圆的测定》一书中首次创造性地利用下界与上界来更精确地确定值,利用几何法对圆周长和其直径的比界于与之间进行证明,并得出误差的估计值,此种数学演算方法从理论上讲重要的是所求得的圆周率值更加精确。

阿波罗尼奥斯经长时间的演算得到的值为3.1416,在公元前150年前后由希腊天文学家托勒密获取的值为3.1417,并取得近似值为377与120之比,这些都是自从自阿基米德以后所取得的伟大成就。

我国首先最早在公元263年左右由数学家刘徽得到比较准确的值。

刘徽采用当时先进的割圆术得到等于3.14,并提出它是不足近似值,他研究割圆术的时代虽比阿基米德稍晚点,但他与阿基米德相比从方法上更有独到地方,只用圆的内接正n边形可以给出的上界与下界,此做法比阿基米德利用外切与内接正n边形来确定值要简便了许多,此外刘徽通过对割圆术的研究过程中给出了一种奇妙的计算方法,他把分割成的192边形的若干个粗略的近似值使用简单的加权平均的方法,得到圆周率值的4位有效数字3.1416,对这一结论刘徽曾说过,若使用割圆的方法来计算得到这个数值,就要割至3072边形,此种相对精确的计算方法的效果是神奇的,这种奇特的计算方法是割圆术中最精彩的,可惜的是由于当时人们没能对它有正确理解而未被重视。

我们都知道祖冲之对圆周率所做出巨大贡献,在史书《隋书·律历志》中有许多关于祖冲之对圆周率演算的记载,他对圆周率的演算有巨大成就,求得圆周率介于3.1415926和3.1415927之间,其精确度进一步提高,并且求得的两个替代分数,它们分别是约率22/7和密率355/113,他演算出的值有八位,此成果是当时最精确的,在世界上保持了近千年记录,并且在1912年日本数学家三上义夫为纪念祖冲之的研究成果提出将等于355/113叫做祖率。

为什么祖冲之能够获得这个巨大成果？

是建立在刘徽割圆术方法基础之上的并对它进行有效的发展与传承,所以对祖冲之的成就大加赞誉时,要清楚他是站在数学大师刘徽的有力的臂膀之上的原因,若要只利用演算圆的内接多边形边长这种方法想获得这个精确结论,后人做过推算,它需要演算至少圆内接正12288边形才可以获得这一精确度值,祖冲之还可能利用了其它的奇妙方法来简化计算过程,由于记录他个人成果的书《缀术》已遗失了,有关这点已不可查询了,这在我国数学史上非常令人惋惜也是巨大的损失。

祖冲之创造出的成就在世界上享有盛誉,比如我国已发行纪念他的邮票,人们于1964年11月9日在紫金山天文台观测到的小行星取名为祖冲之星,苏联人于1959年观测到的月球环形山脉取名祖冲之山,法国在发现宫的科学博物馆内墙壁之上撰文专门表述祖冲之的伟大功绩,在苏联莫斯科大学的走廊里矗立着祖冲之的大理石雕塑。

祖冲之表示值选择用两个简单的分数,一般情况下不会引起人们的注意,但是这点在数学上具有极其有重要的意义,与密率（只用到了1、3、5这三个数字）的近似度很接进,它在形式上却十分简并很优美,有数学家专门做了验证后得出:

在所有分数中当分母不大于16603时没有发现其它分数比密率更趋近于,西方人取得这个成果是在祖冲之之后的一千多年,可以坦率的讲祖冲之获得密率是一件非常了不起的事情。

祖冲之是使用什么方法获得这样精确的结论的呢？

由于当时的文献没有承传下来,后人对它也做了各种各样的推测,那么就让我们一起考查一下国外数学历史,或许能够找到一些线索。

德国于1573年经数学家奥托研究后获得这个结论,他就将托勒密的结论和阿基米德的结论中分子、分母分别相减而合成,即:

;荷兰于1858年由安托尼兹将阿基米德的结论中上限与下限取平均数进行了合成,得到了此结论,即:

[（333+377）/2]/[（106+120）/2]=355/113。

两人都获得了祖冲之的密率,但纯粹是巧合,没有任何道理。

在17世纪日本数学家关孝和在求值时建立零约术,它实际上是采用加成法去求得近似分数的办法可以获得祖冲之的约率与密率,他选取3、4为母近似值,经依次六次加成便获得约率22/7,经一百十二次加成便获得密率355/113,他的弟子对此种办法进行了改进,找出从附近的过剩或不足近似值中就近加成的方法,其实质是前面已讲到的加成法,这样自3、4为起点经六次加成获得约率22/7,经七次加成获得25/8,就近和紧邻的22/7进行加成获得47/15,这样经过23次加成方可得密率355/113。

在《中国算学史》中记载着钱宗琮有关祖冲之圆周率计算方法的推测,他推演了祖冲之在获得密率的计算过程,经算得加成权数x=9,并采用把徽率157/50和约率22/7作母近似值,这样计算:

（157+22×9）/（50+7×9）=355/113,从而获得密率,并且钱宗琮对祖冲之的计算过程给了高度解读与评价。

另外还有一种推测是采用连分数的办法,利用更相减损术来求两个正整数的最大公约数早在《九章算术》已有记载,因此利用这一工具来求近似分数存在着可能性,便有人认为祖冲之在求出盈二数以后再利用这种方法把3.14159265表达为连分数,于是得出其渐近连分数:

22/7、336/106、355/113、102573/32650…最后把精确度较高、分子和分母又较小的分数355/113作的近似数,英国的博士李约瑟也是这样考虑的,他在《中国科学技术史》中对祖冲之所研究的密率进行了较高的评价,由于祖冲之得到的密率是一些渐分数、连分数,所以是一个了不起的成果。

我们再来研究一下国外对圆周率所作出的贡献,印度阿耶哈达在公元450年左右获得=3.1416;中亚与西亚地区在1424年前后由数学家卡西经过演算805306368个内接与外切正多边形的周长,最终得到=3.14159265358979325,这个值有十个有效数字从而首次突破由祖冲之所创造的记录;法国在16世纪由数学家韦达运用阿基米德的演算方法,采用216×6个正边形计算得到有9位有效数字的值,他仍沿袭了阿基米德的研究方式,由于他采用了十进位制数,从而使韦达有了先进的工具,也获得了更高精度的值;德国数学家鲁道夫在17世纪用一生的时间来研究值,他采用十进制数并与阿基米德的研究方法相结合,他开始时未从正六边形入手并把它的边数增倍,而是从正四边形入手一直推出262条边的正多边形,最多达到大概4610000000000000000边形,经计算得出值中有36个有效数字,在德国为缅怀他作出的这一伟大成就固把命名为“鲁道夫数”。

前面讲了运用几何法求值,它的计算繁杂,会穷尽数学家一生的心血,鲁道夫的计算已经到了巅峰,古典方法再不能向前推进了,在17世纪数学分析的发现促使的演算过程也进入全新的历程。

1.3通过分析法演算值

利用分析法求值的时期是通过无穷级数来计算,它已经突破求多边形周长的繁杂演算过程,此时对已给出精确表示与充分的理性认识。

1579年数学家韦达得出的最早分析表达式:

这个公式十分的优美,至今也令人们欣赏赞叹,公式中仅出现数字2,使用乘、除、开平方与加法等系列的运算就得出值。

后来相继对给出多种表现形式,比如在1650年由英国科学家约翰·沃利斯提出:

;在1650年由英国数学家罗尔德·布隆克尔提出:

在1671年由苏格兰数学家詹姆斯·格雷里奇提出:

这些式子都是首次精确表达值,但是运用它去计算值时耗费时间与精力,想把值精确至小数点后第二位就得演算几百项。

创建微积分的数学家牛顿提出:

牛顿运用这个公式大大简化了值的计算过程;大数学家欧拉于18世纪对值提出新的计算:

…,…从形式上看两个表达式是十分简洁与完美的,但计算出的值的效果并不好;数学家亚伯拉罕·夏普于1699年运用詹姆斯的结论算出值有72位有效数字;数学家梅钦于1706年提出的表达式:

他运用级数展开的方法计算值到小数点后100位,为纪念他的成果,表达式以他的名字来命名;法国代·拉尼于1719年把值精确到小数点后第112位;德国兰伯特于1767年经过证明提出值是无理常数;法国勒让德于1794年再经过证明得出也是无理数;达塞于1844年得到公式:

并运用此公式对值取得第200位小数的成就;在1853年德国卢瑟福竟然把值精确至小数点后的400位。

在1882年由德国林德曼提出并得到证明为超越数,它不是整系数代数方程的解,从此解决了困扰人们近二千年的数学难题即不可化圆为方,从而极大的突破了对认识。

在1873年由美国菲格森把值精确至小数点后的710位;佛格森与小伦奇于1947年共同研究并得到值的小数点后的808位,创造了用人工计算值的世界最高记录。

求值不同的类似公式在19世纪后出现很多,精确度也越来越高,谢克斯在1873年运用梅钦的级数公式把计算至小数点后707位,他用了20年时间才获得这项世界纪录,为歌颂他顽强精神与坚韧毅力,人们在他去世后把凝聚他一生心血值刻在他的墓碑之上,他获得的这个举世的成就成为以后74年内为人们深信不疑的最高记录。

数学家弗格森在若干年后对谢克斯的计算有疑虑,他大胆地进行了猜想,值中虽然数字的排列确实不存在规则,但各个数字出现的几率似乎相近,于是他对谢克斯的值做了统计后提出数字的出现并不均等,于是使他产生了怀疑。

从1944年至1945年的一年时间内他采用了当时最优秀的计算手段进行计算,找到从第528位开始是错误的,之后的一百多位数字全部有问题,谢克斯的大半成果就这样被无情地一笔抹去了,但谢克斯作为毅力坚强的计算者自愿献出大半生精力从事值的计算工作而无报酬,这种在数学上的不懈追求精神是值得我们学习的。

1.4通过计算机演算值

世界上首台计算机ENIAC于1946年问世,随着电脑时代的开启出现了计算方面的根本革命,1949年在计算机上根据梅钦的计算公式将值计算至小数点后2035位,计算时间仅为70小时,由于计算机的发展速度非常快,导致值的计算记录被一次次打破。

印度数学家拉马努金在19世纪初提出一个高效的计算值的数学公式:

由于公式中出现四次方导致它高速趋近于的真实值,每一步计算都可以增长8位有效数字,1985年人们使用这个公式对值进行计算后得到小数点后一千七百万位数字;法国裘努埃于1959年运用IBM704将值计算至小数点后16167位;美国香克斯与伦奇于1961年运用IBM7097将值计算至小数点后100265位;法国吉劳在1966年运用STRETCH将值计算至小数点后250000位;法国吉劳在1967年运用CDC6600把值计算至小数点后500000位;法国吉劳在1973年把值计算至100万位小数,并把此成果编成世界上最

日本东京大学教授金田康于1999年对值已获得小数点后2061.5843亿位,据最新消息讲他正使用超级计算机算得值的小数点后一兆二千四百一十一亿位,改写了两年前由他创造的纪录,现在虽然打破记录,但不管推进至多少位也不至令人感到惊喜,事实上将值算得如此精确其应用的作用已不大,在科技方面所运用值有十多位就已足够了,若运用鲁道夫得出的仅36位有效数字的值来演算能将太阳系包括在内圆的周长,其误差不足于质子直径的1/1000000。

2值的历史作用

是什么原因使数学家对的计算一直不能停步呢？

是什么原因对值有这样的兴趣呢?

这里面除了有人类的对新生事物的探索追求和想超越他人的想法之外,还有其它更加重要的理由。

（1）通过值的计算以检测超级巨型计算机的各种性能。

通过值的计算以检测计算过程的稳定性与计算速度,以便通过检测结果对计算机进行改进,比如当Intel公司将奔腾（Pentium）计算机推出时就是通过计算值发现此计算机中存在一个小问题,这就是值的计算到目前为止还不能停步的重要原因之一。

（2）通过计算值的思路与演算方法可发现新的数学概念与数学思想方法。

即使计算机的运算值速度非常高,但还要求由数学家精心编制值的运算公式与程序以指导计算机进行运算,如果将的演算历程划分出计算机时代时,但绝不意味着它在计算的方式与方法上有什么改进,仅仅是所采用的计算工具上有所突破罢了,所以研究怎样改进计算技术、发现更加精确的计算公式并使其公式收敛得更快更好、并能快速地达到极高精度等这些问题仍是数学家们要研究的重大问题,比如印度现代著名数学家拉马努金发现许多非常好的结论,运用他的公式能精确并迅速地演算出的高位近似值,他的结论给出了更加精准地演算值的明确思路,可见的计算过程是人类数学发展的胜利但它绝不是机器的胜利。

人类是否能做到无限地对值的计算进行下去,依据朱达偌夫斯基的估算人类是做不到的,人类最多能对计算到位,尽管目前人类距离这一极限位置还很遥远,但它的计算终究是有界限的,为了探究这一界限是否存在、是否受到这一界限的阻碍,人类就要从算理上有新的质的飞跃,要牢记并杜绝谢克斯式的在计算史上发生过的惨痛的教训,唯有探求新的计算方法。

有人提出对计算时能否做到不从头进行而要从中间开始,这种大胆的想法是要探索并行计算公式,计算的并行计算公式终于1996年被发现,只不过它是16进制的公式,由它可得到的1000亿位的小数,如何把这16进制的公式转化成10进制的并行计算公式是将来数学面临的一个难题。

（3）通过值的计算检验数学理论层面的问题。

人们希望将的无穷级数展开至亿位,并通过此过程能够给出充分的数据以检验人们所提出的一些理论层面的问题,从中可推出大量神奇的性质,比如要考查在的十进制展开式中有些数字较稀疏、有些较稠密,数字出现的几率是否相等,还是它们完全随意等。

最早提出在的数值中各数字出现的几率应该相等的是数学家弗格森,就是这种猜测为发现与纠正谢克斯在计算值过程中出现的失误找到了根据,弗格森想验证自己的猜测是否成立他却做不到,他人也是由于知道的值的位数有限而无法去验证猜想,所以人们对其正确性也就产生了怀疑,比如在的近似值中0出现的几率开始时很少,0在第32位首次出现,但是随着的近似值的增加,这种情况出现了变化,第8个0出现在100位内,第19个0出现在200位内,第999,440个0出现在1000万位以内,第599,963,005个0出现在60亿位内……所占比率为1／10,其它数字出现的情况也有相似的结论,虽然稍有偏差但都控制在1/10000以内。

这些问题看似无聊,只有那些思想敏锐的人才会问这些简单的问题,相信人类终将会得出许多有用的结论,从而推动数学的发展。

人们很久以来就在的展开式中努力查找素数,起初在相当长的一段时间里经过艰难试除确定314159是六位数素数,于1979年两位美国数学家发现并证明在的数列中有长达38位素数31415926535897932384626433832795028841,并称之为“天文素数”,后来麦文在的数列中又发现存在长度达432位的素数,从此以后再没有新的发现。

（4）通过值的计算了解值中数字的出现有没有固定模式。

人们追求能够在十进制中通过统计分布对数字进行研究,以此来寻觅存在的可能模型,但至今为止还没有找到这类模型。

人们还想知道在值中是否存在无限的样式变化,即是否存在任意样式的数字排布,大数学家希尔伯特就曾提出在的十进制数中是否存在10个9在一起,就目前得到的60亿位数来作考察已经发现有6个9在一起,此问题的回答应得以肯定,只要的数位有足够长,什么形式的数字排布皆会出现,只不过是时间问题而已。

据统计在值的60亿数字之中已经有连续的10个6、9个7、8个8,从小数部分第3204765位和第710150位以后都有连续7个3,值的前八位在小数部分第52638位后也同样出现,有趣排列876543210出现于小数部分第2747956位,只是缺个9,还有123456789也出现,只是缺个0,虽然数列314159重复出现6次,但数列0123456789从未出现过,这一点对人们有启发作用。

参考文献

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