高中数学选修本理科几种常见函数的导数.docx
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高中数学选修本理科几种常见函数的导数
2019-2020年高中数学选修本(理科)几种常见函数的导数
●教学目标
(一)教学知识点
1.公式1C′=0(C为常数)
2.公式2(xn)′=nxn-1(n∈Q)
3.公式3(sinx)′=cosx
4.公式4(cosx)′=-sinx
5.变化率
(二)能力训练要求
1.掌握四个公式,理解公式的证明过程.
2.学会利用公式,求一些函数的导数.
3.理解变化率的概念,解决一些物理上的简单问题.
(三)德育渗透目标
1.培养学生的计算能力.
2.培养学生的应用能力.
3.培养学生自学的能力.
●教学重点
四种常见函数的导数C′=0(C为常数),(xn)′=nxn-1(x∈Q),(sinx)′=cosx,(cosx)′=-sinx.
●教学难点
四种常见函数的导数的内容,以及证明的过程,这些公式由导数定义导出的.
●教学方法
建构主义式
让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4,公式2中先证n∈N*的情况.
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[师]我们上一节课学习了导数的概念,导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的,我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用.
Ⅱ.讲授新课
[师]请几位同学上来用导数的定义求函数的导数.
1.y=C(C是常数),求y′.
[学生板演]解:
y=f(x)=C
∴Δy=f(x+Δx)-f(x)=C-C=0
=0
y′=C′==0,∴y′=0.
2.y=xn(n∈N*),求y′.
[学生板演]解:
y=f(x)=xn
∴Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)n-xn
=xn+xn-1Δx+xn-2(Δx)2+…+(Δx)n-xn
=xn-1Δx+xn-2(Δx)2+…+·(Δx)n
=xn-1+xn-2Δx+…+·(Δx)n-1
∴y′=(xn)′==(xn-1+xn-2Δx+…+(Δx)n-1)=xn-1=nxn-1
∴y′=nxn-1
3.y=x-n(n∈N*),求y′.
[学生板演]
解:
Δy=(x+Δx)-n-x-n=
y′=
∴y′=-nx-n-1
※4.y=sinx,求y′(叫两位同学做)
[学生板演]
[生甲]解:
Δy=sin(x+Δx)-sinx=sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx
∴y′=
=-2sinx·1·0+cosx=cosx
∴y′=cosx
[生乙]Δy=sin(x+Δx)-sinx
∴y′=
∴y′=cosx
(如果叫两位同学上去做没有得到两种方法,老师可把另一种方法介绍一下).
※5.y=cosx,求y′.(也叫两位同学一起做)
[生甲]解:
Δy=cos(x+Δx)-cosx=cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx
y′=
∴y′=-sinx
[生乙]解:
.
∴y′=-sinx.
[师]所以由4、5两道题我们可以比较一下.第二种方法比较简便,所以求三角函数的极限时,选择哪一种公式进行三角函数的转化,要根据具体情况而定,选择好的公式,可以简化计算过程.上面的第2和第3道题中,只证明了n∈N*的情况,实际上它对于全体实数都成立.我们把上面四种函数的导数可以作为四个公式,以后可以直接用.
[板书]
(一)公式1C′=0(C是常数)
公式2(xn)′=nxn-1(n∈R)
公式3(sinx)′=cosx
公式4(cosx)′=-sinx
(二)课本例题
[师]下面我们来看几个函数的导数,运用公式求.
(1)(x3)′
(2)()′(3)()′
[学生板演]
(1)解:
(x3)′=3x3-1=3x2
(2)解:
()′=(x-2)′=-2x-2-1=-2x-3
(3)解:
(还可以叫两个同学同做一道题,一个用极限即定义来求,一个用公式来求,比较一下).
(三)变化率举例
[师]我们知道在物理上求瞬时速度时,可以用求导的方法来求,知道运动方程s=s(t),瞬时速度v=s′(t).
[板书]物体按s=s(t)做直线运动,则物体在时刻t0的瞬时速度v0=s′(t0)
v0=s′(t0)叫做位移s在时刻t0对时间t的变化率.
[师]我们引入了变化率的概念,函数f(x)在点x0的导数也可以叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率.很多物理量都是用变化率定义的,除了瞬时速度外,还有什么?
[板书]函数y=f(x)在点x0的导数叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率.
[生]例如角速度、电量等.
[师]是分别对哪些量的变化率呢?
[生]角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率;电流是电量(作为时间的函数)对时间的变化率.
[师]下面来看两道例题.
[例1]已知物质所吸收的热量Q=Q(T)(热量Q的单位是J,绝对温度T的单位是K),求热量对温度的变化率C(即热容量).
[学生分析]由变化率的涵义,热量是温度的函数,所以热量对温度的变化率就是热量函数Q(T)对T求导.
解:
C=Q′(T),即热容量为Q′(T)J/K.
[师]单位质量物质的热容量叫做比热,那么上例中,如果物质的质量是vmol,那么比热怎么表示?
[生]比热是Q′(T)J/(K·mol)
[例2]如图3—11,质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速运动,角速度1rad/s,设A为起始点,求时刻t时,点P在y轴上的射影点M的速度.
[学生分析]要求时刻t时M点的速度,首先要求出在y轴的运动方程,是关于t的函数,再对t求导,就能得到M点的速度了.
解:
时刻t时,∵角速度1rad/s,
∴∠POA=1·t=trad
∴∠MPO=∠POA=trad
∴OM=OP·sinMPO=10·sint
∴点M的运动方程为y=10sint
∴v=y′=(10sint)′=10cost
即时刻t时,点P在y轴上的射影点M的速度为10costcm/s.
[师]我们学习了有关导数的知识,对于一些物理问题,就可以利用导数知识轻而易举地解决了.求导时,系数可提出来.
Ⅲ.课堂练习
1.(口答)求下列函数的导数.
(1)y=x5
(2)y=x6(3)x=sint(4)u=cos
[生]
(1)y′=(x5)′=5x4
[生]
(2)y′=(x6)′=6x5
[生](3)x′=(sint)′=cost
[生](4)u′=(cos)′=-sin
2.求下列函数的导数
(1)y=
(2)y=
(1)解:
y′=()′=(x-3)′=-3x-3-1=-3x-4
(2)解:
3.质点的运动方程是s=t3,(s单位m,t单位s),求质点在t=3时的速度.
解:
v=s′=(t3)′=3t3-1=3t2
当t=3时,v=3×32=27m/s
∴质点在t=3时的速度为27m/s
4.物体自由落体的运动方程是s=s(t)=gt2,(s单位m,t单位s,g=9.8m/s2),求t=3时的速度.
解:
v=s′(t)=(gt2)′=g·2t2-1=gt.
t=3时,v=g·3=9.8·3=29.4m/s
∴t=3时的速度为29.4m/s.
[师]这题也用到求导时系数可提出来根据[Cf(x)′]=Cf′(x)(C是常数).
这由极限的知识可以证得[Cf(x)′]=
=Cf′(x)
5.求曲线y=x4在点P(2,16)处的切线方程.
解:
y′=(x4)′=4x4-1=4x3.
∴y′|x=2=4·23=32
∴点P(2,16)处的切线方程为y-16=32(x-2)
即32x-y-48=0.
Ⅳ.课时小结
[学生总结]这节课主要学习了四个公式:
①C′=0(C是常数),②(xn)′=nxn-1(n∈R),③(sinx)′=cosx,④(cosx)′=-sinx.以及学习了变化率的概念.v0=s′(t0)叫做位移s在时刻t0对时间t的变化率,函数y=f(x)在点x0的导数f′(x0)叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率.
Ⅴ.课后作业
(一)课本,P118,习题3.22,4,5
(二)1.预习内容:
课本P120~121和(或差)、积的导数
2.预习提纲:
(1)和(或差)的导数公式、证明过程.
(2)积的导数公式、证明过程.
(3)预习例1、例2、例3,如何运用法则1、法则2.
●板书设计
几种常见函数的导数
公式1C′=0(C为常数)
公式2(xn)′=nxn-1(n∈R)
公式3(sinx)′=cosx
公式4(cosx)′=-sinx
v0=s′(t0)是位移s在t0对时间t的变化率.
函数y=f(x)在点x0的导数叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率.
1.y=C(C是常数),求y′.
2.y=xn(n∈N*),求y′.
3.y=x-n(n∈N*),求y′.
4.y=sinx,求y′两种方法.
5.y=cosx,求y′两种方法.
课本例题
(1)(x3)′
(2)()′(3)()′
例1.已知物质所吸收的热量Q=Q(T)(Q单位J,T单位K),求热量对温度的变化率C(热容量).
例2.如图,质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速运动,角速度1rad/s,设A为起始点,求时刻t,点P在y轴上的射影点M的速度.
课堂练习
1.(口答)
(1)(x5)′
(2)(x6)′(3)(sint)′(4)(cos)′
2.
(1)()′
(2)()′
3.质点运动方程s=t3,求t=3时速度.
4.s=gt2,求t=3时速度.
5.曲线y=x4在P(2,16)的切线方程.
课后作业
2019-2020年高中数学选修本(理科)函数的单调性
(1)
教学目的:
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理;
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
教学重点:
利用导数判断函数单调性
教学难点:
利用导数判断函数单调性
授课类型:
新授课
课时安排:
1课时
教具:
多媒体、实物投影仪
内容分析:
以前,我们用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数x1,x2∈I,且当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么函数f(x)就是区间I上的增函数.对于任意的两个数x1,x2∈I,且当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么函数f(x)就是区间I上的减函数.
在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单
教学过程:
一、复习引入:
1.常见函数的导数公式:
;;;
2.法则1
.
法则2
法则3
3.复合函数的导数:
设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u),则复合函数y=f((x))在点x处也有导数,且或f′x((x))=f′(u)′(x)
4.复合函数求导的基本步骤是:
分解——求导——相乘——回代.
5.对数函数的导数:
6.指数函数的导数:
二、讲解新课:
1.函数的导数与函数的单调性的关系:
我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图像
可以看到:
y=f(x)=x2-4x+3
切线的斜率
f′(x)
(2,+∞)
增函数
正
>0
(-∞,2)
减函数
负
<0
在区间(2,)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大而增大,即>0时,函数y=f(x)在区间(2,)内为增函数;在区间(,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即0时,函数y=f(x)在区间(,2)内为减函数.
定义:
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内>0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内<0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数
2.用导数求函数单调区间的步骤:
①求函数f(x)的导数f′(x).
②令f′(x)>0解不等式,得x的范围就是递增区间.
③令f′(x)<0解不等式,得x的范围,就是递减区间.
三、讲解范例:
例1确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.
解:
f′(x)=(x2-2x+4)′=2x-2.
令2x-2>0,解得x>1.
∴当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.
令2x-2<0,解得x<1.
∴当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.
例2确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.
解:
f′(x)=(2x3-6x2+7)′=6x2-12x
令6x2-12x>0,解得x>2或x<0
∴当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.
当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.
令6x2-12x<0,解得0<x<2.
∴当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.
例3证明函数f(x)=在(0,+∞)上是减函数.
证法一:
(用以前学的方法证)任取两个数x1,x2∈(0,+∞)设x1<x2.
f(x1)-f(x2)=
∵x1>0,x2>0,∴x1x2>0
∵x1<x2,∴x2-x1>0,∴>0
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)
∴f(x)=在(0,+∞)上是减函数.
证法二:
(用导数方法证)
∵f′(x)=()′=(-1)·x-2=-,x>0,
∴x2>0,∴-<0.∴f′(x)<0,
∴f(x)=在(0,+∞)上是减函数.
点评:
比较一下两种方法,用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数,用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.
例4求函数y=x2(1-x)3的单调区间.
解:
y′=[x2(1-x)3]′=2x(1-x)3+x2·3(1-x)2·(-1)
=x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(1-x)2·(2-5x)
令x(1-x)2(2-5x)>0,解得0<x<.∴y=x2(1-x)3的单调增区间是(0,)
令x(1-x)2(2-5x)<0,解得x<0或x>且x≠1.
∵为拐点,
∴y=x2(1-x)3的单调减区间是(-∞,0),(,+∞)
例5当x>0时,证明不等式:
1+2x<e2x.
分析:
假设令f(x)=e2x-1-2x.∵f(0)=e0-1-0=0,如果能够证明f(x)在(0,+∞)上是增函数,那么f(x)>0,则不等式就可以证明.
证明:
令f(x)=e2x-1-2x.∴f′(x)=2e2x-2=2(e2x-1)
∵x>0,∴e2x>e0=1,∴2(e2x-1)>0,即f′(x)>0
∴f(x)=e2x-1-2x在(0,+∞)上是增函数.
∵f(0)=e0-1-0=0.
∴当x>0时,f(x)>f(0)=0,即e2x-1-2x>0.
∴1+2x<e2x
点评:
所以以后要证明不等式时,可以利用函数的单调性进行证明,把特殊点找出来使函数的值为0.
例6已知函数y=x+,试讨论出此函数的单调区间.
解:
y′=(x+)′
=1-1·x-2=
令>0.解得x>1或x<-1.
∴y=x+的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞).
令<0,解得-1<x<0或0<x<1.
∴y=x+的单调减区间是(-1,0)和(0,1)
四、课堂练习:
1.确定下列函数的单调区间
(1)y=x3-9x2+24x
(2)y=x-x3
(1)解:
y′=(x3-9x2+24x)′=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4)
令3(x-2)(x-4)>0,解得x>4或x<2.
∴y=x3-9x2+24x的单调增区间是(4,+∞)和(-∞,2)
令3(x-2)(x-4)<0,解得2<x<4.∴y=x3-9x2+24x的单调减区间是(2,4)
(2)解:
y′=(x-x3)′=1-3x2=-3(x2-)=-3(x+)(x-)
令-3(x+)(x-)>0,解得-<x<.
∴y=x-x3的单调增区间是(-,).
令-3(x+)(x-)<0,解得x>或x<-.
∴y=x-x3的单调减区间是(-∞,-)和(,+∞)
2.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的单调区间.
解:
y′=(ax2+bx+c)′=2ax+b,令2ax+b>0,解得x>-
∴y=ax2+bx+c(a>0)的单调增区间是(-,+∞)
令2ax+b<0,解得x<-.
∴y=ax2+bx+c(a>0)的单调减区间是(-∞,-)
3.求下列函数的单调区间
(1)y=
(2)y=(3)y=+x
(1)解:
y′=()′=
∵当x≠0时,-<0,∴y′<0.
∴y=的单调减区间是(-∞,0)与(0,+∞)
(2)解:
y′=()′
当x≠±3时,-<0,∴y′<0.
∴y=的单调减区间是(-∞,-3),(-3,3)与(3,+∞).
(3)解:
y′=(+x)′.
当x>0时+1>0,∴y′>0.∴y=+x的单调增区间是(0,+∞)
五、小结:
f(x)在某区间内可导,可以根据f′(x)>0或f′(x)<0求函数的单调区间,或判断函数的单调性,或证明不等式.以及当f′(x)=0在某个区间上,那么f(x)在这个区间上是常数函数
六、课后作业:
七、板书设计(略)
八、课后记: