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有限元考试题
有限元考试题
LT
的单元刚度矩阵系数的集成。
虚功等效：
原单元载荷与等效节点载荷在单元任意虚位移上的虚功相等。
2、填空题
1．有限元法的实质：
将复杂的连续体划分为有限个简单的单元体，化无限自由度问题为有限自由度问题。
将连续场函数的（偏）微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。
2．弹性力学的基本假设：
（1）（连续性）
（2）均匀性（3）（各向同性）（4）完全弹性符合
（1）-（4）假定的称为（理想弹性体）。
（5）小变形假定满足以上五个基本假设的弹性力学称为（弹性力学）。
3．有限元方法的两大应用：
科学计算或（数值模拟）、数字设计或（虚拟仿真）。
4．弹性体受外力以后，其内部将产生（应力）。
还将发生变形。
物体的变形状态，一般有两种方式来描述：
（1、给出各点的位移；（运动）三个位移分量），（2、给出各微元体的变形（应变）六个应变分量）。
5．在弹性体内部，三类基本方程：
根据微分体上（平衡条件），建立平衡方程。
根据微分线段上应变－位移的几何条件，建立（几何方程）；根据（应力－应变间的物理条件），建立物理方程。
6．圣维南原理主要作用是（静力等效）。
7．平面三角形的单元自由度是（6），形函数是，
矩形单元的单元自由度是（8），形函数是，
空间四面体的单元自由度是（8），形函数是，
（i=1,2,3,4）为i节点的局部坐标。
板壳单元的单元自由度是，形函数是。
8．单元刚度矩阵具有如下性质（对称性）、（奇异性）、（主对角元素恒等）。
9．离散化的内容包括（结构离散）、（载荷离散）。
10．单元参数只能通过（节点）传递到相邻单元。
11位移函数中待定常数个数应等于（单元节点自由度总数）。
12．形函数决定了（单元上位移分布的形态）。
事实上，单元位移模式就是所有形函数的（线性组合），一个单元的位移模式决定了（单元描述局部位移场）的能力，决定求解的精度、收敛性等，而形函数是最重要的因素。
13．单元刚度矩阵通式
。
14．单元刚度矩阵中元素的物理意义为（单元受节点力作用后抵抗变形的能力），它决定于该单元的形状、大小、方位和（弹性常数），而与单元的（位置）无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。
15载荷移置的原则（虚功等效）。
16引入约束的方法常有：
（对角元素置一法）主要用于节点固定的场合，对于给定节点位移的场合，主要用（对角元素乘大数法）引入约束。
17等参单元刚度矩阵的积分式中被积函数很难导出解析表达式，因此等参单元的计算都采用（数值积分）求积分的近似值，考虑到减少计算点数，多采用（高斯数值积分）。
18轴对称问题只需在（子午面）内描述，板的弯曲问题主要是在内描述。
19计算稳态温度场实际上是求解（偏微分方程的边值问题），采用（加权余量法）建立稳态温度场分析的有限元列式。
采用（伽辽金法）对权函数进行选择。
20动态分析中包括（固有特性分析）和响应分析。
固有特性分析主要是求解各级模态，包括求解（各级固有频率）和振型。
简答题：
1、有限元法的实质？
将复杂的连续体划分为有限个简单的单元体，化无限自由度问题为有限自由度问题。
将连续场函数的（偏）微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。
2、理想弹性体的五点假设？
（1）连续性
（2）均匀性（3）各向同性（4）完全弹性符合
（1）-（4）假定的称为理想弹性体。
（5）小变形假定满足以上五个基本假设的弹性力学称为线弹性力学。
3、有限元分析的基本步骤？
1）建立研究对象的近似模型。
2）将研究对象分割成有限数量的单元（结构离散化）
3）用标准方法对每个单元提出一个近似解（单元分析）
（1）选择位移模式
（2）建立单元刚度矩阵
（3）计算等效节点力
4）将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统（单元集成）
5）用数值方法求解这个近似系统。
（选择合适计算方法计算节点位移、应力、应变）
6）计算结果处理与结果验证（如何显示、分析数据并找到有用的结论）
4、什么是形函数，形函数的基本性质？
形函数决定了单元上位移分布的形态。
事实上，单元位移模式就是所有形函数的线性组合。
一个单元的位移模式决定了该单元描述局部位移场的能力，决定求解的精度、收敛性等，而形函数是最重要的因素。
5、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。
位移函数中待定系数个数应等于单元节点自由度总数。
位移函数的形式一般选为完全多项式，根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数等于（或稍大于）单元节点自由度数。
6、什么是平面应力问题、平面应变问题？
平面应力问题的基本特征：
1）几何特征
物体在一个方向（z）的尺寸远远小于其它两个方向（x,y）的尺寸。
几何为均匀薄板。
2）受力特征
薄板的两个侧面上无载荷作用
边缘上受到平行于板面且沿板厚均匀分布的面力作用；
体力平行于板面且不沿板厚变化（x,y的函数）
平面应变问题的基本特征：
1）几何特征
一个方向（z）尺寸远远大于其它两个方向（x,y）的尺寸,呈现为无限长等截面柱体。
2）受力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿纵向不变化。
通常用多项式函数作位移模式，对三节点三角形单元，有6个待定节点位移分量，所以单元上的位移函数只能是含6个待定系数的完全一次多项式：
为待定系数，称为广义坐标。
7、什么是位移模式？
如何构建，以三角形三节点为例分析其收敛性。
按弹性力学位移法求近似解的思路，位移作为基本未知量时，需要对单元上位移的分布作出假设，即构造含待定参量的简单位移函数——位移模式。
在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度
8、单元刚度矩阵的特点是什么？
整体刚度阵的特点？
单元刚度矩阵的特点
1）物理意义
2）对称性
3）奇异性
4）主对角元素恒正
总刚矩阵具有单元刚阵的性质：
对称性、奇异性、主对角元素恒正、奇偶行元素之和分别为零、稀疏性、带状性
9、为什么单元载荷需要移置？
有限元模型中单元通过节点连接形成离散结构；通过节点传递位移和力；单元和整体结构的特性主要是节点力学量之间的关系。
因此边界条件必须对节点给出，所有载荷必须等效作用在节点上，这也是连续模型离散化的要求。
10等参元有限元分析三个基本步骤是什么？
1）计算用局部坐标表示的形函数Ni对整体坐标x、y的偏导数；
2）将整体坐标系中的面积积分转换为在局部坐标系中的面积积分；
3）用数值积分计算出单元刚度矩阵中的元素。
步骤1）和2）是等参单元单元分析的关键步骤。
11如何得到整体刚度矩阵？
总刚矩阵的叠加规律是什么？
基本方法是刚度集成法，即整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成。
刚体集成法即结构中的结点力是相关单元结点力的叠加，整体刚度矩阵的系数是相关单元的单元刚度矩阵系数的集成。
总刚矩阵中各个子块是由各个单元刚度矩阵的相应子块叠加而成的。
其叠加规律为：
设总刚的某子块为Krs
1、当r=s，Krs是主对角线的子块，它们是绕节点r的各个单元刚度矩阵相应对角线子块的叠加，如主对角线上的子块；
2、当r≠s,而r、s被一个单元同时拥有（即rs相关，为单元的边），则是拥有该单元边rs的所有单元刚度矩阵的相应子块的叠加
3、当r≠s,且r、s不属于同一单元，即r、s互不相关，则Krs为零子块。
根据这些规律，总刚矩阵[K]的形成可直接利用单刚矩阵的子块叠加即可；
12、什么是杆，什么是梁？
平面钢架问题的单元刚度阵怎样求解？
13、薄板弯曲问题与平面应力问题的区别？
力学概念定义的板是指厚度尺寸相对长宽尺寸小很多的平板，且能承受横向或垂直于板面的载荷。
如板不是平板而为曲的（指一个单元），则称为壳问题。
如作用于板上的载荷仅为平行于板面的纵向载荷，则称为平面应力问题；如作用于板上的载荷为垂直于板面的横向载荷，则称为板的弯扭问题，常简称板的弯曲问题。
计算题：
1、在均质、等厚的三角形单元ijm的ij边上作用有沿x方向按三角形分布的载荷，求移置后的结点载荷。
解：
取局部坐标s，在i点s=0，在j点s=l，L为ij边的长度。
在ij边上，
以局部坐标表示的插值函数为，
载荷为：
2、如图所示等边三角形单元，其厚度为
，弹性模量为
，泊松比
；单元的边长及结点编号见图中所示。
求：
（1）构建三角形单元的位移模式
（2）求解形函数矩阵
3、已知如图（a）所示的悬臂深梁，在右端面作用着均布拉力，其合力为P。
采用如图（b）所示简单网格，设
厚度为t,试求节点位移。
4、用刚度集成法求图所示结构的整体刚度矩阵。
单元划分图
5、平面桁架由2根相同的杆组成（E，A，L）。
求：
1）节点2位移。
2）每根杆应力。
解：
求出每个单元在总体坐标下的刚度矩阵：
单元1
单元2
单元2
将单元1，2的刚度方程扩张到系统规模（6阶），相加后引入节点平衡条件：
再引入边界约束和载荷：
则上面6阶有限元方程凝聚为：
解出未知位移得：
按公式计算杆应力：
得：
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