高中数学选修本理科几种常见函数的导数.docx

1、高中数学选修本理科几种常见函数的导数2019-2020年高中数学选修本(理科)几种常见函数的导数教学目标(一)教学知识点1.公式1 C=0(C为常数)2.公式2 (xn)=nxn1(nQ)3.公式3 (sinx)=cosx4.公式4 (cosx)=sinx5.变化率(二)能力训练要求1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.2.学会利用公式，求一些函数的导数.3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.(三)德育渗透目标1.培养学生的计算能力.2.培养学生的应用能力.3.培养学生自学的能力.教学重点四种常见函数的导数C=0(C为常数)，(xn)=nxn1(xQ)，(sinx)=cosx，(co

2、sx)=sinx.教学难点四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式由导数定义导出的.教学方法建构主义式让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证nN*的情况.教学过程.课题导入师我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用.讲授新课师请几位同学上来用导数的定义求函数的导数.1.y=C(C是常数)，求y.学生板演解：y=f(x)=Cy=f(x+x)f(x)=CC=0=0y=C=0，y=0.2.y=xn(nN*)，求y.学生板演解：y=f(x)=xny=f(

3、x+x)f(x)=(x+x)nxn=xn+xn1x+xn2(x)2+(x)nxn=xn1x+xn2(x)2+(x)n=xn1+xn2x+(x)n1y=(xn)=（xn1+xn2x+ (x)n1)=xn1=nxn1y=nxn13.y=xn(nN*)，求y.学生板演解：y=(x+x)nxn=y=y=nxn14.y=sinx，求y(叫两位同学做)学生板演生甲解：y=sin(x+x)sinx=sinxcosx+cosxsinxsinxy=2sinx10+cosx=cosxy=cosx生乙y=sin(x+x)sinxy=y=cosx(如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下).5

4、.y=cosx，求y.(也叫两位同学一起做)生甲解：y=cos(x+x)cosx=cosxcosxsinxsinxcosxy=y=sinx生乙解： .y=sinx.师所以由4、5两道题我们可以比较一下.第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.上面的第2和第3道题中，只证明了nN*的情况，实际上它对于全体实数都成立.我们把上面四种函数的导数可以作为四个公式，以后可以直接用.板书(一)公式1 C=0(C是常数)公式2 (xn)=nxn1(nR)公式3 (sinx)=cosx公式4 (cosx)=sinx(二)

5、课本例题师下面我们来看几个函数的导数，运用公式求.(1)(x3) (2)() (3)()学生板演(1)解：(x3)=3x31=3x2(2)解：()=(x2)=2x21=2x3(3)解： (还可以叫两个同学同做一道题，一个用极限即定义来求，一个用公式来求，比较一下).(三)变化率举例师我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求，知道运动方程s=s(t)，瞬时速度v=s(t).板书物体按s=s(t)做直线运动，则物体在时刻t0的瞬时速度v0=s(t0)v0=s(t0)叫做位移s在时刻t0对时间t的变化率.师我们引入了变化率的概念，函数f(x)在点x0的导数也可以叫做函数f(x)在点x0对自

6、变量x的变化率.很多物理量都是用变化率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？板书函数y=f(x)在点x0的导数叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率.生例如角速度、电量等.师是分别对哪些量的变化率呢？生角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率；电流是电量(作为时间的函数)对时间的变化率.师下面来看两道例题.例1已知物质所吸收的热量Q=Q(T)(热量Q的单位是J，绝对温度T的单位是K)，求热量对温度的变化率C(即热容量).学生分析由变化率的涵义，热量是温度的函数，所以热量对温度的变化率就是热量函数Q(T)对T求导.解：C=Q(T)，即热容量为Q(T)J/K.师单位质量物质的热容量叫做比热，那

7、么上例中，如果物质的质量是v mol，那么比热怎么表示？生比热是Q(T) J/(Kmol)例2如图311，质点P在半径为10 cm的圆上逆时针做匀角速运动，角速度1 rad/s，设A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度.学生分析要求时刻t时M点的速度，首先要求出在y轴的运动方程，是关于t的函数，再对t求导，就能得到M点的速度了.解：时刻t时，角速度1 rad/s，POA=1t=t radMPO=POA=t radOM=OPsinMPO=10sint点M的运动方程为y=10sintv=y=(10sint)=10cost即时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度为10cost cm/s

8、.师我们学习了有关导数的知识，对于一些物理问题，就可以利用导数知识轻而易举地解决了.求导时，系数可提出来.课堂练习1.(口答)求下列函数的导数.(1)y=x5 (2)y=x6 (3)x=sint (4)u=cos 生(1)y=(x5)=5x4生(2)y=(x6)=6x5生(3)x=(sint)=cost生(4)u=(cos)=sin2.求下列函数的导数(1)y= (2)y=(1)解：y=()=(x3)=3x31=3x4(2)解： 3.质点的运动方程是s=t3，(s单位m，t单位s)，求质点在t=3时的速度.解：v=s=(t3)=3t31=3t2当t=3时，v=332=27 m/s质点在t=3时

9、的速度为27 m/s4.物体自由落体的运动方程是s=s(t)=gt2，(s单位m，t单位s，g=9.8 m/s2)，求t=3时的速度.解：v=s(t)=(gt2)=g2t21=gt.t=3时，v=g3=9.83=29.4 m/st=3时的速度为29.4 m/s.师这题也用到求导时系数可提出来根据Cf(x)=Cf(x)(C是常数).这由极限的知识可以证得Cf(x)=Cf(x)5.求曲线y=x4在点P(2，16)处的切线方程.解：y=(x4)=4x41=4x3.y|x=2=423=32点P(2，16)处的切线方程为y16=32(x2)即32xy48=0.课时小结学生总结这节课主要学习了四个公式:C

10、=0(C是常数)，(xn)=nxn1(nR)，(sinx)=cosx，(cosx)=sinx.以及学习了变化率的概念.v0=s(t0)叫做位移s在时刻t0对时间t的变化率，函数y=f(x)在点x0的导数f(x0)叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率.课后作业(一)课本，P118，习题3.2 2，4，5(二)1.预习内容：课本P120121和(或差)、积的导数2.预习提纲：(1)和(或差)的导数 公式、证明过程.(2)积的导数 公式、证明过程.(3)预习例1、例2、例3，如何运用法则1、法则2.板书设计几种常见函数的导数公式1 C=0(C为常数)公式2 (xn)=nxn1(nR)公式3 (

11、sinx)=cosx公式4 (cosx)=sinxv0=s(t0)是位移s在t0对时间t的变化率.函数y=f(x)在点x0的导数叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率.1.y=C(C是常数)，求y.2.y=xn(nN*)，求y.3.y=xn(nN*)，求y.4. y=sinx，求y两种方法.5. y=cosx，求y两种方法.课本例题(1)(x3) (2)() (3)()例1.已知物质所吸收的热量Q=Q(T)(Q单位J，T单位K)，求热量对温度的变化率C(热容量).例2.如图，质点P在半径为10 cm的圆上逆时针做匀角速运动，角速度1 rad/s，设A为起始点，求时刻t，点P在y轴上的射影点

12、M的速度.课堂练习1. (口答)(1)(x5) (2)(x6) (3)(sint)(4)(cos)2.(1)() (2)()3.质点运动方程s=t3，求t=3时速度.4.s=gt2，求t=3时速度.5.曲线y=x4在P(2，16)的切线方程.课后作业2019-2020年高中数学选修本(理科)函数的单调性(1)教学目的：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法教学重点：利用导数判断函数单调性教学难点：利用导数判断函数单调性授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x1，

13、x2I，且当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1，x2I，且当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单 教学过程：一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式：；2.法则1 法则2 , 法则3 3.复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数ux=(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数yu=f(u)，则复合函数y=f( (x)在点x处也有导数，且 或fx( (x)=f(

14、u) (x)4.复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代 5.对数函数的导数： 6.指数函数的导数： 二、讲解新课：1. 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图像可以看到：y=f(x)=x24x+3切线的斜率f(x)(2，+)增函数正0(，2)减函数负0在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数.定义：一般地，设

15、函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数 2.用导数求函数单调区间的步骤：求函数f(x)的导数f(x).令f(x)0解不等式，得x的范围就是递增区间.令f(x)0解不等式，得x的范围，就是递减区间.三、讲解范例：例1确定函数f(x)=x22x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f(x)=(x22x+4)=2x2.令2x20，解得x1.当x(1，+)时，f(x)0，f(x)是增函数.令2x20，解得x1.当x(，1)时，f(x)0，f(x)是减函数. 例2

16、确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f(x)=(2x36x2+7)=6x212x令6x212x0，解得x2或x0当x(，0)时，f(x)0，f(x)是增函数.当x(2，+)时，f(x)0，f(x)是增函数.令6x212x0，解得0x2.当x(0，2)时，f(x)0，f(x)是减函数. 例3证明函数f(x)=在(0，+)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2(0，+)设x1x2.f(x1)f(x2)=x10，x20，x1x20x1x2，x2x10， 0f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)= 在(0，+)上是减函数

17、.证法二：(用导数方法证)f(x)=( )=(1)x2=，x0，x20，0. f(x)0，f(x)= 在(0，+)上是减函数.点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例4求函数y=x2(1x)3的单调区间.解：y=x2(1x)3=2x(1x)3+x23(1x)2(1)=x(1x)22(1x)3x=x(1x)2(25x)令x(1x)2(25x)0，解得0x. y=x2(1x)3的单调增区间是(0，)令x(1x)2(25x)0，解得x0或x且x1.为拐点，y=x2(1x)3的单调减区间是(，0)，(，+)例5当x

18、0时，证明不等式：1+2xe2x.分析：假设令f(x)=e2x12x.f(0)=e010=0, 如果能够证明f(x)在(0，+)上是增函数，那么f(x)0，则不等式就可以证明.证明：令f(x)=e2x12x. f(x)=2e2x2=2(e2x1)x0，e2xe0=1，2(e2x1)0, 即f(x)0f(x)=e2x12x在(0，+)上是增函数.f(0)=e010=0.当x0时，f(x)f(0)=0，即e2x12x0.1+2xe2x点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.例6已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.解：y=(x+)=11x2=

19、令0. 解得x1或x1.y=x+的单调增区间是(，1)和(1，+).令0，解得1x0或0x1.y=x+的单调减区间是(1，0)和(0，1)四、课堂练习：1确定下列函数的单调区间(1)y=x39x2+24x (2)y=xx3(1)解：y=(x39x2+24x)=3x218x+24=3(x2)(x4)令3(x2)(x4)0，解得x4或x2.y=x39x2+24x的单调增区间是(4，+)和(，2)令3(x2)(x4)0，解得2x4.y=x39x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y=(xx3)=13x2=3(x2)=3(x+)(x)令3(x+)(x)0，解得x.y=xx3的单调增区间是(，)

20、.令3(x+)(x)0，解得x或x.y=xx3的单调减区间是(，)和(，+)2.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a0)的单调区间.解：y=(ax2+bx+c)=2ax+b, 令2ax+b0，解得xy=ax2+bx+c(a0)的单调增区间是(，+)令2ax+b0，解得x.y=ax2+bx+c(a0)的单调减区间是(，)3.求下列函数的单调区间(1)y= (2)y= (3)y=+x(1)解：y=()=当x0时，0，y0.y=的单调减区间是(，0)与(0，+)(2)解：y=()当x3时，0，y0.y=的单调减区间是(，3)，(3，3)与(3，+).(3)解：y=(+x).当x0时+10，y0. y=+x的单调增区间是(0，+) 五、小结 ： f(x)在某区间内可导，可以根据f(x)0或f(x)0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式.以及当f(x)=0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数 六、课后作业： 七、板书设计（略）八、课后记：