数学一轮复习文科苏教江苏专用配套多媒体实用课件第十一章计数原理112.docx

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数学一轮复习文科苏教江苏专用配套多媒体实用课件第十一章计数原理112

•第2讲直接证明与间接证明

•考试要求1.分析法和综合法的思考过程和特点zA级要求；2.皮证法的思考过程和特点zA级要求.

•1.直接证明

内容

综合法

分析法

定义

利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立

从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止

实质

由因导果

执果索因

•续表

框图

表示

P30L0戶02—

PiUBf得

到一个明显成立的条件

文字

语言

因为……所以……

或由……得……

要证……只需证……

即证……

•2.间接证明

•间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.

•

（1）反证法的定义：

假设獗命题（即在

原命题的条件下，结论不成立），经述正确的推理，最后得出—成因此说明假设错误，从而证明的证明方法.

•

（2）用反证法证明的一般步骤：

①反设一假设命题的结论不成立；②归谬一根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论一断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.

•诊断自测

-1.思考辨析（在括号内打％”或“X”）

•

（1）综合法是直接证明，分析法是间接证明

・（）

•

（2）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻

找使结论成立的充要条件.x

（）X

•（3）用反证法证明结论时，应假设

“W・（）

•（4）反证法是指将结论和条件同时否定，推

屮■店'（、

•2.（2014•山东卷改编）用反证法证明命题"设d

/b为实数,则方程/+ax+b=0至少有一个实根〃时,要做的假设是.

•解析因为"方程塔+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方^x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程W+ox+XO没有实根”・

•答案方^x3+ax+b=0没有实根

•3.设d=lg2+lg5,b=ex（x<0）,贝！

Jo与Z?

的大

小关系为•

•角军析。

二lg2+lg5=1zb=ex,当xvO日寸,0

•a>b.

•答案a>b

4.若a,b,c为实数，且a

①ac2

②a2>ab>b2；③;④夕〉艮则上述不等式正确的个数为

•解析a2-ab=a（a-b）,

••i・・ajZ?

<0,，-ab>0]

•a2>ab.①

•又ab-b2=b（a-Z?

）>0zab>b2,②

•由①②得Q2>ab>b2.

•答案1

•5.在ZV1BC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且4,B,C成等差数列，a,b,c成等比数列，则△ABC的形状为

■

解析iL题意2B=/1+C,

又A+B+C=7c,・°・B=扌，又b2=ac,

ac,

由余弦定理得Z?

2—«2+c2—2accosB—a2~\~c2

•—2qc=0,即（g—c）2=0,••CI-—Cy

71

AA=C,J.A=B=C=y

・•・AABC为等边三角形.

•答案等边三角形

考点一综合法的应用

【例1】设a,b,c均为正数，且a+b+c=l,证明：

1/b2c2（l）db+bc+QcWg；

（2）万+：

+万三1.

证明⑴由a2-\~b2^2ab,b2~\~c2^2bc,c2-}~a~^2ac得

+方2+C?

三ob+be+Cd・

由题设得（a+b+c）2=1,

即a2+Z?

2+c2+2aZ?

+2/?

c+2cd!

—1.

所以3（db+bc+co）W1,即ab+bc+caW寸.

当且仅当a=b=c=壬时，等号成立.

q2b2c2

（2）因为石—+c±2b,万+q22c，

C,Cl

故£+号+¥+（a+b+c）$2（d+b+c）,

即*+7+詩a+b+c.所以牛+2+詩1.

•规律方法用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适用范围：

（1）定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式；

（2）已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型・在使用综合法证明时,易出现的错误是因果关系不明确,逻辑表达混乱.

Shabc

【训练1】在厶ABC中，设CB=a,CA=b,求证:

—（a-b）2.

•IS爲严尹2|亦si『C

199ab?

=4lal血中-[丽J_=^[\a\2\b\2—（a-b）2]

Sz\abc=f/|"「I〃F—（a切2•

考点二分析法的应用

【例2】已知。

习>0,求证：

2a3-b3^2ab2—cfib.

证明要证明2/—b3>2ab2-a2b成立，

只需证：

2a3-b3-2ab2+a2b>Q,

即2a（a2—b2）+b（a2—&2）>0,

即（a+b）（a—b）（2a+b）>0.

'：

a>b>0^:

.a—b>0,a+b>Q,2a+b>0从而（a+b）（a—b）（2a+b）N0成立,

•CJ一fQJ

•规律方法

（1）分析法采用逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法/特别是含有根号、绝对值的等式或不等式/从正面不易导时/常考虑用分析法.

（2）应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的,它的常用书面表达形式为“要证……只需证……”或用T.注意用分析法证明时,一定要严格按照格式书写■

八，亠■「j八、十［a^rmb\a+mb1

【训练2】已知加＞0,q,bWR，求证：

⑺万件加-证明•・•加＞0,・・・1+加＞0.所以要证原不等式成立，只需证（a+加b）?

W（l+m）（ti2+mZ?

2）即证m（a2—2ab+Z?

2）20,即证（°—b）2^0,而（a-b）2^0显然成立，故原不等式得证.

考点三反证法的应用

【例3】设｛%｝是公比为g的等比数列.

⑴推导｛%｝的前〃项和公式；

（2）设gHl,证明数列｛色+1｝不是等比数列

（1）解设｛陽｝的前〃项和为S”

当g=l时,Sn=ax+ax~\ax=na^

当日寸,S〃=d]+aig+d]g2axqn~l

①

gS“=0]g+0]g2。

川,

②

■⑷（1—c

nci\，1，・°・S”=

_i，qHl

Ii_q

（2）证明假设a+l｝是等比数列，则对任意的Z：

EN*,

（族+1+1）2=（以+1）（族+2+1），

显+]+2攻+]+1=族族+2+族+族+2+1，

+2a才=a詁1+°了+'9

ViZjT^O,A2qk=qk~i+qk^\

TqHO,Aq2~2q+1=0,

A^=b这与已知矛盾.

・•・假设不成立，故a+i｝不是等比数列.

•规律方法用反证法证明不等式要把握三点：

（1）必须先否定结论,即肯定结论的反面；⑵必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证;⑶推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的・

•ilfc训纟期L甩矩Wfe如早遜明关＞才程处

减宣昱旱喜丽年躺的根，即祇i=b,①

CIX2~~b，②

由①一②得。

（％1—兀2）=0，

因为X\工兀2,所以兀1—兀2工0,

所以0=0,这与已知矛盾，故假设错误.

所以当0工0时，方程ax=b有且只有一个根.

•［思想方法］

•1.综合法的特点是：

以“已知”看“可知”

逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件.

•分析法的特点是：

从“未知”看“需知”

逐步靠拢“已知”，逐步寻找结论成立的充分条件.

•2.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推岀结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.

•3.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，没有用假设命题推理而推岀矛盾结果，其推理过程是错误的.

•［易错防范］

•注意推理的严谨性，在证明过程中每一步推理都要有充分的依据，这些依据就是命题的已知条件和已经掌握了的数学结论，不可盲目使用正确性未知的自造结论.在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.