初中几何等腰三角形典型例题.docx

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初中几何等腰三角形典型例题

初中几何等腰三解形性质及典型试题

一.重点、难点：

重点：

理解和掌握等腰三角形以下性质：

1.等腰三角形轴对称性质；

2.等边对等角；

3.三线合一。

难点：

1.推导性质。

通过操作，观察、分析、归纳得出等腰三角形性质的过程。

2.应用性质。

等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换。

二.知识要点

1.等腰三角形的有关概念。

首先要能根据边的长短识别和判断等腰三角形；其次，能够明确指出已知的等腰三角形的顶角、底角、腰和底边。

如图，△ABC中，若AB、BC、AC三边中有其中两边相等，则△ABC称为等腰三角形。

（1）

（2）（3）

图

（1）中AB＝AC，图

（2）中AC＝BC，图（3）中AB＝BC。

相等的两边称为等腰三角形的腰，另一边称为等腰三角形的底边；两腰的夹角称为等腰三角形的顶角，另外两个角称为等腰三角形的底角。

你能指出上述三幅图中的腰、底边，顶角和底角吗？

2.等腰三角形的轴对称性。

通过折纸操作认识探索等腰三角形的轴对称性。

明确等腰三角形的对称轴是等腰三角形顶角平分线所在的直线（不是顶角平分线本身）。

根据轴对称图形的概念我们知道：

如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫轴对称图形。

如果在△ABC中，AB＝AC，我们画出顶角∠BAC的平分线AD，沿着AD对折△ABC会发现什么结论？

通过操作显示出等腰△ABC是一个轴对称图形。

它的对称轴就是角平分线AD所在的直线。

（这里要注意到对称轴的概念——直线，而△ABC的顶角平分线是一条线段即这里的折痕，不能把它们混为一谈，同时也要把一般角的平分线——射线与它们区别开）。

3.推导等腰三角形的性质。

通过进一步实验、观察、交流等活动推导等腰三角形的性质，从而加深对轴对称变换的认识。

因为等腰三角形是轴对称图形，而图形轴对称变换是全等变换中的一种基本变换，所以如下图，△ABC中，若AB＝AC，AD是△ABC的∠BAC的平分线，当我们沿AD折叠时，会发现AD两旁的△ABD与△ACD能够重合即△ABD≌△ACD。

再根据全等的性质可以得出一些对应相等的边、对应相等的角。

∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA＝90°

BD＝CD

追根溯源来看这些相等的边和相等的角是由什么条件带来的，就可以得出等腰三角形的性质。

4.掌握等腰三角形的下列性质：

等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一。

我们把在上述图形中由等腰三角形AB＝AC这个条件出发，得出的角相等∠B＝∠C，这条性质称为等腰三角形的两个底角相等。

（也称为：

同一个三角形中，等边对等角）。

由等腰三角形AB＝AC和顶角平分线∠BAD＝∠DAC这两个条件出发，得出BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°（即AD⊥BC于D），这条性质称为等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称为等腰三角形三线合一。

5.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图。

　　利用等腰三角形的性质解题时，一定要注意正确地表述性质的条件和结论。

结合图形我们可以这样来表述：

如下图，△ABC中，

（1）∵　AB＝AC，

∴　∠B＝∠C。

（等腰三角形的两底角相等。

）

（2）∵　AB＝AC，∠BAD＝∠DAC

∴　BD＝CD且AD⊥BC。

或∵　AB＝AC，BD＝CD

∴　∠BAD＝∠DAC且AD⊥BC。

或∵AB=AC，AD⊥BC　∴　∠BAD＝∠DAC且BD＝CD。

（等腰三角形三线合一）

三、【典型例题】

例题1.如图D在AC上，AB＝AC，AD＝DB，请指出图中的等腰三角形，以及它们的腰、底边、顶角及底角。

分析：

这里要根据条件来说明图形的名称，而不是凭直观和想象。

相等的两边叫腰，另一边叫底边；两腰的夹角叫顶角，另外的两角叫底角。

解：

图中的等腰三角形有：

△ABC和△ADB。

它们的腰、底边、顶角、底角分别列表如下：

腰

底边

顶角

底角

△ABC

AB、AC

BC

∠BAC

∠CBA，∠C

△ADB

AD、DB

AB

∠BDA

∠BAD，∠ABD

注意：

在没有明确三角形的具体条件的情况下，关于等腰三角形的有关概念（腰、顶角等）有多种可能的结果存在。

如：

△ABC是等腰三角形，就有可能AB、AC是腰或AB、BC是腰或AC、BC是腰，相应的底边、顶角、底角也都会发生变化。

所以在叙述等腰三角形时，一般要明确指出相等的两边是哪两边。

例2.如下图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC边上的点，且AD＝AE，AP是△ABC的角平分线。

点D、E关于AP对称吗？

DE与BC平行吗？

说明理由。

分析：

根据等腰三角形的轴对称性研究下列问题：

（1）将等腰△ABC沿顶角平分线折叠时，线段AD与AE能重合吗？

为什么？

边AB与AC呢？

（2）AD与AE重合，AB与AC重合，说明点D与点E，点B与点C分别有怎样的位置关系？

（3）轴对称图形有什么性质？

由此可推出AP与DE，BC有怎样的位置关系？

那么DE与BC呢？

解：

点D、E关于AP对称，且DE∥BC。

理由如下：

因为AP是∠BAC的平分线，AB＝AC，AD＝AE。

则当把图形沿直线AP对折时，线段AB与AC重合，线段AD与AE重合，所以点B、C关于直线AP对称，点D、E也关于直线AP对称，所以BC⊥AP，DE⊥AP，所以DE∥BC。

注意：

这里AB与AC重合以及AD与AE重合的理由是：

等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是对称轴。

例3.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，求∠B，∠C的度数

分析：

根据等腰三角形的性质：

两底角相等。

结合三角形的内角和等于180°来计算。

解：

在△ABC中，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C（在一个三角形中等边对等角）

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝50°

∴∠B＝∠C＝＝＝65°

注意：

此题也可以用代数的方法（列方程）来解，其解题依据仍然是：

等腰三角形的两底角相等和三角形的内角和为180°。

例4.已知线段a，h（如下图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，BC边上的高线为h。

分析：

（1）假设图形已经作出，BC长已知，可以先作出BC边，要作等腰三角形ABC，关键是要作出哪一个点？

（2）已知BC边上的高的长度为h，你能作出BC边上的高线吗？

等腰三角形底边上的高线与中线有什么关系？

由此能确定顶点A的位置吗？

作法：

如下图。

1.作线段BC＝a。

2.作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D.

3.在直线　l上截取DA＝h，连结AB，AC。

则△ABC就是所求的等腰三角形。

注意：

这里作图的依据是：

等腰三角形三线合一的性质。

更准确地理解三线合一的性质应该是“把等腰、底边上的高、底边上的中线、顶角平分线作为四个元素，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素作为结论”。

例5.已知在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点但不与A重合，且OB＝OC，试猜想AE与BC的关系，并说明你的猜想的理由。

猜想：

AE⊥BC，BD＝CD

说理：

∵AB＝AC（已知）

OB＝OC（已知）

AO＝AO（公共边）

∴△ABO≌△ACO（SSS）

∴∠BAO＝∠CAO

∴AE⊥BC，BD＝CD（等腰三角形底边上中线，底边上高线与顶角平分线互相重合）

注意：

等腰三角形的三线合一的性质其本质是等腰三角形是轴对称图形。

而轴对称又是全等变换中的基本形式，因此常用全等来研究等腰三角形中的问题。

例6.探索：

等腰三角形两底角的平分线大小关系。

已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别是两底角的平分线。

猜想：

BD＝CE.

解：

∵AB＝AC（已知），

∴∠ABC＝∠ACB（在一个三角形中等边对等角）

∵BD、CE分别是两底角的平分线（已知）

∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB（角平分线的定义）

∴∠DBC＝∠ECB，

在△DBC和△ECB中∠DBC＝∠ECB，BC＝CB（公共边），∠ABC＝∠ACB，

∴△DBC≌△ECB（ASA）

∴BD＝CE（全等三角形对应边相等）

注意：

等腰三角形除了顶角平分线、底边上的中线、底边上的高以外，还有其他一些相关的线段，探索它们之间的关系也属于等腰三角形性质的一部分，此例就是所做的一种探索，按照这种思路大家还可以对其他线段进行探索。

课后反思：

认识等腰三角形并不困难，但要正确表述却不容易。

特别是等腰三角形三线合一的性质的应用，很容易只给出一个条件，就得出结论。

应用等腰三角形性质进行说理正确的表述格式如下：

在△ABC中，如下图，∵AB＝AC

∴∠B＝∠C（在一个三角形中等边对等角）

在△ABC中，如下图

（1）∵AB＝AC，∠1＝∠2

∴AD⊥BC，BD＝DC（等腰三角形三线合一）

（2）∵AB＝AC，BD＝DC

∴AD⊥BC，∠1＝∠2（等腰三角形三线合一）

（3）∵AB＝AC，AD⊥BC

∴BD＝DC，∠1＝∠2（等腰三角形三线合一）

【模拟试题】（答题时间：

30分钟）

一.填空：

在△ABC中，AB＝AC，D在BC上，

1.如果AD⊥BC，那么∠BAD＝∠______，BD＝_______。

2.如果∠BAD＝∠CAD，BC=6cm，那么∠BDA＝_____°，BD＝______cm。

3.如果BD＝CD，那么∠BAD＝∠_______，AD⊥______。

4.如果∠B＝80°，那么∠BAC＝

5.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，M是BC的中点，那么∠AMC＝，∠BAM＝

6.如下图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的外角。

则：

∠BAC＝180°－∠B，∠B＝（）∠DAC＝∠C。

7.如下图，在△ABC中，AB＝AC，外角∠DCA＝100°，则∠B＝°

8.如果等腰三角形有两边的长分别为12cm，5cm，这个三角形的周长是cm。

二.解答题

1.请写出周长为8cm，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。

2.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为14cm，AC边上的中线BD把△ABC分成了周长差为4cm的两个三角形，求△ABC各边长。

3.一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。

4.如图已知AB＝AC，BD＝DC，AE平分∠CAF，试判断AE与AD的位置关系，并说明理由。

【试题答案】

一.填空

1.∠CAD，CD

2.90，3

3.∠CAD，BC

4.20°

5.90°，20°；

6.2180°－∠BAC2

7.80°

8.29

二.解答题

1.解：

等腰三角形的三边长分别为：

2，3，3（Cｍ）

2.解：

如图，设AD＝ｘ，则DC＝ｘ，AB＝2ｘ。

设BC＝ｙ。

由题意可以列方程：

解之得：

x=3，y=2

或

解之得：

x=5/3，y=22/3

显然第二种情况不符合“三角形两边之和大于第三边”，所以舍去。

所以△ABC的三边长分别为：

AB＝AC＝2x=6cm，BC＝y=2cm.

3.解：

△ABC中AB＝AC，所以∠C＝∠B

若∠BAC∶∠B＝4∶1

则：

∠BAC＋∠B＋∠C＝6∠B＝180°

所以∠B=30°＝∠C，∠BAC＝120°。

若∠B∶∠BAC＝4∶1

则：

∠BAC＋∠B＋∠C＝9∠BAC＝180°

所以∠BAC＝20°，∠B＝∠C＝80°

4.解：

AE⊥AD。

说理如下：

因为AB＝AC，BD＝DC

所以AD⊥BC（等腰三角形三线合一）；

∠B＝∠C（一个三角形中等边对等角）。

因为∠CAF＝∠B＋∠C，所以∠CAF＝2∠B；

因为AE平分∠CAF，所以∠CAF＝2∠EAF；

所以∠EAF＝∠B，所以AE∥BC（同位角相等，两直线平行）

所以∠EAD＝∠BDA＝90°

所以AE⊥AD。