牛奶价格非线性规划.docx
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牛奶价格非线性规划
目录
目录1
摘要4
关键词：
牛奶价格非线性规划交叉伸缩性4
一、问题的重述与分析4
二、模型的假设5
三、符号说明5
四、模型的建立与求解6
4.1不同奶制品价格的分析：
6
4.1.1奶制品价格伸缩性6
4.1.2奶制品价格伸缩性6
4.1.3奶制品价格的求解：
6
4.2模型的建立6
4.2.1各种奶制品的脂肪含量6
4.2.2各种奶制品的奶粉含量6
4.3脂肪含量和奶粉含量满足的约束条件6
4.3.1消费量满足的约束条件7
4.3.2模型建立7
4.4模型求解8
4.4.1奶制品价格伸缩性8
4.4.2奶制品价格伸缩性8
4.4.3奶制品价格的求解：
8
4.4.5建立目标函数8
4.4.6脂肪和奶粉的约束条件8
五．模型的评价14
六．附录14
七．参考文献17
摘要
奶牛养殖者与乳制品企业间稳定牛奶价格的存在按照价格规律，商品价格应围绕价值上下波动；按照供求关系影响价格的经济规律，当供给大于需求时，商品价格下降，反之，当供给小于需求时，商品价格上涨。
因此，几乎所有商品的市场价格都是变化波动的，例如鸡蛋、猪肉价格的变动等等。
而在中国奶牛养殖业中，奶源提供者（奶牛养殖者）与乳制品企业之间的牛奶价格却相对稳定。
在变化不定的市场条件下，却有“稳定牛奶价格”，这一现象既违背价格规律（按照价格规律，当饲料价格上涨，牛奶单位价值增加，牛奶的价格也应上涨；反之，当饲料价格下降，牛奶单位价值减少，牛奶的价格则应下降）；又违背供求关系影响价格的规律（按照供求关系影响价格的规律，当牛奶的供给大于需求时，牛奶价格下降，反之，当牛奶的供给小于需求时，牛奶价格上涨那么。
某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。
所有这些产品都直接或间接的来自国家的原奶生产，原奶首先要分离成脂肪和奶粉两种组合，去掉生产出口产品和农场消费的产品的部分后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪1和奶酪2，供国内全年消费。
需制定合理的价格来促进价格的增长。
针对问题1：
牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2的E值依次为0.4，2.7，1.1和0.4及E12=0.1,E21=0.4试求出4种产品的价格，使所导致的需求使销售总收入为最大。
本文建立了一个非线性规划的模型，利用matlab软件求解。
针对问题2：
然而政策不允许某种产品价格上升过快，假定各种奶制品的价格伸缩性E满足,交叉伸缩性,试求出4种产品的价格，使所导致的需求使销售总收入为最大。
因此，作为对问题的一个特别重要的附加要求，是对这一政策限制的经济代价，给出数量表示。
我们在第一问的基础上添加了新的约束条件，让其每种牛奶、奶油和两种奶酪1和奶酪2的总的消费总额不增加。
关键词：
牛奶价格非线性规划交叉伸缩性
一、问题的重述与分析
某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。
所有这些产品都直接或间接的来自国家的原奶生产，原奶首先要分离成脂肪和奶粉两种组合，去掉生产出口产品和农场消费的产品的部分后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪1和奶酪2，供国内全年消费。
表5-17各种奶制品的百分比组成见下表：
产品/成分
脂肪
奶粉
水
牛奶
4
9
87
奶油
80
2
18
奶酪1
35
30
35
奶酪2
25
40
35
表5-18往年的国内消费量和价格如下表：
产品
牛奶
奶油1
奶酪1
奶酪2
消费量（千吨）
4820
320
210
70
价格（元/吨）
297
720
1050
815
价格的变化会影响消费需求。
为表现这方面的规律，定义需求的价格伸缩性E：
E=需求降低百分数/价格提高百分数，各种产品的E值，可依据往年的价格和需求变化情况的统计数据，用数理统计方法求出。
另外，两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代，这一规律可以用需求关于价格的交叉伸缩性EAB定义作：
EAB=A需求提高百分数/B价格提高百分数。
奶酪1到奶酪2的交叉伸缩性E12、奶酪2到奶酪1的交叉伸缩性E21、同样可依据往年的数据用统计方法求出。
请解决下列问题：
1.牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2的E值依次为0.4，2.7，1.1和0.4及E12=0.1,E21=0.4试求出4种产品的价格，使所导致的需求使销售总收入为最大。
2.然而政策不允许某种产品价格上升过快，假定各种奶制品的价格伸缩性E满足,交叉伸缩性,试求出4种产品的价格，使所导致的需求使销售总收入为最大。
因此，作为对问题的一个特别重要的附加要求，是对这一政策限制的经济代价，给出数量表示。
二、模型的假设
1.提供的数据真实有效；
2.4种产品都能销售出去；
3.利用非线性规划有最优解。
三、符号说明
表示奶制品价格的提高百分比；
表示原先奶制品价格；
表示现在奶制品价格；
表示原先的奶制品消费量；
表示现在奶制品消费量；
表示脂肪在各种奶制品的比例；
表示奶粉在各种奶制品的比例；
表示所有奶制品的销售额；其余未说明的符号会在文章中进行说明
四、模型的建立与求解
4.1不同奶制品价格的分析：
4.1.1奶制品价格伸缩性
价格的变化会影响消费需求。
为表现这方面的规律，定义需求的价格伸缩性E：
E=需求降低百分数/价格提高百分数，各种产品的E值，可依据往年的价格和需求变化情况的统计数据，用数理统计方法求出。
牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2的E值依次为0.4，2.7，1.1和0.4。
可以得到
，
即牛奶、奶油的销量为：
4.1.2奶制品价格伸缩性
另外，两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代，
这一规律可以用需求关于价格
的交叉伸缩性EAB定义作：
EAB=A需求提高百分数/B价格提高百分数。
奶酪1到奶酪2的交叉伸缩性E12、奶酪2到奶酪1的交叉伸缩性E21、同样可依据往年的数据用统计方法求出。
奶酪1、奶酪2的E值依次为E12=0.1,E21=0.4。
可以得到
，
即奶酪1、奶酪2的销量为：
4.1.3奶制品价格的求解：
由
表示奶制品价格的提高百分比；可以得到现在各种奶制品价格分别为：
牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2价格分别为：
4.2模型的建立
4.2.1各种奶制品的脂肪含量
牛奶的脂肪含量：
奶油的脂肪含量：
奶酪1的脂肪含量：
奶酪2的脂肪含量：
4.2.2各种奶制品的奶粉含量
牛奶的奶粉含量：
奶油的奶粉含量：
奶酪1的奶粉含量：
奶酪2的奶粉含量：
4.3脂肪含量和奶粉含量满足的约束条件
所有这些产品都直接或间接的来自国家的原奶生产，原奶首先要分离成脂肪和奶粉两种组合，去掉生产出口产品和农场消费的产品的部分后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪1和奶酪2，供国内全年消费。
得到以下约束条件：
4.3.1消费量满足的约束条件
牛奶的消费量满足的约束条件：
奶油的消费量满足的约束条件：
奶酪1的消费量满足的约束条件：
奶酪2的消费量满足的约束条件：
4.3.2模型建立
所有这些产品都直接或间接的来自国家的原奶生产，原奶首先要分离成脂肪和奶粉两种组合，去掉生产出口产品和农场消费的产品的部分后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪1和奶酪2，供国内全年消费。
价格的变化会影响消费需求。
为表现这方面的规律，定义需求的价格伸缩性E：
E=需求降低百分数/价格提高百分数，各种产品的E值，可依据往年的价格和需求变化情况的统计数据，用数理统计方法求出。
另外，两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代，这一规律可以用需求关于价格的交叉伸缩性EAB定义作：
EAB=A需求提高百分数/B价格提高百分数。
奶酪1到奶酪2的交叉伸缩性E12、奶酪2到奶酪1的交叉伸缩性E21、同样可依据往年的数据用统计方法求出。
牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2的E值依次为0.4，2.7，1.1和0.4及E12=0.1,E21=0.4试求出4种产品的价格，使所导致的需求使销售总收入为最大。
由上面的分析后得到要求解销售总收入满足如下的函数关系：
销售总收入的目标函数是：
；
约束条件是：
：
4.4模型求解
4.4.1奶制品价格伸缩性
价格的变化会影响消费需求。
为表现这方面的规律，定义需求的价格伸缩性E：
E=需求降低百分数/价格提高百分数，各种产品的E值，可依据往年的价格和需求变化情况的统计数据，用数理统计方法求出。
牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2的E值依次为0.4，2.7，1.1和0.4。
可以得到
，
即牛奶、奶油的销量为：
4.4.2奶制品价格伸缩性
另外，两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代，
这一规律可以用需求关于价格
的交叉伸缩性EAB定义作：
EAB=A需求提高百分数/B价格提高百分数。
奶酪1到奶酪2的交叉伸缩性E12、奶酪2到奶酪1的交叉伸缩性E21、
同样可依据往年的数据用统计方法求出。
奶酪1、奶酪2的E值依次为E12=0.1,
E21=0.4。
可以得到
，
即奶酪1、奶酪2的销量为：
4.4.3奶制品价格的求解：
由
表示奶制品价格的提高百分比；可以得到现在各种奶制品价格分别为：
牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2价格分别为：
4.4.5建立目标函数
由上面的分析后得到要求解销售总收入满足如下的函数关系：
销售总收入的目标函数是：
4.4.6脂肪和奶粉的约束条件
由于所有这些产品都直接或间接的来自国家的原奶生产，原奶首先要分离成脂肪和奶粉两种组合，去掉生产出口产品和农场消费的产品的部分后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪1和奶酪2，供国内全年消费。
即脂肪和奶粉的满足以下约束条件：
可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪1和奶酪2，供国内全年消费。
其牛奶、奶油和两种奶酪1和奶酪2，供国内全年消费，全年消费不能为负。
得到以下不等式：
即需要求解的模型是：
所有这些产品都直接或间接的来自国家的原奶生产，原奶首先要分离成脂肪和奶粉两种组合，去掉生产出口产品和农场消费的产品的部分后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪1和奶酪2，供国内全年消费。
价格的变化会影响消费需求。
为表现这方面的规律，定义需求的价格伸缩性E：
E=需求降低百分数/价格提高百分数，各种产品的E值，可依据往年的价格和需求变化情况的统计数据，用数理统计方法求出。
另外，两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代，这一规律可以用需求关于价格的交叉伸缩性EAB定义作：
EAB=A需求提高百分数/B价格提高百分数。
奶酪1到奶酪2的交叉伸缩性E12、奶酪2到奶酪1的交叉伸缩性E21、同样可依据往年的数据用统计方法求出。
牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2的E值依次为0.4，2.7，1.1和0.4及E12=0.1,E21=0.4试求出4种产品的价格，使所导致的需求使销售总收入为最大。
由上面的分析后得到要求解销售总收入满足如下的函数关系：
销售总收入的目标函数是：
函数满足的约束条件是：
在约束条件当中：
第一与第二式子，所代表的为原材料的限制，分别为：
第一个式子所代表的为“脂肪资源”是有限的，上限为600千吨；
第二个式子所代表的为“奶粉资源”是有限的，上限为700千吨；
第三、四、五个式子所代表的为牛奶、奶油和两种奶酪1和奶酪2，供国内全年消费不能为负值。
模型求解见下文。
对于上面的不等式约束条件即目标函数我们利用matlab中的fmincon函数求解程序如下：
%求解过程目标函数：
functionf=fun（x）;
f=-（297*（1+x
（1））*4820*（1-0.4*x
（1））+720*（1+x
（2））*320*（1-2.7*x
（2））+1050*（1+x（3））*210*（1-1.1*x（3）+0.1*x（4））+815*（1+x（4））*70*（1-0.4*x（4）+0.4*x（3）））
%线性约束：
x0=[1;0.1;0.01;0.02];
A=[-1928/25-3456/5-1477/207/20;-4338/25-432/25-581/10-49/10;1000;0100;001.1-0.1;00-0.40.4;];
b=[301/5;844/5;2.5;1/2.7;1;1;];
Aeq=[];
beq=[];
VLB=[];
VUB=[2.5;1/2.7;;];
[x,fval]=fmincon（'fun',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB）;
xmin=x
fmin=fval%得到的最大利润：
fmin=-2.3513e+006
%X的取值为：
xmin=xmin=0.7652-0.18940.16491.3935
可以得到：
价格的提高百分率的最优解为
，
，
，
，即在保障销售总收入最大的前提下，牛奶的最优价格为524元/吨，奶油的最优价格为483元/吨，奶酪1的最优价格为201元/吨，奶酪2的最优价格为413元/吨。
可获得最高销售总收入为
元。
此时的奶制品价格（元/吨）：
牛奶的价格为：
524
奶油的价格为：
583
奶酪1的价格为：
1223
奶酪2的价格为：
1952
奶制品销量（千吨）：
牛奶的销量为：
3344
奶油的销量为：
483
奶酪1的销量为：
201
奶酪2的销量为：
413
得到的最大利润为：
牛奶
奶油
奶酪1
奶酪2
总和
价格提高百分率%
76.52
-18.94
16.49
139.35
销量减少的百分率%
30.61
-51.14
18.14
55.82
奶制品价格
（元/吨）
524
583
1223
1952
奶制品销量
（千吨）
3344
483
201
413
最大利润（千元）
1753500
282270
246120
807890
2351300
由表格可以发现奶酪2价格最高，牛奶的价格最低。
牛奶销售量最大，奶酪1销售量最小。
发现了价格与销售量之间存在一定程度上的反相关。
从表格中难以直观看出各产品的消费量，为观察各奶制品之间消费量的比例，绘制扇形图。
牛奶
奶油
奶酪1
奶酪2
总和
奶制品原先销量（千吨）
4820
320
210
815
奶制品销量（千吨）
3344↓
483↓
201↓
413↓
得到奶制品原先销量扇形图（千吨）：
从扇形图中可以发现，在奶制品中，牛奶所占的比例最大占72%，奶酪1所占比例最小占3%，且奶酪2比奶酪1的销售量多。
得到现在奶制品销量扇形图（千吨）：
从扇形图中可以发现，在奶制品中，牛奶所占的比例最大占75%，奶酪1所占比例最小占5%，且奶酪2比奶酪1的销售量多。
且可以发现当销售额达到最大时，牛奶、奶酪1、奶酪2的销售较上一年高，而奶油销售量较上一年低。
牛奶
奶油
奶酪1
奶酪2
总和
奶制品原先价格（元/吨）
297
720
1050
815
奶制品价格（元/吨）
524↑
583↓
1223↑
1952↑
奶制品蓝色为原先价格（元/吨）的柱形图奶制品红色为现在价格（元/吨）的柱形图：
A=[297524;720583;10501223;8151952;];
h=bar（A）
从柱状图中较为直观地可以发现，奶油的价格略微降低，牛奶、奶酪1、奶酪2的价格均比往年有小幅上涨。
分析往年的销售量与现在的销售量发现，奶油类地销售量均下降，奶酪1、奶酪2销售量有所升高。
牛奶
奶油
奶酪1
奶酪2
总和
奶制品原先价格（元/吨）
297
720
1050
815
奶制品价格（元/吨）
524↑
583↓
1223↑
1952↑
奶制品原先销量（千吨）
4820
320
210
815
奶制品销量（千吨）
3344↓
483↑
201↓
413↓
从表格中可以发现，销售量与价格的增减性往往相反，这是受市场的价格与价值关系规律所决定的。
4.4.7问题二的求解
针对问题二，由于政策不允许某种产品价格上升过快，我们根据题中现有的数据，即往年各奶制品的消费量和价格得到总的消费费用，以此作为新的限制条件。
同时保留第一问中的最终目标及其他约束条件不变，用matlab软件进行求解。
再根据新的奶制品的价格及需求得到相对应的销售收入，将销售最大化下销售价格与费用构成的销售总收入作为对比，获得相应的经济收益。
牛奶
奶油
奶酪1
奶酪2
总和
价格提高百分率%
0
10.66
18.97
1.3935
奶制品价格
（元/吨）
297
643
1249
1969
奶制品销量
（千吨）
4820
412
195
414
最大利润（千元）
2011600
为了保证市场奶制品供应量的相对稳定，新的价格有某种价格不上升。
以此作为新的附加约束条件，得到新的奶制品价格，使得销售总收入为最大。
价格（元/吨）的最优解分别为
，
，
，
，即在保障销售总收入最大的前提下，牛奶的最优价格为297元/吨，奶油的最优价格为643元/吨，奶酪1的最优价格为1249元/吨，奶酪2的最优价格为1969元/吨。
销售量（千吨）的最优解为
，
，
即在保障销售总收入最大的前提下，牛奶的最优售量为4820千吨，奶油的最优售量为412千吨，奶酪1的最优售量为195吨，奶酪2的最优售量为414千吨。
在价格和售量最优的情况下，可获得最高销售总收入为
元。
五．模型的评价
优点：
综合考虑了原材料的限制及价格伸缩性与交叉伸缩性
基于单目标最优的方法对该问题建立线性规划模型，为决策有效化提供了良好的参考办法模型简便，准确，有相当的灵活性与实用性，具有广泛的实际用途
缺点：
未考虑其他因素对需求量及价格的影响
将需求量近似作为生产量
没有考虑多次价格变动对市场需求的变化
未将市场自身存在的缺点如滞后性等因素考虑在内
六．附录
%得到的最大利润：
fmin=-2.3513e+006
%X的取值为：
xmin=xmin=
0.7652
-0.1894
0.1649
1.3935
对数据的初步处理：
symsx1x2x3x4t1t2t3t4;
w=297*（1+x1）*4820*（1-0.4*x1）+720*（1+x2）*320*（1-2.7*x2）+1050*（1+x3）*210*（1-1.1*x3+0.1*x4）+815*（1+x4）*70*（1-0.4*x4+0.4*x3）
w1=297*（1+x1）*4820-297*（1+x1）*4820*0.4*x1+720*（1+x2）*320-720*（1+x2）*320*2.7*x2+1050*（1+x3）*210-1050*（1+x3）*210*1.1*x3+1050*（1+x3）*210*0.1*x4+815*（1+x4）*70*1-815*（1+x4）*70*0.4*x4+815*（1+x4）*70*0.4*x3
w2=1431540*x1+230400*x2+220500*x3+57050*x4+x4*22050*x3+x4*22050+x3*22820*x4+x3*22820-x4*22820*x4+x4*22820-x3*242550*x3+x3*242550-x1*572616*x1+x1*572616-x2*622080*x2+x2*622080+1939490
w3=-572616*x1^2+2004156*x1-622080*x2^2+852480*x2-242550*x3^2+44870*x3*x4+485870*x3-22820*x4^2+101920*x4+1939490
p1=4820*（1-0.4*t1）*0.04+320*（1-2.7*t2）*0.8+210*（1-1.1*t3+0.1*t4）*0.35+70*（1-0.4*t4+0.4*t3）*0.25
p2=4820*（1-0.4*t1）*0.09+320*（1-2.7*t2）*0.02+210*（1-1.1*t3+0.1*t4）*0.3+70*（1-0.4*t4+0.4*t3）*0.4
p1=2699/5-1928/25*t1-3456/5*t2-1477/20*t3+7/20*t4
p2=2656/5-4338/25*t1-432/25*t2-581/10*t3-49/10*t4
p11=p1-600
p22=p2-700
%求解过程目标函数：
functionf=fun（x）;
f=-（297*（1+x
（1））*4820*（1-0.4*x
（1））+720*（1+x
（2））*320*（1-2.7*x
（2））+1050*（1+x（3））*210*（1-1.1*x（3）+0.1*x（4））+815*（1+x（4））*70*（1-0.4*x（4）+0.4*x（3）））
%非线性约束：
function[g,ceq]=mycon（x）
g=[（1-0.4*x
（1））*（1+x
（1））-1;（1+x
（2））*（1-2.7*x
（2））-1;（1+x（3））*（1-1.1*x（3）+0.1*x（4））-1;（1+x（4））*（1-0.4*x（4）+0.4*x（3））-1];
ceq=[];
%线性约束：
x0=[1;0.1;0.01;0.02];
A=[-1928/25-3456/5-1477/207/20;-4338/25-432/25-581/10-49/10;1000;0100;001.1-0.1;00-0.40.4;];
b=[301/5;844/5;2.5;1/2.7;1;1;];
Aeq=[];
beq=[];
VLB=[];
VUB=[2.5;1/2.7;;];
[x,fval]=fmincon（'fun',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB）;
xmin=x
fmin=fval
%得到的结果：
%得到的最大利润：
fmin=-2.3513e+006
%X的取值为：
xmin=xmin=
0.7652
-0.1894
0.1649
1.3935
%求解现在的价格，销量：
x1=0.7652;
x2=-0.1894;
x3=0.1649;
x4=1.3956;
m1=297*（1+x1）
m2=720*（1+x2）
m3=1050*（1+x
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