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概率论修订版课后答案

【篇一：

概率论与数理统计习题答案-修订版-（复旦大学）第一二章课后习题答案】

xt>习题一

1．?

略.见教材习题参考答案.

2.设a，b，c为三个事件，试用a，b，c的运算关系式表示下列事件：

（1）a发生，b，c都不发生；

（2）a与b发生，c不发生；?

（3）a，b，c都发生；

（4）a，b，c至少有一个发生；?

（5）a，b，c都不发生；（6）a，b，c不都发生；?

（7）a，b，c至多有2个发生；（8）a，b，c至少有2个发生.?

【解】

（1）abc

（2）abc（3）abc

（4）a∪b∪c=abc∪abc∪abc∪abc∪abc∪abc∪abc=abc（5）abc=a?

c（6）abc

（7）abc∪abc∪abc∪abc∪abc∪abc∪abc=abc=a∪b∪c（8）ab∪bc∪ca=abc∪abc∪abc∪abc3.?

略.见教材习题参考答案?

4.设a，b为随机事件，且p（a）=0.7,p（a?

b）=0.3，求p（ab）.?

【解】p（ab）=1?

p（ab）=1?

[p（a）?

p（a?

b）]=1?

[0.7?

0.3]=0.6

5.设a，b是两事件，且p（a）=0.6,p（b）=0.7,求：

（1）在什么条件下p（ab）取到最大值？

（2）在什么条件下p（ab）取到最小值？

【解】

（1）当ab=a时，p（ab）取到最大值为0.6.

6.设a，b，c为三事件，且p（a）=p（b）=1/4，p（c）=1/3且p（ab）=p（bc）=0，

p（ac）=1/12，求a，b，c至少有一事件发生的概率.?

【解】p（a∪b∪c）=p（a）+p（b）+p（c）?

p（ab）?

p（bc）?

p（ac）+p（abc）

11113++?

=443124

23.?

设p（a）=0.3,p（b）=0.4,p（ab）=0.5，求p（b｜a∪b）【解】p（ba?

b）?

p（ab）pa（?

）pab（）

p（a?

b）p（a）?

p（b）?

p（ab）

0.7?

0.51

0.7?

0.6?

0.54

111

，，，求将此密码破译出534

33.?

三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为的概率.

【解】设ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则

p（?

ai）?

p（a1a2a3）?

p（a1）p（a2）p（a3）

423

0.6534

34.?

甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人

击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：

飞机被击落的概率.【解】设a={飞机被击落}，bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3

由全概率公式，得

p（a）?

p（a|bi）p（bi）

习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以x表示取出的3只

球中的最大号码，写出随机变量x的分布律.【解】

3,4,5p（x?

3）?

p（x?

4）?

0.1c353

0.3c35

c24

p（x?

5）?

0.6

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，

以x表示取出的次品个数，求：

（1）x的分布律；

（2）x的分布函数并作图；（3）

133

p{x?

p{1?

2}.

222

【解】

0,1,2.

c1322

p（x?

0）?

c15352c112

2c13

p（x?

1）?

c1535

c11

p（x?

2）?

13?

c1535

（2）当x0时，f（x）=p（x≤x）=0

当0≤x1时，f（x）=p（x≤x）=p（x=0）=

2235

当1≤x2时，f（x）=p（x≤x）=p（x=0）+p（x=1）=当x≥2时，f（x）=p（x≤x）=1故x的分布函数

3435

f（x）?

34,1?

35?

1,x?

（3）

1122

p（x?

）?

f（）?

2235333434

p（1?

）?

f（）?

（1）?

223535

3312

p（1?

）?

p（x?

1）?

p（1?

）?

2235

341

p（1?

2）?

（2）?

（1）?

p（x?

2）?

3535

3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】

设x表示击中目标的次数.则x=0，1，2，3.

p（x?

0）?

（0.2）3?

0.008

p（x?

1）?

c130.8（0.2）?

0.096

p（x?

2）?

c（0.8）0.2?

0.384p（x?

3）?

（0.8）3?

0.512

故x的分布律为

分布函数

0.008,0?

f（x）?

0.104,1?

0.488,2?

1,p（x?

2）?

p（x?

2）?

p（x?

3）?

0.896

（1）设随机变量x的分布律为

p{x=k}=a

，

（2）设随机变量x的分布律为

p{x=k}=a/n，k=1，2，?

，n，

试确定常数a.【解】

（1）由分布律的性质知

p（x?

k）?

故a?

（2）由分布律的性质知

p（x?

k）?

即a?

5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：

（1）两人投中次数相等的概率;

（2）甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令x、y表示甲、乙投中次数，则x~b（3，0.6）,y~b（3,0.7）

（1）p（x?

y）?

p（x?

0,y?

0）?

p（x?

1,y?

1）?

p（x?

2,y?

2）?

p（x?

3,y?

3）

212

（0.4）3（0.3）3?

c130.6（0.4）c30.7（0.3）+

c3（0.6）20.4c3（0.7）20.3?

（0.6）3（0.7）3

0.32076

（2）p（x?

y）?

p（x?

1,y?

0）?

p（x?

2,y?

0）?

p（x?

3,y?

0）?

p（x?

2,y?

1）?

p（x?

3,y?

1）?

p（x?

3,y?

2）

23223

c130.6（0.4）（0.3）?

c3（0.6）0.4（0.3）?

（0.6）3（0.3）3?

c3（0.6）20.4c10.7（0.3）?

32322（0.6）3c130.7（0.3）?

（0.6）c3（0.7）0.3

=0.243

6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01（每条跑道只能允许一架飞机降落）？

【解】设x为某一时刻需立即降落的飞机数，则x~b（200,0.02），设机场需配备n条跑道，

则有

p（x?

n）?

0.01

即利用泊松近似

200

k200

（0.02）k（0.98）200?

0.01

np?

200?

0.02?

4.e?

44k

p（x?

n）?

0.01

查表得n≥9.故机场至少应配备9条跑道.

7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？

【解】设x表示出事故的次数，则x~b（1000，0.0001）

p（x?

2）?

p（x?

0）?

p（x?

1）

【篇二：

概率论课后习题解答】

1写出下列随机试验的样本空间：

（1）某篮球运动员投篮时,连续5次都命中,观察其投篮次数;解：

连续5次都命中，至少要投5次以上，故?

5,6,7,?

；

（2）掷一颗匀称的骰子两次,观察前后两次出现的点数之和;解：

2,3,4,?

11,12?

；（3）观察某医院一天内前来就诊的人数;

解：

医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以?

0,1,2,?

（4）从编号为1，2，3，4，5的5件产品中任意取出两件,观察取出哪两件产品;解：

属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：

i,j?

;（5）检查两件产品是否合格;

解：

用0表示合格,1表示不合格，则?

0,0?

0,1?

1,0?

1,1?

；

（6）观察某地一天内的最高气温和最低气温（假设最低气温不低于t1,最高气温不高于t2）;解：

用x表示最低气温,y表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：

；

x,y?

；

（7）在单位圆内任取两点,观察这两点的距离;解：

x0?

；

（8）在长为l的线段上任取一点,该点将线段分成两段,观察两线段的长度.解：

x,y?

0,y?

0,x?

；

1.2设a，b，c为三事件,用a;b;c的运算关系表示下列各事件：

（1）a与b都发生,但c不发生;abc；

（2）a发生,且b与c至少有一个发生;a（b?

c）；（3）a,b,c中至少有一个发生;a?

c；（4）a,b,c中恰有一个发生;abc?

bc?

abc；（5）a,b,c中至少有两个发生;ab?

ac?

bc；

（6）a,b,c中至多有一个发生;ab?

ac?

bc；（7）a;b;c中至多有两个发生;abc；（8）a,b,c中恰有两个发生.abc?

abc?

abc；注意：

此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

1.3设样本空间?

x0?

事件a=?

x0.5?

x0.8?

1.6?

具体写出下列各事件：

（1）ab;

（2）a?

b;（3）a?

b;（4）a?

（1）ab?

x0.8?

；

（2）a?

b=?

x0.5?

0.8?

；

（3）a?

b=?

x0?

0.5?

0.8?

;（4）a?

b=?

x0?

0.5?

1.6?

1.4用作图法说明下列各命题成立：

略

1.5用作图法说明下列各命题成立：

略

1.6按从小到大次序排列p（a）,p（a?

b）,p（ab）,p（a）?

p（b）,并说明理由.

解：

由于ab?

a,a?

（a?

b）,故p（ab）?

p（a）?

p（a?

b），而由加法公式，有：

p（a?

b）?

p（a）?

p（b）

1.7若w表示昆虫出现残翅,e表示有退化性眼睛,且p（w）=0.125;p（e）=0.075,p（we）=0.025,求下列事件的概率：

（1）昆虫出现残翅或退化性眼睛;

（2）昆虫出现残翅,但没有退化性眼睛;（3）昆虫未出现残翅,也无退化性眼睛.

解：

（1）昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：

p（w?

e）?

p（w）?

p（e）?

p（we）?

0.175

（2）由于事件w可以分解为互斥事件we,we，昆虫出现残翅,但没有退化性眼睛对应事件概率为：

p（we）?

p（w）?

p（we）?

0.1

（3）昆虫未出现残翅,也无退化性眼睛的概率为：

p（we）?

p（w?

e）?

0.825.1.8设a与b是两个事件,p（a）=0.6;p（b）=0.8。

试问：

（1）在什么条件下p（ab）取到最大值?

最大值是多少?

（2）在什么条件下p（ab）取到最小值?

最小值是多少?

解：

（1）由于ab?

a,ab?

b，故p（ab）?

p（a）,p（ab）?

p（b）,显然当a?

b时p（ab）

取到最大值。

最大值是0.6.

（2）由于p（ab）?

p（a）?

p（b）?

p（a?

b）。

显然当p（a?

b）?

1时p（ab）取到最小值，最小值是0.4.

1.9设p（a）=0.2,p（b）=0.3,p（c）=0.5,p（ab）=0,p（ac）=0.1,p（bc）=0.2,求事件a,b,c中至少有一个发生的概率.

解：

因为p（ab）=0，故p（abc）=0.a,b,c至少有一个发生的概率为：

p（a?

c）?

p（a）?

p（b）?

p（c）?

p（ab）?

p（bc）?

p（ac）?

p（abc）?

0.7

1.10计算下列各题：

（1）设p（a）=0.5,p（b）=0.3,p（a?

b）=0.6,求p（ab）;

（2）设p（a）=0.8,p（a?

b）=0.4,求p（ab）;（3）设p（ab）=p（ab）;p（a）=0.3,求p（b）。

解：

（1）通过作图，可以知道，p（ab）?

p（a?

b）?

p（b）?

0.3

（2）p（ab）?

p（ab）?

（p（a）?

p（a?

b））?

0.6（3）

由于p（ab）?

p（ab）?

p（a?

b）?

（p（a）?

p（b）?

p（ab））?

p（a）?

p（b）?

p（ab）p（b）?

p（a）?

0.7

1.11把3个球随机地放入4个杯子中，求有球最多的杯子中球数是1，2，3概率各为多少？

解：

用ai表示事件“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3。

三只球放入四只杯中，放法有

64种，每种放法等可能。

（选排列：

好比3个球在4个位置做排列）。

对事件a3：

必须三球都放入一杯中。

放法有4种。

（只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种），故p（a3）?

116

。

p（a2）?

116

916

1.12掷一颗匀称的骰子两次,求前后两次出现的点数之和为3;4;5的概率各是多少?

解：

此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。

.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。

故前后两次出现的点数之和为3的概率为

118

。

同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5的概率各是1.13在整数0,1,2,?

9中任取三个数,求下列事件的概率：

（1）三个数中最小的一个是5;

（2）三个数中最大的一个是5.

129

。

解：

从10个数中任取三个数，共有c10?

120种取法，亦即基本事件总数为120。

（1）若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有

。

c4?

6种，故所求概率为20

（2）若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有c52?

10种，故所求概率为

1.1412只乒乓球中有4只是白色球,8只是黄色球。

现从这12只乒乓球中随机地取出两只,求下列事件的概率：

（1）取到两只黄球;

（2）取到两只白球;（3）取到一只白球,一只黄球.解：

分别用a1,a2,a3表示事件：

（1）取到两只黄球;

（2）取到两只白球;（3）取到一只白球,一只黄球.则

p（a1）?

c8c

112

。

212

2866

1433

p（a2）?

c4c

212

666

111

p（a3）?

p（a1）?

p（a2）?

1633

。

1.15已知p（a）?

0.7,p（b）?

0.4，p（ab）?

0.5,求p（（a?

b）b）.

p（（a?

b）?

b）

p（b）

p（（ab）?

（bb））

p（b）

解：

p（（a?

b）b）?

由于p（bb）?

0，故p（（a?

b）b）?

p（ab）p（b）

p（a）?

p（ab）

p（b）

0.5

1.16已知p（a）?

0.6,p（b）?

0.4,p（ab）?

0.5。

计算下列二式：

（1）p（a?

b）;

（2）p（a?

b）;

解：

（1）p（a?

b）?

p（a）?

p（b）?

p（ab）?

p（b）p（ab）?

0.4?

0.5?

0.8;

（2）p（a?

b）?

p（a）?

p（b）?

p（ab）?

p（b）p（ab）?

0.4?

0.5?

0.6;注意：

因为p（ab）?

0.5，所以p（ab）?

p（ab）?

0.5。

1.17一批产品共20件,其中有5件是次品,其余为正品。

现从这20件产品中不放回地任意抽取三次,每次只取一件,求下列事件的概率：

（1）在第一、第二次取到正品的条件下,第三次取到次品;

（2）第三次才取到次品;（3）第三次取到次品.

解：

用ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?

1,2,3），则ai表示事件“第i次取到的是次品”（i?

1,2,3）。

p（a）?

aa）p?

（ap）（a1a）2

204

31421

41938

（1）事件“在第一、第二次取到正品的条件下,第三次取到次品”的概率为：

p（a3a1a2）?

5。

1520

1419

518

35228

（2）事件“第三次才取到次品”的概率为：

p（a1a2a3）?

p（a1）p（a2a1）p（a3a1a2）?

（3）事件“第三次取到次品”的概率为：

此题要注意区分事件

（1）、

（2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。

再例如，

设有两个产品，一个为正品，一个为次品。

用ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?

1,2），则事件“在第一次取到正品的条件下,第二次取到次品”的概率为：

p（a2a1）?

1；而事件“第二次才取到次品”的概率为：

p（a1a2）?

p（a1）p（a2a1）?

。

区别是显然的。

1.18有两批相同的产品,第一批产品共14件,其中有两件为次品,装在第一个箱中;第二批有10件,其中有一件是次品,装在第二个箱中。

今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中,然后再从第二箱中任取一件,求从第二箱中取到的是次品的概率。

解：

用ai（i?

0,1,2）表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i”。

用b表示事件“从第二箱中取到的是次品”。

则p（a0）?

112，

212，

c12c14

6691

p（a1）?

312，

c12?

c14

2491

p（a2）?

c14

191

p（ba0）?

p（ba1）?

p（ba2）?

根据全概率公式，有：

p（b）?

p（a0）p（ba0）?

p（a1）p（ba1）?

p（a2）p（ba2）?

328

1.19一等小麦种子中混有5%的二等种子和3%的三等种子。

已知一、二、三等种子将来长出的穗有50颗以上麦粒的概率分别为50%,15%和10%。

假设一、二、三等种子的发芽率相同,求用上述的小麦种子播种后,这批种子所结的穗有50颗以上麦粒的概率.解：

设ai（i?

1,2,3）表示事件“所用小麦种子为i等种子”，

【篇三：

概率论和数理统计_复旦大学_课后题答案（全）】

s=txt>习题一

1.见教材习题参考答案.

2.设a，b，c为三个事件，试用a，b，

（1）a发生，b，c都不发生；

（2）a与b发生，

c（3）a，b，c都发生；（4）a，b，

c（5）a，b，c都不发生；（6）a，b，

（7）a，b，c至多有2个发生；（8）a，b，c至少有2个发生

.【解】

（1）abc

（2）abc（3）abc

（4）a∪b∪c=abc∪abc∪abc∪abc∪abc∪abc∪abc=abc（5）abc=a

bc（6）abc

（7）abc∪abc∪abc∪abc∪abc∪abc∪abc=abc=a∪b∪c（8）ab∪bc∪ca=abc∪abc∪abc∪abc3.

4.设a，b为随机事件，且p（a）=0.7,p（a?

b）=0.3，求p（ab）.【解】p（ab）=1?

p（ab）=1?

[p（a）?

p（a?

b）]

=1?

[0.7?

0.3]=0.6

5.设a，b是两事件，且p（a）=0.6,p（b）=0.7,

（1）在什么条件下p（

（2）在什么条件下p（

ab【解】

（1）当ab=a时，p（ab）取到最大值为0.6.

6.设a，b，c为三事件，且p（a）=p（b）=1/4，p（c）=1/3且p（ab）=p（bc）=0，

p（ac）=1/12，求a，b，c至少有一事件发生的概率.

【解】p（a∪b∪c）=p（a）+p（b）+p（c）?

p（ab）?

p（bc）?

p（ac）+p（abc）

11113++?

=443124

52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？

5332

【解】p=c13c13c13c13/c1352

（1）求五个人的生日都在星期日的概率；

（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】

（1）设a1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故p（a1）=

115

=（）（亦可用独立性求解，下同）577

（2）设a2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

6565

p（a2）=5=（）

（3）设a3={五个人的生日不都在星期日}

p（a3）=1?

p（a1）=1?

（

）7

9..见教材习题参考答案.

10.一批产品共n件，其中m件正品.从中随机地取出n件（nn）.试求其中恰有m件（m≤m）正品（记为a）的概率

（1）n件是同时取出的；

（2）

n（3）n件是有放回逐件取出的.

【解】

（1）p（a）=cmmcn?

m/cn

（2）由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有pn种，n次抽取中有m

次为正品的组合数为cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从m件正

mn?

品中取m件的排列数有pm种，从n?

m件次品中取n?

m件的排列数为pn?

m种，

故

mn?

cmpp

p（a）=nmnn?

由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成

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