江苏中考试题研究题库数学 阅读理解.docx

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江苏中考试题研究题库数学阅读理解

题库：

阅读理解与新定义综合题

★1.如果二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2，3]．

（1）若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标；

（2）探究下列问题：

①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数；

②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]?

由题意可得出：

y＝x2－2x＋1＝（x－1）2，

∴此函数图象的顶点坐标为：

（1，0）；

①由题意可得出：

y＝x2＋4x－1＝（x＋2）2－5，

∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到：

y＝（x＋2－1）2－5＋1＝（x＋1）2－4＝x2＋2x－3，

∴图象对应的函数的特征数为：

[2，－3]；

②∵一个函数的特征数为[2，3]，

∴函数解析式为：

y＝x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2，

∵一个函数的特征数为[3，4]，

∴函数解析式为：

y＝x2＋3x＋4＝（x＋）2＋，

∴原函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位可得到新函数的图象．

★2.自主学习

请阅读下列解题过程．

解一元二次不等式：

x2－5x＞0.

解：

设x2－5x＝0，解得：

x1＝0，x2＝5，则抛物线y＝x2－5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．

画出二次函数y＝x2－5x的大致图象（如图所示）．

由图象可知：

当x＜0或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2－5x＞0，

所以，一元二次不等式x2－5x＞0的解集为：

x＜0或x＞5.

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的________和________；（只填序号）

①转化思想　②分类讨论思想　③数形结合思想

（2）一元二次不等式x2－5x＜0的解集为________；

（3）用类似的方法解一元二次不等式：

x2－2x－3＞0.

第2题图

①，③；

0＜x＜5；

由题中的解题过程及题图可知：

当0＜x＜5时，二次函数y＝x2－5x的图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2－5x＜0，∴一元二次不等式x2－5x＜0的解集为：

0＜x＜5.

　第2题解图

设x2－2x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－1.

则抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标为（3，0）和（－1，0）．

画出二次函数y＝x2－2x－3的大致图象如解图．

由图象可知：

当x<－1或x>3时函数图象位于x轴上方，此时y>0，即x2－2x－3>0.

∴一元二次不等式x2－2x－3>0的解集为x<－1或x>3.

★3.阅读材料：

在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式为：

d＝.

例如：

求点P0（0，0）到直线4x＋3y－3＝0的距离．

解：

由直线4x＋3y－3＝0知，A＝4，B＝3，C＝－3，

∴点P0（0，0）到直线4x＋3y－3＝0距离为d＝＝.

根据以上材料，解决下列问题：

问题1：

点P1（3，4）到直线y＝－x＋的距离为________；

问题2：

已知：

⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y＝－x＋b相切，求实数b的值；

问题3：

如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A、B为直线3x＋4y＋5＝0上的两点，且AB＝2，请求出S△ABP的最大值和最小值．

第3题图

问题1：

4；

∵直线解析式为y＝－x＋，化为一般式为3x＋4y－5＝0，则点P1（3，4）到直线的距离为＝4；

问题2：

将直线的解析式化为一般式得3x＋4y－4b＝0，

∵直线与⊙O相切，且⊙O的半径为1，

∴点C（2，1）到直线3x＋4y－4b＝0的距离为1，

即＝1，解得b＝或b＝；

问题3：

圆心C（2，1）到直线3x＋4y＋5＝0的距离为＝3，

∵圆的半径为1，

∴AB边上的高最大为3＋1＝4，最小值为3－1＝2，

∵AB＝2，

∴△ABP面积的最大值为×2×4＝4，△ABP面积的最小值为×2×2＝2.

★4.定义：

有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

（1）如图①，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°.

①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长；

②若AC⊥BD，求证：

AD＝CD.

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形．求AE的长．

第4题图

①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵AB＝BC，

∴▱ABCD是菱形．

又∵∠ABC＝90°

∴菱形ABCD是正方形，

∴BD＝；

②如解图①，连接AC，BD，

∵AB＝BC，AC⊥BD，

∴∠ABD＝∠CBD，

又∵BD＝BD，

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴AD＝CD；

第4题解图①

若EF与BC垂直，则AE≠EF，BF≠EF，

∴四边形ABFE不是等腰直角四边形，即不符合条件；

若EF与BC不垂直，

①当AE＝AB时，如解图②，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，

∴AE＝AB＝5.

第4题解图②

②当BF＝AB时，如解图③，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，

第4题解图③

∴BF＝AB＝5.

∵DE∥BF，

∴△PED∽△PFB，

∴DE∶BF＝PD∶PB＝1∶2，

∴DE＝2.5，

∴AE＝9－2.5＝6.5.

综上所述，AE的长为5或6.5.

★5.阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图①，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，点D，E分别在AB，BC上，且∠CDE＝90°.当BE＝2AD时，图①中是否存在与CD相等的线段？

若存在，请找出并加以证明，若不存在，说明理由．

小明通过探究发现，过点E作AB的垂线EF，垂足为F，能得到一对全等三角形（如图②），从而将解决问题．

第5题图

请回答：

（1）小明发现的与CD相等的线段是________；

（2）证明小明发现的结论；

参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：

（3）如图③，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC上，BD＝2DC，点E在AD上，且∠BEC＝135°，求的值．

DE；

证明：

过点E作EF⊥AB，垂足为F，

则∠BFE＝∠DFE＝90°＝∠A＝∠CDE，

∵∠ADC＋∠FDE＝90°，

∠FED＋∠FDE＝90°，

∴∠ADC＝∠FED，

∵∠BFE＝90°，∠B＝30°，

∴BE＝2FE，

∵BE＝2AD，

∴FE＝AD，

在△FED和△ADC中，

，

∴△FED≌△ADC（ASA）．

∴DE＝CD;

如解图，

第5题解图

过点E作BC的平行线，与AB、AC分别相交与点F、G.

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°.

∵FG∥BC，

∴∠AFG＝∠ABC＝∠ACB＝∠AGF＝45°，∠BFE＝∠EGC＝135°.

∴AF＝AG，BF＝GC.

∵∠GEC＋∠CEB＝∠GEB＝∠EFB＋∠FBE，

∠CEB＝∠EFB＝135°，

∴∠FBE＝∠GEC，

∴△BFE∽△EGC，

∴＝＝，

∵FG∥BC，

∴△AFE∽△ABD，△AEG∽△ADC，

∴＝，＝，

∴＝，

∵BD＝2DC，

∴FE＝2EG，

∴＝＝，

∴＝，

∴＝＝.

★6.在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为∶1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”．在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CP＝BC，如下图所示．

（1）如图①，求证：

BA＝BP；

（2）如图②，点Q在DC上，且DQ＝CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，求的值；

（3）如图③，已知AD＝1，在

（2）的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM＝BN，请证明：

△MNT的面积S为定值，并求出这个定值．

第6题图

如解图①所示，

第6题解图①

∵PC＝BC，∠BCP＝90°，

∴BP＝BC，

又∵矩形ABCD为“标准矩形”，

∴AB＝BC，

∴AB＝BP；

如解图②，作点Q关于直线BC对称的点F，连接AF交BC于点E，连接QE、GF，

第6题解图②

∵DQ＝CP，∴CQ＝DP＝CF且AQ为定值，

∴EQ＝EF，GQ＝GF，

∵AQ为定值，要使△AGQ的周长最小，

∴只需AG＋GQ＝AG＋GF最小，

显然AG＋GF≥AF＝AE＋EF＝AE＋EQ，

即当点G与点E重合时，△AGQ的周长最小，

此时＝＝＝，

∵＝＝＝1－＝1－，

∴当△AGQ的周长最小时＝1－；

：

如解图③，连接TN、TM、MN，MN交AF于点K，连接KT，

第6题解图③

由

（2）可知，CF＝DP，

∴PF＝AB且PF∥AB，

∴四边形ABFP为平行四边形，

又由PM＝BN，

∴MF＝AN，

∴△MFK≌△NAK（AAS），

∴点K为AF与MN的中点，

又∵点T为BF的中点，

∴KT为△FAB的中位线，

∴S△FKT＝S△TMK＝S△TKN，

∴S△MNT＝2S△FKT＝S△FAB＝S平行四边形ABFP＝×＝，

∴△MNT的面积S为定值，这个定值为.

★7.从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个三角形，如果分得的两个三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：

CD为△ABC的完美分割线；

（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；

（3）如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

第7题图

证明：

∵∠A＝40°，∠B＝60°，

∴∠ACB＝80°，

∴△ABC不是等腰三角形．

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，

∴∠ACD＝∠A＝40°，

∴△ACD是等腰三角形．

∵∠BCD＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC＝60°，

∴△BCD∽△BAC，

∴CD是△ABC的完美分割线；

分三种情况讨论：

①当AD＝CD时，如解图①，∠ACD＝∠A＝48°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD＝∠A＝48°，

∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°；

②当AD＝AC时，如解图②，∠ACD＝∠ADC＝＝66°.

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD＝∠A＝48°，

∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝66°＋48°＝114°；

③当AC＝CD时，如解图③，∠ADC＝∠A＝48°.

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD＝∠A＝48°.

∵∠A＝∠ADC>∠BCD，故此情况不存在，舍去．

综上，∠ACB＝96°或114°；

第7题解图

由已知得AC＝AD＝2，

∵△BCD∽△BAC，

∴＝＝，即BC2＝BA·BD，

设BD＝x，则BA＝AD＋BD＝2＋x，

∴（）2＝x（2＋x）