登革热传播传染病类数学模型数学建模.docx

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登革热传播传染病类数学模型数学建模

赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：

2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号（从A/B/C/D中选择一项填写）：

A

我们的报名参赛队号（12位数字全国统一编号）：

45

参赛学校（完整的学校全称，不含院系名）：

南京理工大学

参赛队员（打印并签名）：

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

日期：

2015年8月24日

赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：

2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

备

注

送全国评阅统一编号（由赛区组委会填写）：

全国评阅随机编号（由全国组委会填写）：

登革热传播——传染病类数学模型

摘要

本文针对登革热传染病，定量地研究了其传播规律，首先我们查询了广州夏秋天气情况，广州登革热发病情况及广州蚊媒监测情况布雷图及密度，然后我们综合运用了SIR模型、微分方程组、线性变化模型等，并结合了MATLAB、EXCEL等软件，分别建立了登革热SIR模型、蚊媒密度与温度相关性模型，以此来研究登革热的传播规律。

针对问题一：

我们结合相关知识选用了SIR模型来研究登革热传染病，我们利用了白纹伊蚊总数S（t）、确诊人数I（t）、治愈人数R（t）和时间t的变化关系，通过假设比例β和γ来建立SIR模型中的微分方程组，并通过MATLAB解出了I与S的关系式，最后用MATLAB画出了白纹伊蚊总数S（t）、确诊人数I（t）与时间的关系图，找出峰峰值点I为30000左右，和题目的数据相比较，验证了模型的合理性。

针对问题二：

我们通过查询数据，知道“布雷图指数”（BreteauIndex）是评价一个地区伊蚊密度的指标,于是我们开始搭建时间与各个变量的线性变化模型及针对性地模型分析，绘制了广州夏秋温度和蚊媒密度关于时间变化的图表，再分析这两个因素对登革热传播和爆发的影响，我们发现30摄氏度的天气是蚊子生殖繁衍的最适宜温度，从而验证了30摄氏度的天气是蚊子生殖繁衍的最适宜温度

针对问题三：

我们在查询资料及相关知识的基础上，针对其方法，我们发现释放雄蚊与野生雄蚊的比例在5:

1时才能使雌蚊有80%的比例与其交配从而达到效果，其次我们从步骤、投资、效果等方面比较了此方法与传统方法的区别。

关键词

SIR模型、微分方程组、线性变化模型

1.问题重述

1.1背景知识

登革热（俗称断骨热）是一种由登革热病毒引起的急性发热传染病。

全球每年约有50000宗登革热个案，常见于热带和亚热带地域，在东南亚部分国家，登革热已成为地方性流行病。

登革热通过带有登革热病毒的雌性伊蚊叮咬而传染给人类，主要症状是发热、头痛、胃痛、肌肉痛或关节痛，临床表现为高热、头痛、肌肉、骨关节剧烈酸痛、皮疹、出血倾向、淋巴结肿大、白细胞计数减少、血小板减少等，是东南亚地区儿童死亡的主要原因之一。

在我国主要传播媒介为白纹伊蚊（俗称花斑蚊）。

2014年广东省呈现出“多点开花”暴发态势局部爆发，为近十年登革热疫情的最高峰年份。

登革热可防可治疗，防止蚊虫叮咬是预防登革热的关键。

1.2相关资料信息

登革热是登革病毒经蚊媒传播引起的急性虫媒传染病，临床特征为起病急骤、高热、全身肌肉、骨髓及关节痛，极度疲乏，部分患有皮疹、出血倾向和淋巴结肿大。

登革热病毒在人际之间不传播,蚊虫是其主要传播媒介,其中伊蚊是传播登革病毒的主要蚊种。

登革热在东南亚和中南美洲一直呈地方性流行。

2014年6月，广州爆发的感染登革热病例的疫情。

随后疫情在各地发展。

截至2014年10月21日零时，2014年广东全省共有20个地级市累计报告登革热病例38753例，其中重症病例20例，死亡病例6例。

登革热的爆发和蔓延不仅影响着人们的日常生活，也给人类的健康带了巨大的威胁。

定量地研究登革热传染病的传播规律、预测和控制其蔓延条件对于控制登革热的传播和爆发的具有重要的作用。

1.3要解决的问题

（1）收集2014年广东省的相关数据，验证模型的合理性。

（2）收集2014年广东省蚊媒的监测结果数据和广东省2014年夏秋两季的温度的数据，研究登革热传播和爆发与蚊媒、温度的相关性，并由此建立合适的蚊媒密度或温度的指标参数来预测登革热爆发的预警信息。

（3）据报道科学家们打算在广州释放一定量的蚊子。

这些蚊子将携带沃尔巴克氏体，而携带沃尔巴克氏体的雄蚊与非携带沃尔巴克氏体雌蚊交配所产的卵不能发育。

通过大量释放这种雄蚊，可使蚊子种群数量降低至不足以引起登革热流行。

研究这种控制措施对于控制登革热的传播和爆发的有效性。

进一步比较该方法与传统的灭蚊来控制登革热的优缺点。

2.模型假设

（1）所查资料正确无误

（2）广东省气候可以以广州市气候代替

（3）不考虑人口的出生，死亡，流动等种群动力因素。

人口始终保持一个常数K

（4）一只携带传染源的白纹伊蚊与易感染者接触就必然具有一定的传染力，假设t时刻单位时间内，一只白纹伊蚊能传染的易感者数目与此环境内白纹伊蚊总数S（t）成正比，比例系数为β，从而在t时刻单位时间内被所有白纹伊蚊传染的人数为βS（t）

（5）t时刻，单位时间内从染病者中移出的人数与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内移出者的数量为γI（t）。

3.符号说明

人口常数

K

单位时间

t

此环境内白纹伊蚊总数

S（t）

感染比例系数

β

治愈比例系数

γ

确诊人数

I（t）

治愈人数

R（t）

4.问题分析与模型建立

第一题：

4.1为收集2014年广东省的相关数据，验证模型的合理性。

4.1.1问题分析

不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，在这里我们采用SIR（Susceptibles，Infectives，Recovered）模型来研究登革热传染病，它主要沿用由Kermack与McKendrick在1927年采用动力学方法建立的模型。

应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据,维护人类健康与社会经济发展。

我们利用白纹伊蚊总数S（t）、确诊人数I（t）、治愈人数R（t）和时间t的变化关系通过假设比例β和γ建立SIR模型，用matlab画出白纹伊蚊总数S（t）、确诊人数I（t）与时间的关系图，找出峰峰值点，和题目的数据相比较，验证模型的合理性。

4.1.2模型建立

白纹伊蚊总数S（t）、确诊人数I（t）、治愈人数R（t）、感染比例系数β、治愈人数γ之间的关系图：

不妨设初始时刻的白纹伊蚊总数S（t）、确诊人数I（t）、治愈人数R（t）的比例分别为

（

＞0），

（

＞0），

=0.

我们根据SIR模型的概念与白纹伊蚊总数S（t）、确诊人数I（t）、治愈人数R（t）、感染比例系数β、治愈人数γ和时间t之间的关系列出了如下的方程组：

4.1.3模型求解

用MATLAB软件进行编程从而求解出来了白纹伊蚊总数S（t）与确诊人数I（t）之间的关系式：

I = exp（-2^（1/2）*S^（1/2）*b^（1/2）） - （a*exp（-（2^（1/2）*S^（1/2）*a）/b^（1/2）））/（a - b）

方程组中中设λ=1，μ=0.3，i（0）=563，s（0）=50000

用MATLAB软件进行编程从而绘制SIR模型的相轨线图，然后观察I和S关于t的变化关系：

ans =

   1.0e+04 *

         0    0.0536    5.0000

    0.0001    2.7035    1.8394

    0.0002    2.9831    0.6765

    0.0003    2.5702    0.2490

    0.0004    2.0366    0.0917

    0.0005    1.5576    0.0337

    0.0006    1.1718    0.0124

    0.0007    0.8747    0.0046

    0.0008    0.6504    0.0017

    0.0009    0.4828    0.0006

    0.0010    0.3580    0.0002

    0.0011    0.2653    0.0001

    0.0012    0.1966    0.0000

    0.0013    0.1457    0.0000

    0.0014    0.1079    0.0000

    0.0015    0.0799    0.0000

    0.0016    0.0592    0.0000

    0.0017    0.0439    0.0000

    0.0018    0.0325    0.0000

    0.0019    0.0241    0.0000

    0.0020    0.0178    0.0000

    0.0021    0.0132    0.0000

    0.0022    0.0098    0.0000

    0.0023    0.0073    0.0000

    0.0024    0.0054    0.0000

    0.0025    0.0040    0.0000

    0.0026    0.0029    0.0000

    0.0027    0.0022    0.0000

    0.0028    0.0016    0.0000

    0.0029    0.0012    0.0000

    0.0030    0.0009    0.0000

    0.0031    0.0007    0.0000

    0.0032    0.0005    0.0000

    0.0033    0.0004    0.0000

    0.0034    0.0003    0.0000

    0.0035    0.0002    0.0000

    0.0036    0.0001    0.0000

    0.0037    0.0001    0.0000

    0.0038    0.0001    0.0000

    0.0039    0.0001    0.0000

    0.0040    0.0000    0.0000

    0.0041    0.0000    0.0000

    0.0042    0.0000    0.0000

    0.0043    0.0000    0.0000

    0.0044    0.0000    0.0000

    0.0045    0.0000    0.0000

    0.0046    0.0000    0.0000

    0.0047    0.0000    0.0000

    0.0048    0.0000    0.0000

    0.0049    0.0000    0.0000

    0.0050    0.0000    0.0000

I和S与时间t的关系

I与S的关系

4.1.4模型检验

我们由模型所画出来的图像可以发现，图像的峰值在30000例左右的地方，比较题目所给的数据：

截至2014年10月21日零时，2014年广东全省共有20个地级市累计报告登革热病例38753例，其中重症病例20例，死亡病例6例。

我们可以发现模型是进似合理的。

4.1.5模型分析

我们利用了疾病增长的变化趋势，根据资料和相关知识的了解，假设了未知的变量，在我们所得到的白纹伊蚊总数S（t）、确诊人数I（t）、治愈人数R（t）、感染比例系数β、治愈人数γ和时间t之间的关系方程中，我们利用了导数为0的点和图像的清晰示例，得到了登革热病例的极值点，通过和真实数值想比较，等出了模型的合理性。

第二题：

4.2收集2014年广东省蚊媒的监测结果数据和广东省2014年夏秋两季的温度的数据，研究登革热传播和爆发与蚊媒、温度的相关性，并由此建立合适的蚊媒密度或温度的指标参数来预测登革热爆发的预警信息。

4.2.1问题分析

“布雷图指数”（BreteauIndex）是评价一个地区伊蚊密度的指标,也就是平均每百户内有伊蚊幼虫（孑孓）孳生的容器数。

“布雷图指数”在5以下,则属于安全范围；如果该指数高于20，则意味着一旦有外部病例输入，就可能在该地区造成登革热的流行。

成蚊密度指一定区域内成年蚊子的密度。

根据数据的完整性和可获得性，分析所得数据，我们首先通过搭建时间与各个变量的线性变化模型及针对性地模型分析，清楚了在时间条件一致前提下广东省2014年夏秋两季的温度变化以及广东省蚊媒监测结果数据的大致变化。

再分析这两个因素对登革热传播和爆发的影响，并以时间为单位，检验2014年广东省蚊媒因素和广东省2014年夏秋两季的温度因素对疫病传染的相关性。

4.2.2

（1）2014年广东省蚊媒的监测结果数据模型建立

根据广东省2014年各地区布雷图指数的分布，做出布雷图指数在不同地区柱状图

根据广东省2014年各地区成蚊密度的分布，做出成蚊密度在不同地区柱状图

4.2.3

（1）模型分析

按照规定，布雷图指数（衡量单位为：

只/人工小时）BI＞20，或成蚊密度＞10，为高度风险；BI介于10-20，或成蚊密度介于5-10为中度风险；BI介于5-10，或成蚊密度介于2-5为低度风险；BI＜5，或成蚊密度＜2为疫情防控要求水平。

地方

布雷图指数

南沙区大岗镇二湾居委

55

南沙街金洲村

50

番禺区小谷围街穗石村

48.15

以上三个地区是布雷图指数最高的三个地方，由图表我们也可以发现，南沙区和番禺区是登革热的重灾区，或许，因为数据有限，我们无法将布雷图指数和成蚊密度结合起来分析模型，但是从仅有的数据里面，我们可以发现在萝岗区中，布雷图指数和成蚊密度并没有直接的联系与影响，因此，我们可以认为，这两项蚊媒的监测结果都对登革热有着一定的影响，对此结果，我们呼吁有关部门在对于登革热疫情的防御与缓和过程中，我们应当由布雷图指数和成蚊密度两方面入手解决。

4.2.2

（2）2014年广东省夏秋两季的温度的数据模型建立

根据广东省2014年夏秋两季的温度变化，做出最高最低气温随时间变化曲线如下图

根据广东省2014年夏秋两季的温度变化，做出平均气温随时间变化曲线如下图

4.2.3

（2）模型分析

分析温度曲线及表格可得，在夏秋两季，广东省的气温其实在中国严重热的夏天里面并非极端的天气，相比较湖南湖北的夏天，我们甚至可以认为是凉爽的夏天，广东省在一年最热的6、7月份，其平均气温也才大部分位于30摄氏度上下，这样让我们人们都非常适应的温度也同样给蚊子带来了非常合适的生存环境，温度太低和温度太高蚊子都是会失活的然而，30摄氏度的天气是蚊子生殖繁衍的最适宜温度，合适的生存条件为蚊子提供了巨大的生存空间使登革热传播，同时广东省四季雨量充足，气候湿热，从资料易得，携带传染源的蚊虫在高温潮湿下极易孵化成成虫，这又为蚊虫的生殖繁衍提供了有效的环境，故此天然气候为登革热疫病的传播提供了环境条件。

第三题：

4.3据报道科学家们打算在广州释放一定量的蚊子。

这些蚊子将携带沃尔巴克氏体，而携带沃尔巴克氏体的雄蚊与非携带沃尔巴克氏体雌蚊交配所产的卵不能发育。

通过大量释放这种雄蚊，可使蚊子种群数量降低至不足以引起登革热流行。

研究这种控制措施对于控制登革热的传播和爆发的有效性。

进一步比较该方法与传统的灭蚊来控制登革热的优缺点

4.3.1问题分析

2015年3月12日，奚志勇团队开始释放第一批“绝育蚊子”。

之后，团队保持每周三次（隔天）的释放频率，每次放出7万~10万只。

“雌蚊一生只交配一次，这个惟一的机会要被我们释放的雄蚊获得。

”放出的雄蚊在野外大概能存活两周，它的交配能力前三四天最强，而野生蚊子每天都在长，因此需要通过持续释放，保持交配优势。

要达到好的控制效果，释放的雄蚊与野外雄蚊比例在5:

1最合适。

5:

1意味着，野生雌蚊有超过80%的机会和“绝育雄蚊”交配，交配后下一代将不会孵化产卵。

4.3.2问题求解

科学家根据引起登革热的白纹伊蚊本身的属性，实验得到了拥有沃尔巴克氏体的雄蚊，通过蚊子之间的交配习性，可以有效的绝育，减少白纹伊蚊后代对的数量。

优点：

1.通过自然手段阻止，没有使用人工合成物质，保护环境。

2.没有改变白纹伊蚊原有的生活习性，不会引起其他的未知影响。

3.此方法有效的控制了登革热的蔓延。

缺点：

1.技术难度要求高，投资花费大。

2.白纹伊蚊的交配需要时间，此方法不能立竿见影。

3.我们并不能完全了解白纹伊蚊的生活习性，并不能保证不会带来任何副作用。

5.模型分析

本题，我们使用了SIR模型、微分方程组和线性变化模型，利用了导数的变化趋势证明了模型的合理性，我们利用了疾病增长的变化趋势，根据资料和相关知识的了解，假设了未知的变量，在我们所得到的白纹伊蚊总数S（t）、确诊人数I（t）、治愈人数R（t）、感染比例系数β、治愈人数γ和时间t之间的关系方程中，我们利用了导数为0的点和图像的清晰示例，得到了登革热病例的极值点，通过和真实数值想比较，等出了模型的合理性，利用了线性行的变化分析了蚊媒的检测结果，并且进行了数据比对和分析，当地的气候，布雷图指数和成蚊密度都对检测结果产生了一定的影响，最后收集了白纹伊蚊的相关信息，对新型灭蚊方案进行了分析和传统的灭蚊手段进行了比较。

6.模型评价

6.1模型优点

在该次数模中，我们运用了SIR模型以及线性回归模型对登革热病毒的传播预测以及控制做出了判断。

该模型优点在于：

首先此模型进行了较为详细的数据分析，是的微分方程的联立相关性较强，较为紧凑。

因为材料提供的各方面数据且各个参数的设置合理，所以参数的设计在数据支持下和实际情况较为接近，为图形的拟合和对最终控制期的预测奠定了基础；而且该模型适用范围较广，只要数据足够详细，则求出估计参数便可求解；除此之外，该模型只要做出适当的参数修改便可以作为疫情发展的全过程预测模型；而线性回归模型在此探究了2014广东省夏秋两季温度以及蚊媒密度对登革热疫情的影响和相关性，建立了多组变量间的线性因果关系，便于分析，且通过各个因素之间的相关程度与拟合程度的高低，提高预测方程的效果。

6.2模型缺点

模型本身也是存在缺点的，建立时我们没有考虑年龄结构层次对疫情的影响。

且没有考虑接触人群几率和年龄层。

而我们的假设有许多过于理想，现实情况并不能这么理想，所以我们所的结果与实际情况有所出入。

而之后的线性回归由于数据的不足及不对应，其交互效应可能被我们所模糊，这对于准确性也有所影响。

7.参考文献

[1]戴朝寿孙世良《高等学校教材.数学建模简明教程》西北工业大学数学建模指导委员会高等教育出版社2008年1月

[2]韩中庚《数学建模方法及其应用》解放军信息工程大学高等教育出版社2005年6月

[3]潮声SIR模型介绍

[4]白纹伊蚊

8.附录

8.1SIR模型

8.1.1解微分方程组

clc,syms t a b

I =exp（-b*t） - （a*exp（-a*t））/（a - b） ;S =（b*t^2）/2 ;

 I=subs（compose（I,finverse（S））,'t','S'）

8.1.2SIR模型相轨线

function y=ill（t,x）

a=1;b=0.3;

y=[a*x

（2）-b*x

（1）,-a*x

（2）]';

ts=0:

50;

x0=[536,50000];

[t,x]=ode45（'ill',ts,x0）;[t,x]

plot（t,x（:

1）,t,x（:

2））,grid,pause

plot（x（:

2）,x（:

1））,grid,

8.3数据表格

8.3.1广州夏秋天气随时间变化的表格

时间

最高气温

最低气温

天气

2014-05-01星期四

22℃

19℃

阵雨~多云

2014-05-02星期五

27℃

22℃

多云

2014-05-03星期六

30℃

22℃

多云

2014-05-04星期日

26℃

18℃

中到大雨~中雨

2014-05-05星期一

23℃

18℃

阵雨

2014-05-06星期二

23℃

18℃

阵雨

2014-05-07星期三

22℃

19℃

中到大雨~大雨

2014-05-08星期四

23℃

20℃

大雨~暴雨

2014-05-09星期五

23℃

20℃

暴雨~大雨

2014-05-10星期六

26℃

22℃

雷雨~大雨

2014-05-11星期日

25℃

22℃

大到暴雨~雷雨

2014-05-12星期一

27℃

23℃

多云~阵雨

2014-05-13星期二

29℃

25℃

雷雨

2014-05-14星期三

31℃

25℃

雷雨

2014-05-15星期四

32℃

26℃

雷雨~多云

2014-05-16星期五

32℃

25℃

雷雨

2014-05-17星期六

32℃

25℃

雷雨

2014-05-18星期日

31℃

23℃

雷雨~大雨

2014-05-19星期一

31℃

23℃

雷雨

2014-05-20星期二

31℃

24℃

雷雨

2014-05-21星期三

29℃

25℃

大雨

2014-05-22星期四

30℃

24℃

大雨

2014-05-23星期五

29℃

24℃

雷雨

2014-05-24星期六