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1、概率论修订版课后答案概率论修订版课后答案【篇一：概率论与数理统计习题答案-修订版-(复旦大学)第一二章课后习题答案】xt习题 一 1?略.见教材习题参考答案. 2.设a，b，c为三个事件，试用a，b，c的运算关系式表示下列事件：? （1） a发生，b，c都不发生； （2） a与b发生，c不发生；? （3） a，b，c都发生； （4） a，b，c至少有一个发生；? （5） a，b，c都不发生； （6） a，b，c不都发生；? （7） a，b，c至多有2个发生； （8） a，b，c至少有2个发生.? 【解】（1） abc （2） abc （3） abc （4） abc=abcabcabcabcab

2、cabcabc=abc (5) abc=a?b?c(6) abc (7) abcabcabcabcabcabcabc=abc=abc (8) abbcca=abcabcabcabc 3.?略.见教材习题参考答案? 4.设a，b为随机事件，且p（a）=0.7,p(a?b)=0.3，求p（ab）.? 【解】 p（ab）=1?p（ab）=1?p(a)?p(a?b) =1?0.7?0.3=0.6 5.设a，b是两事件，且p（a）=0.6,p(b)=0.7,求：? （1） 在什么条件下p（ab）取到最大值？? （2） 在什么条件下p（ab）取到最小值？? 【解】（1） 当ab=a时，p（ab）取到最大值

3、为0.6. 6.设a，b，c为三事件，且p（a）=p（b）=1/4，p（c）=1/3且p（ab）=p（bc）=0， ?p（ac）=1/12，求a，b，c至少有一事件发生的概率.? 【解】p（abc）=p(a)+p(b)+p(c)?p(ab)?p(bc)?p(ac)+p(abc) = 11113+?= 44312423.?设p（a）=0.3,p(b)=0.4,p(ab)=0.5，求p（bab） 【解】p(ba?b)? ? p(ab)pa(?)pab() ? p(a?b)p(a)?p(b)?p(ab) 0.7?0.51 ? 0.7?0.6?0.54 111 ，求将此密码破译出534 33.?三人独

4、立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为的概率. 【解】 设ai=第i人能破译（i=1,2,3），则 p(?ai)?1?p(a1a2a3)?1?p(a1)p(a2)p(a3) i?1 3 ?1? 423 ?0.6 534 34.?甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人 击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设a=飞机被击落，bi=恰有i人击中飞机，i=0,1,2,3 由全概率公式，得 p(a)?p(a|bi)p(bi) i?0 3 习题二 1.一

5、袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以x表示取出的3只 球中的最大号码，写出随机变量x的分布律. 【解】 x?3,4,5p(x?3)?p(x?4)? 1 ?0.1c353?0.3c35 c24 p(x?5)?3?0.6 c5 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以x表示取出的次品个数，求： （1） x的分布律； （2） x的分布函数并作图； (3) 133 px?p1?x?p1?x?p1?x?2. 222 【解】 x?0,1,2. 3 c1322 p(x?0)?3?. c15352c1122c13 p(x?1)?3?. c

6、1535 c11 p(x?2)?13?.3 c1535 （2） 当x0时，f（x）=p（xx）=0 当0x1时，f（x）=p（xx）=p(x=0)= 22 35 当1x2时，f（x）=p（xx）=p(x=0)+p(x=1)=当x2时，f（x）=p（xx）=1 故x的分布函数 34 35 x?0?0, ?22 ?,0?x?1?35 f(x)? ?34,1?x?2?35?1,x?2? (3) 1122 p(x?)?f()?, 2235333434 p(1?x?)?f()?f(1)?0 223535 3312 p(1?x?)?p(x?1)?p(1?x?)? 2235 341 p(1?x?2)?f(2

7、)?f(1)?p(x?2)?1?0. 35353.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设x表示击中目标的次数.则x=0，1，2，3. p(x?0)?(0.2)3?0.008 2 p(x?1)?c130.8(0.2)?0.096 p(x?2)?c(0.8)0.2?0.384p(x?3)?(0.8)3?0.512 故x的分布律为分布函数 2 3 2 x?0?0, ?0.008,0?x?1? f(x)?0.104,1?x?2 ?0.488,2?x?3? x?3?1,p(x?2)?p(x?2)?p

8、(x?3)?0.896 4.（1） 设随机变量x的分布律为 px=k=a ?k k! ， （2） 设随机变量x的分布律为 px=k=a/n， k=1，2，?，n， 试确定常数a. 【解】（1） 由分布律的性质知 1?p(x?k)?a? k?0 k?0 ? ?k k! ? ?a?e? 故 a?e(2) 由分布律的性质知 1?p(x?k)? k?1 k?1 nn a ?a n 即 a?1. 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令x、y表示甲、乙投中次数，则xb（3，0.6）,yb(3,0.

9、7) (1) p(x?y)?p(x?0,y?0)?p(x?1,y?1)?p(x?2,y?2)? p(x?3,y?3) 212 ?(0.4)3(0.3)3?c130.6(0.4)c30.7(0.3)+ 22 c3(0.6)20.4c3(0.7)20.3?(0.6)3(0.7)3 ?0.32076 (2) p(x?y)?p(x?1,y?0)?p(x?2,y?0)?p(x?3,y?0)?p(x?2,y?1)?p(x?3,y?1)?p(x?3,y?2) 23223 ?c130.6(0.4)(0.3)?c3(0.6)0.4(0.3)? 22 (0.6)3(0.3)3?c3(0.6)20.4c10.7(0

10、.3)? 32322(0.6)3c130.7(0.3)?(0.6)c3(0.7)0.3 =0.243 6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设x为某一时刻需立即降落的飞机数，则xb(200,0.02)，设机场需配备n条跑道， 则有 p(x?n)?0.01 即利用泊松近似 k?n?1 ?c 200 k200 (0.02)k(0.98)200?k?0.01 ?np?200?0.02?4. e?44

11、k p(x?n)?0.01 k!k?n?1 ? 查表得n9.故机场至少应配备9条跑道. 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】设x表示出事故的次数，则xb（1000，0.0001） p(x?2)?1?p(x?0)?p(x?1)【篇二：概率论课后习题解答】1 写出下列随机试验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故?1?5,6,7,?； (2) 掷一颗匀称的骰子两

12、次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：?2?2,3,4,?11,12?； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以?3?0,1,2,?(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ?4?i,j?i?j?5?; (5) 检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则?5?0,0?,?0,1?,?1,0?,?1,1?； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于t1, 最高气温不高于t2); 解：用

13、x表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ?6? ?； ?x,y?x? 1 y?t2 ?； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：?7?x0?x?2?； (8) 在长为l的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：?8?x,y?x?0,y?0,x?y?l?； 1.2 设a，b，c 为三事件, 用a;b;c 的运算关系表示下列各事件：(1) a 与b 都发生, 但c 不发生; abc； (2) a 发生, 且b 与c 至少有一个发生;a(b?c)； (3) a,b,c 中至少有一个发生; a?b?c； (4) a,b,c 中恰有

14、一个发生;abc?abc?abc； (5) a,b,c 中至少有两个发生; ab?ac?bc； (6) a,b,c 中至多有一个发生;ab?ac?bc； (7) a;b;c 中至多有两个发生;abc； (8) a,b,c 中恰有两个发生.abc?abc?abc ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。 1.3 设样本空间?x0?x?2?, 事件a=?x0.5?x?1?,b?x0.8?x?1.6? 具体写出下列各事件： (1) ab; (2) a?b ; (3) a?b; (4) a?b （1）ab?x0.8?x?1?； (2) a?b=?x0.5?x?0.8?； (3) a?b=?

15、x0?x?0.5?0.8?x?2?;(4) a?b=?x0?x?0.5?1.6?x?2? 1.4 用作图法说明下列各命题成立： 略 1.5 用作图法说明下列各命题成立： 略 1.6 按从小到大次序排列p(a),p(a?b),p(ab),p(a)?p(b), 并说明理由. 解：由于ab?a,a?(a?b),故p(ab)?p(a)?p(a?b)，而由加法公式，有： p(a?b)?p(a)?p(b) 1.7 若w 表示昆虫出现残翅, e 表示有退化性眼睛, 且p(w) = 0.125; p(e) = 0.075, p(we) = 0.025, 求下列事件的概率： (1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛;

16、(2) 昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛; (3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛. 解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为： p(w?e)?p(w)?p(e)?p(we)?0.175 (2) 由于事件w可以分解为互斥事件we,we，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：p(we)?p(w)?p(we)?0.1 (3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：p(we)?1?p(w?e)?0.825. 1.8 设a 与b 是两个事件, p(a) = 0.6; p(b) = 0.8。试问： (1) 在什么条件下p(ab) 取到最大值? 最大值是多少? (2) 在什么条

17、件下p(ab) 取到最小值? 最小值是多少? 解：(1) 由于ab?a,ab?b，故p(ab)?p(a),p(ab)?p(b),显然当a?b时p(ab)取到最大值。 最大值是0.6. (2) 由于p(ab)?p(a)?p(b)?p(a?b)。显然当p(a?b)?1时p(ab) 取到最小值，最小值是0.4. 1.9 设p(a) = 0.2, p(b) = 0.3, p(c) = 0.5, p(ab) = 0, p(ac) = 0.1, p(bc) = 0.2, 求事件a,b,c 中至少有一个发生的概率. 解：因为 p(ab) = 0，故 p(abc) = 0.a,b,c至少有一个发生的概率为：

18、p(a?b?c)?p(a)?p(b)?p(c)?p(ab)?p(bc)?p(ac)?p(abc)?0.7 1.10 计算下列各题： (1) 设p(a) = 0.5, p(b) = 0.3, p(a?b) = 0.6, 求p(ab); (2) 设p(a) = 0.8, p(a?b) = 0.4, 求p(ab); (3) 设p(ab) = p(a b); p(a) = 0.3, 求p(b)。 解： （1）通过作图，可以知道，p(ab)?p(a?b)?p(b)?0.3 （2）p(ab)?1?p(ab)?1?(p(a)?p(a?b)?0.6 (3) 由于p(ab)?p(ab)?1?p(a?b)?1?(

19、p(a)?p(b)?p(ab)?1?p(a)?p(b)?p(ab)p(b)?1?p(a)?0.7 1.11 把3个球随机地放入4个杯子中，求有球最多的杯子中球数是1，2，3 概率各为多少？ 解：用ai表示事件“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有 4?4?4?64种，每种放法等可能。 (选排列：好比3个球在4个位置做排列)。 38 对事件a3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故p(a3)? 116 。p(a2)?1? 38 ? 116 ? 916 1.12 掷一颗匀称的骰子两次, 求前后两次出现的点数之和

20、为3; 4; 5 的概率各是多少? 解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为 118 。同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是1.13 在整数0,1,2,?9中任取三个数, 求下列事件的概率： (1) 三个数中最小的一个是5; (2) 三个数中最大的一个是5. 1 129 , 1 。 3 解：从10个数中任取三个数，共有c10?120种取法，亦即基本事件总数为120。 (1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有 1

21、2 。 c4?6种，故所求概率为20 (2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有c52?10种，故所求概率为 1.14 12只乒乓球中有4 只是白色球, 8 只是黄色球。现从这12 只乒乓球中随机地取出两 只, 求下列事件的概率： (1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球. 解：分别用a1,a2,a3表示事件： (1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则 p(a1)? c8c 2 112 。 212 ? 2866 ? 1433 ,p(a2)? c4c 2 212 ? 6

22、66 ? 111 ,p(a3)?1?p(a1)?p(a2)? 1633 。 1.15 已知p(a)?0.7,p(b)?0.4，p(ab)?0.5, 求p(a?b)b). p(a?b)?b) p(b) p(ab)?(bb) p(b) 解：p(a?b)b)? 由于p(bb)?0，故p(a?b)b)? p(ab)p(b) ? p(a)?p(ab) p(b) ?0.5 1.16 已知p(a)?0.6,p(b)?0.4,p(ab)?0.5。 计算下列二式： (1) p(a?b);（2）p(a?b); 解：（1）p(a?b)?p(a)?p(b)?p(ab)?1?p(b)p(ab)?1?0.4?0.5?0.

23、8; （2）p(a?b)?p(a)?p(b)?p(ab)?1?p(b)p(ab)?1?0.4?0.5?0.6; 注意：因为p(ab)?0.5，所以p(ab)?1?p(ab)?0.5。 1.17 一批产品共20 件, 其中有5 件是次品, 其余为正品。现从这20 件产品中不放回地任 意抽取三次, 每次只取一件, 求下列事件的概率： (1) 在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品; (2) 第三次才取到次品; (3) 第三次取到次品. 解：用ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?1,2,3），则ai表示事件“第i次取到的是次品”（i?1,2,3）。p(a)?1 15 3 aa)p?(a

24、p)(a1a)2 12 204 1 31421 ?41938 (1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为： p(a3a1a2)? 5。 18 1520 1419 518 35228 (2) 事件“第三次才取到次品”的概率为： p(a1a2a3)?p(a1)p(a2a1)p(a3a1a2)? ? ? ? （3）事件“第三次取到次品”的概率为： 1 4 此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如， 设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?1,2）， 则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二

25、次取到次品”的概率为：p(a2a1)?1；而事件“第二次才取到次品”的概率为：p(a1a2)?p(a1)p(a2a1)? 12 。区别是显然的。 1.18 有两批相同的产品, 第一批产品共14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个箱中; 第二批有10 件, 其中有一件是次品, 装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中, 然后再从第二箱中任取一件, 求从第二箱中取到的是次品的概率。 解：用ai(i?0,1,2)表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i”。用b表示事件“从第二箱中取到的是次品”。则p(a0)? 112， 212， c12c14 2 2 ? 6691 ,p(a1)?3

26、12， c12?c2 c14 2 11 ? 2491 ,p(a2)? c2 2 c14 2 ? 191 , p(ba0)?p(ba1)?p(ba2)? 根据全概率公式，有： p(b)?p(a0)p(ba0)?p(a1)p(ba1)?p(a2)p(ba2)? 328 1.19 一等小麦种子中混有5%的二等种子和3%的三等种子。已知一、二、三等种子将来长出的穗有50 颗以上麦粒的概率分别为50%, 15% 和10%。假设一、二、三等种子的发芽率相同,求用上述的小麦种子播种后, 这批种子所结的穗有50 颗以上麦粒的概率. 解：设ai(i?1,2,3)表示事件“所用小麦种子为i等种子”，【篇三：概率论

27、和数理统计_复旦大学_课后题答案(全)】s=txt习题 一 1.见教材习题参考答案. 2.设a，b，c为三个事件，试用a，b，c（1） a发生，b，c都不发生； （2） a与b发生，c （3） a，b，c都发生； （4） a，b，c （5） a，b，c都不发生； （6） a，b，c （7） a，b，c至多有2个发生； （8） a，b，c至少有2个发生. 【解】（1） abc （2） abc （3） abc （4） abc=abcabcabcabcabcabcabc=abc (5) abc=a bc(6) abc (7) abcabcabcabcabcabcabc=abc=abc (8) abb

28、cca=abcabcabcabc 3. . 4.设a，b为随机事件，且p（a）=0.7,p(a?b)=0.3，求p（ab）. 【解】 p（ab）=1?p（ab）=1?p(a)?p(a?b) =1?0.7?0.3=0.6 5.设a，b是两事件，且p（a）=0.6,p(b)=0.7, （1） 在什么条件下p（ab （2） 在什么条件下p（ab 【解】（1） 当ab=a时，p（ab）取到最大值为0.6. 6.设a，b，c为三事件，且p（a）=p（b）=1/4，p（c）=1/3且p（ab）=p（bc）=0， p（ac）=1/12，求a，b，c至少有一事件发生的概率. 【解】p（abc）=p(a)+p(

29、b)+p(c)?p(ab)?p(bc)?p(ac)+p(abc)= 7. 11113+?= 443124 52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 5332 【解】p=c13c13c13c13/c1352 8. （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设a1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故p（a1）= 115 =（）（亦可用独立性求解，下同） 577 （2） 设a2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为65，故 6

30、565 p（a2）=5=() 77 (3) 设a3=五个人的生日不都在星期日 p（a3）=1?p(a1)=1?( 15 ) 7 9.见教材习题参考答案. 10.一批产品共n件，其中m件正品.从中随机地取出n件（nn）.试求其中恰有m件（mm）正品（记为a）的概率. （1） n件是同时取出的； （2）n （3） n件是有放回逐件取出的. n?mn 【解】（1） p（a）=cmmcn?m/cn n (2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有pn种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从m件正 mn?m 品中取m件的排列数有pm种，从n?m件次品中取n?m件的排列数为pn?m种， 故 mn?m cmpp p（a）=nmnn?m pn 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成 n?m