第十三章全等三角形.docx
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第十三章全等三角形
“全等三角形”一章首先让学生认识形状、大小相同的图形，给出全等三角形的概念，然后让学生探索两个三角形全等的条件，并运用有关结论进行证明，最后掌握角的平分线的性质。
本章教学时间约需10课时，具体分配如下（仅供参考）：
13.1全等三角形1课时
13.2三角形全等的条件5课时
13.3角的平分线的性质2课时
数学活动
小结2课时
一、教科书内容和课程学习目标
本章知识结构框图：
本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明。
本章分三节，第一节介绍全等形，包括三角形全等的概念，全等三角形的性质。
第二节介绍一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一个特殊的判定方法。
在第三节，利用直角三角形的判定方法，证明了角平分线的性质,并会利用角的平分线的性质进行证明。
学生已学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识，七年级两册教科书中安排了一些说理的内容，这些为学习全等三角形的有关内容作好了准备。
通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识（如两个三角形满足一定的条件就完全一样了，角的平分线上的一点到角的两边的距离相等），同时为学习其他图形知识打好基础。
全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握好全等三角形的内容，并且能灵活地运用它们，才能学好四边形、圆等内容。
从本章开始，要使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式。
这既是本章的重点，也是教学的难点。
教科书把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件（“边边边”条件）上，使学生以“边边边”条件为例，理解什么是三角形的判定，怎样判定。
在掌握了“边边边”条件的基础上，使学生学会怎样运用“边边边”条件进行推理论证，怎样正确地表达证明过程。
“边边边”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。
在“全等三角形的条件”一节中，得出如下结论：
三边对应相等的两个三角形全等；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
用这些结论可以判定两个三角形全等。
三角形全等的这些判定方法都是可以证明的，都可以作为定理处理。
但是，这些定理（除“边边边”定理外）的证明方法都比较特殊。
学生开始学习这些判定定理时，掌握定理的内容并不困难，困难的是定理的证明，而这些特殊的证明方法，在正式学习推理证明的开始阶段，并不要求学生掌握。
所以为了突出重点，突出判定方法这条主线，本章中上述判定方法都是作为基本事实（公理）提出来的，通过画图和实验，使学生确信它们的正确性。
值得注意的是，本节中的另一个判定方法“两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”，则是利用“两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等”证明的。
运用三角形全等的条件可以判定两个直角三角形全等。
还可以利用“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”判定两个直角三角形全等。
本章中这个判定方法是作为基本事实（公理）提出来的，也是通过画图和实验，使学生确信它的正确性。
在“角的平分线的性质”一节中，介绍角的平分线的作法，以及“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”两个结论。
这两个结论是互逆定理。
为了保证学生在本章学好简单证明的重点，本章暂不介绍互逆命题、互逆定理等内容，这些内容在八年级下册“勾股定理”一章中介绍。
本节例题让学生证明三角形两条对角线的交点到三角形三边的距离相等，并进一步让学生得出这个交点在第三条角平分线上，即三角形的三条角平分线交于一点。
这也为学生今后在“圆”一章学习内心作好了准备。
本章的学习目标如下：
1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；
3．了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明。
二、本章编写特点
（一）注重探索结论
在“三角形全等的条件”一节设计了8个探究，让学生经历三角形全等条件的探索过程，突出体现新教材的设计思想：
探究1：
两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的一个或两个，两个三角形是否一定全等；
探究2：
三边对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究3：
两边及其夹角对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究4：
两边及其中一边所对的角对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究5：
两角和它们的夹边对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究6：
两角和其中一个角的对边对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究7：
三个角对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究8：
斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形全等。
探究2～7让学生探索两个三角形满足上述六个条件中的三个，两个三角形是否一定全等。
总的发展脉络是三边，两边一角（包括探究3，探究4两种情况），一边两角（包括探究5，探究6两种情况），三个角，这样学生容易把握探索的过程。
探究1、探究4、探究7是不一定能判定全等的情况，探究2、探究3、探究5、探究6是能判定全等的情况。
这样的处理也与先给出可判定全等的情况再给出不一定能判定全等的情况的处理不同，尽量排除人为安排的因素，呈现更为自然。
学完三角形全等的条件，让学生将三角形全等的条件运用于直角三角形，讨论得出直角三角形全等的条件。
其中，斜边和一条直角边对应相等不能运用三角形全等的条件，又需要学生进一步加以实验探索。
（二）注重推理能力的培养
本章正式出现证明及证明的格式。
七年级两册教科书中安排了一些说理的内容，就是为现在正规练习证明作准备的。
要求学生有理有据地推理证明，精练准确地表达推理过程，是比较困难的。
为了解决这个难点，教科书做了一些努力。
1．注意减缓坡度，循序渐进。
开始阶段，证明的方向明确，过程简单，书写容易规范化。
这一阶段要求学生体会例题的证明思路及格式，然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进，每一步都为下一步作准备，下一步又注意复习前一步训练的内容。
通过精心选择全等三角形的证明问题，减缓学生学习几何证明的坡度。
2．在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于教师掌握。
先让学生会证明两个三角形全等，然后安排通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等的问题，从而熟悉证明的步骤和方法。
在此之后安排的问题还会涉及以前学过的平行线等内容，重点培养学生会分析思路，会根据需要选择有关的结论去证明。
3．注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程。
例如，在第二节证明例1的结论“△ABD≌△ACD”以前，首先指出证题的思路：
“要证△ABD≌△ACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等.”为了清楚地表达上述思考过程，引入“∵”“∴”及综合法证明的格式，把证明的过程简明地表达出来。
（三）注重联系实际
在“全等三角形”一节，教科书从实际例子引入全等形的概念，并让学生举出一些例子。
在我们的周围，经常可以看到形状，大小相同的图形，这样做既可以使学生易于理解相关概念，也可以调动它们学习的积极性。
又如，从分析平分角的仪器的原理引入角的平分线的画法。
再如，通过确定集贸市场的位置的问题引出“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。
用三角形全等可以说明实际测量方法的道理，例如，测量池塘两端的距离，测量河两岸相对两点的距离，用卡钳测量工件的内槽宽。
还安排了利用三角形全等测量旗杆高度的数学活动。
三、几个值得关注的问题
（一）关于内容之间的联系
在“全等三角形”一节，让学生通过观察、思考得出平移、翻折、旋转前后的图形全等的结论。
这样处理一方面可以复习巩固全等三角形的概念，另一方面也使学生在某些情况下容易找到全等三角形的对应元素。
在“全等三角形的条件”一节，三角形的画法与三角形全等条件的探索相结合，也就是说，三角形全等条件不是直接给出的，而是让学生画出与已知三角形某些元素对应相等的三角形，画完以后，再剪剪量量，在这个基础上启发学生想一想，判定两个三角形全等需要什么条件。
这样让学生自己动手画图实验，就会对相关结论印象深刻。
将三角形的画法与三角形全等条件的探索相结合，也比单独讲三角形的画法效果好，单讲容易单调枯燥。
作图内容在本章中是分散安排的，小结时应注意复习本章中涉及的下面几种作图：
（1）已知三边作三角形；
（2）已知两边和它们的夹角作三角形；
（3）已知两角和它们的夹边作三角形；
（4）已知斜边和一条直角边作直角三角形；
（5）作角的平分线。
（二）关于证明
解决推理入门难是本章的难点，除了教科书作了一些安排外，教师在教学中要特别注意调动学生动脑思考。
只有学生动脑思考了，才能真正解决推理入门的问题。
课堂上要注意与学生共同活动，不要形成教师讲，学生听的局面。
教师课堂上多提些问题，并注意留给学生足够的思考时间。
证明一个几何中的命题有以下步骤：
（1）根据题意，画出图形；
（2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明的过程。
在一般情况下，分析的过程不要求写出来。
有些题目中，已经画好了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了。
分析证明命题的途径，这一步学生比较困难，需要在学习中逐步培养学生的分析能力。
证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。
这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理、已经学过的重要结论。
在本章中还会遇到通过举反例说明两个三角形满足某些条件不一定全等。
判断一个命题是假命题，只要举出一个反例。
找反例对学生来说是比较困难的，学生在一般情况下不容易发现反例。
教师要根据学生的情况进行指导，尽量多发现几个反例，使学生学会举反例。
为了使学生认识证明的必要性，教科书安排了“阅读与思考为什么要证明”，它以师生对话的形式结合具体例子介绍了逻辑推理的必要性。
通过观察和实验，可以获得许多知识。
几何中研究的物体的形状、大小、位置关系等，许多都是通过观察得来的。
不过，从观察得到的认识是初步的，往往是不全面的，不深入的。
如本文中的例子，观察一些三角形三个角的和，得到三角形的三个角的和等于180°的结论。
那么是不是所有的三角形都是这样的呢？
为什么三角形的三个角的和必然等于180°呢？
只用观察的方法就不够了，而要在观察的基础上，一步一步地，有根有据地说明理由，也就是要进行证明。
可通过这个例子的分析，使学生体会证明的必要性。
13．1全等三角形
一、教学目的：
（1）了解全等形、全等三角形的概念．
（2）掌握全等三角形的表示法，能够辩认全等三角形的对应元素．
（3）了解全等三角形对应边相等、对应角相等的性质．
二、教学重、难点：
（1）全等三角形的概念和性质．
（2）辩认全等三角形的对应元素．
[“对应”的思想对研究全等三角形及相似三角形尤为重要．为贯穿这一思想，将寻找全等三角形中的对应元素作为本节的重点及难点．]
三、教学用具：
投影仪，剪刀，二张硬纸张，红、黄、兰三色彩笔各一支．
四、教学过程：
（一）实验引入：
实际生活中，我们常常看到许多这样的物体，如：
同一模子印出的月饼；同一底片冲洗出来的相片等等．请同学们想一想，个别回答：
（1）它们有什么共同点？
生答：
每组中的物体一模一样．
（2）用什么方法检验它们是否一模一样呢？
学生回答五花八门，教师用投影仪将二个不规则星状图形通过平移、旋转后渐渐完全重合，引导学生回答出：
将它们叠在一起，能看否完全重合．
教师指导学生动手任剪一个三角形，怎样再剪一个三角形与之完全重合呢？
生答：
将三角形按在另一纸张上，画出图形，再剪下三角形．（学生操作，剪好后备用）
师问：
这两个三角形在几何中称为什么关系呢？
这是今天我们所要研究的（板书课题）
[由学生动手及教师演示实验，激发了学生学习兴趣，培养了学生从实物想象出几何图形的能力，让学生在动手实践、认真观察及比较分析后阐述自己的观点，培养了实事求是的科学态度，使“全等形”概念的形成，有一个良好的理论联系实际的过程．]
[投影仪的演示中引导同学们独立思考，理解图形变换的三种方法：
平行移动，旋转移动，翻转移动．这一教学设计，主要让学生体验如何说理、推证两个图形是否一模一样，培养实事求是、严谨求知的学习习惯和多角度思考问题的方法．]
（二）新授讲解：
1、能够完全重合的两个图形叫全等形
2、两个三角形完全重合时，称这两个三角形为全等三角形．互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角（指出：
对应边不是对边，对应角不是对角）
3、全等的符号：
≌，读作：
全等于．
举例说明，如图：
图中，△ABC与△A’B’C’全等，记作△ABC≌A’B’C’，
其中，
对应顶点有：
A与A’，B与B’，C与C’．
对应边有：
AB与A’B’，BC与B’C’，DA与C’A’．
对应角有：
∠A与∠A’，∠B与∠B’，∠C与∠C’．
强调：
记三角形全等时，对应顶点应记在对应的位置上．
4、寻找对应元素的方法：
（1）把对应顶点、对应边、对应角统称为全等三角形的对应元素．
（2）若将两个全等三角形对应顶点记在对应位置上，则可按顺序直接说出对应元素．
例1如图：
已知：
△ABC≌DFE，A与D，B与F是对应顶点，
则：
（C与E是对应顶点）
对应边有：
AB与DF，AC与DE，BC与FE．
对应角有：
∠A与∠D，∠B与∠F，∠C与∠E．
例2如图：
已知：
△ABC≌△DBC且AB=DB
则：
（A与D、B与B、C与C是对应顶点）
对应边有：
AB与DB，AC与DC，BC与BC．
对应角有：
∠A与∠D，∠ABC与∠DBC，∠ACB与∠DCB．
课堂练习：
略
练习结束后，可引导学生发现找对应元素还有另外的方法（供同学们参考）
（1）两个全等三角形中，一对最长（短）的边是对应边，一对最大（小）的角是对应角．
（2）公共边定是对应边，公共角定是对应角，对顶角是对应角．
（3）对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边；对应边所夹的角是对应角，对应角所夹的边是对应这．
由于互相重合的两条线段相等，互相重合的两个角相等，故有：
5、全等三角形的两条性质：
（1）全等三角形对应边相等．
（2）全等三角形对应角相等．
其说明过程如下：
∵△ABC≌△DEF（已知）
∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形对应边相等）
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形对应角相等）
提问：
全等三角形中，要判断哪两条边或哪两个角相等可用什么方法？
生答：
可用全等三角形的性质判断．
补充练习：
要求学生动手操作，将备用的二个三角形合在一起，完成下列变化，且说明：
（1）是怎么得出的？
（语言不要求很准确）
（2）图中有哪些相等的边或相等的角？
教师制作10块投影片，一边按
（1）
（2），（3），
（1）（4），
（1）（5），（5）（6），（6）（7），（7）（8），（8）（9），（9）（10）顺序投影，一边用实物作示范．学生可用兰三色将重叠在一起的三角形的对应边涂成色，辅助寻找对应边．
[由学生动手操作、回答问题，逐步养成独的学习习惯，提高学生动脑、动手、动口的能力，识的相互联系、相互转化的观点．]
（三）课堂小结：
本节学习的主要内容有：
（1）全等形，全等三角形及有关概念．
（2）全等三角形的表示法．
（3）全等三角形的性质．
（4）辩认全等三角形对应元素的方法．
（四）课外作业：
略
教案设计说明
了解全等形、全等三角形的概念，能够辩认全等三角形中的对应元素，是本节的教学目的及教学重、难点，整个教学过程都围绕着这一内容展开．借助操作实验、对比分析、概括归纳，使整个教学设计在逻缉思维能力培养、数学思想方法养成及良好个性品质形成方面达到一定层次．
（一）逻辑思维能力培养的教学设计
在教学设计中，安排了学生动手裁剪二个全等的三角形纸片及教师恰当使用投影仪，让同学们在动手实践、认真观察及比较分析后发现生活中的“一模一样”可归纳为几何中的“完全重合”，使学生对“对应”产生感性认识，并抽象概括出检验是否“完全重合”时可进行平行移动、旋转移动及翻转移动等，为后面的图形变换做好学习准备．
（二）数学思想方法养成的教学设计
“对应”思想对研究全等三角形及相似三角形尤为重要，本节教学设计中始终贯穿了这一思想的渗透，引导学生抓住寻找对应元素的要害——先找对应顶点，归纳概括出实验的规律，化复杂为简单．通过学生动手实际操作，使学生了解图形变换的简单知识和思想，认识到事物的内在联系及变化．
（三）良好个性品质形成的教学设计
根据学生认识事物是从简单到复杂，从感性认识到理性认识的特点，注意到本节教学重、难点及课后习题均与图形观察、图形对比、图形分析有紧密联系，故本节采用以教师演示、学生动手实验的启发式教学为主，循序渐进，在演示、实验过程中激发学生学习兴趣，培养实事求是的科学态度，理解几何概念、性质之间的联系，树立图形的运动变化、相互联系及相互转化的观点，达到辩证唯物主义观点教育的目的．
13．2全等三角形
教学目的：
1．使学生理解三角形的稳定性与判定三角形全等的《边边边公理》．
2．使学生初步学习《边边边公理》的运用．
3．培养学生的观察——分析——概括的能力．
教学重点：
1．三角形的稳定性与《边边边公理》的认识．
2．解题思路的寻求．
教学难点：
数学问题中，条件与结论的确认；寻求解题思路的分析法．
教学用具：
三角板、圆规、三角形模型与四边形模型（各两个）、简易水平仪模型、投影仪及胶片．
教学过程：
（一）旧知识的复习
引导学生回忆已学的判定三角形全等的《边角边公理》与《角边角公理》，并再度阐明：
1．三角形虽然含有三条边、三个角共有六个元素，但在两个三角形中，如果各有三个元素如“两边一夹角”或“两角一夹边”对应地相等，两个三角形就全等了，其它的“两角一夹边”或“两边一夹角”也就对应地相等了．
2．实际上，一个三角形中，有“两边一夹角”或“两角一夹边”固定了，三角形的大小、形状也就固定而不能改变了．
（二）新知识的教学
1．问题的提出：
（就图说明）
类比着《边角边公理》和《角边角公理》即“三元素定三角形”，提出：
如果两个三角形中各自的三条边彼此对应相等，这样的两个三角形能不能全等，也就是能不能重合？
2．演示实验：
（1）以由定长的三边构成的三角形进行不变大小和形状的实验．（用模型）
（2）利用边长既定的三角形模型与边长既定的四边形模型进行三角形稳定性的对比实验，以明确三角形的稳定性．（也显示稳定性是全等的基本保证）
（3）以三边对应相等的两个三角形模型进行全等的实验．
3．明确公理内容
使学生试述《边边边公理》的内容；并告以简记法“边边边”或“SSS”；更以图再度明确：
在△ABC与△A’B’C’中，如果AB=A’B’，BC=B’C’，AC=A’C，那么△ABC≌△A’B’C’．
（三）举例作应用示范
例1在△ABC中，如果AB=AC，D是BC的中点，那么AD⊥BC，
首先以简易水平仪模型，介绍、演示构造和用途、用法：
先介绍两边相等的三角形架（AB=AC），点A处系一线锤；D是BC的中点．再以架梁时检验梁是否水平为例，演示用法——如下图：
然后引导学生分析BC是否在水平位置，关键在于“它是否与AD垂直”之理．
而后再引导学生把问题归结为数学问题，分清条件、结论，画出图形（如下）；寻求论证思路．（此时正式提出例1）
已知：
如右图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点．
求证：
AD⊥BC．
在寻求论证思路的过程中，突出地使学生认识到“证明一个角是直角，可证和它的邻补角相等”与“两三角形公共边的使用”．
例2在四边形ABCD中，如果AD=BC，AB=DC，那么∠A＝∠C，AD∥BC．
首先从“边长既定的四边形不具有稳定性”的分析出发，结合“不等边四边形”模型的演示，指明所谓边长一定的四边形“不稳定”，就是它的各角的大小是不固定的．而后以“对边分别相等的四边形”模型进行演示，使学生观察出，随着变形，∠A和∠C的大小有变，但似乎总是相等的；还有AD、BC位置有变，但似乎总是平行的，从而引出例2：
已知：
如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AB=DC．
求证t：
∠A=∠C，AD∥BC．
在寻求论证思路的过程中，首先只以“设法寻出两个三角形分别包含∠A和∠C；和设法证明这两个三角形全等，并且∠A和∠C是它们的对应角”来引导，其余留给学生思考．
最后用投影仪投出学生完成的证明过程，并给予讲评．
（如时间许可，问学生“∠B=∠D？
AB∥DC？
”使之回答．）
例3如图，已知：
AB＝AC，BD＝CD，E是AD延长线上一点，求证：
BE=CE．
首先从“做个实验”出发：
（结合在黑板上示范）
先使学生各自在纸上任取两点B、C，然后分别以B、C为圆心，同长半径画两弧交于点A；而后“换个半径”仍分别以B、C为圆心画两弧交于点D；再连结AD并延长，在AD延长线上任取一点E；再度量EB、EC的长并作比较．
在实验结果的基础上，“造出”例3（说出条件、结论并画出图），而后寻求论证思路．
在寻求思路过程中，先只作“可设法寻出分别以BE、CE为边的两个三角形，而后证明它们全等，并且BE、CE是它们的对应边”的引导，其余留给学生思考．
在学生答不出或答不全后，再引导以“可先寻出证明全等三角形所缺条件，并证明它们相等．”而后再使学生各自思考．
最后以投影仪投出完整的证明，让学生再温习一遍．（如时间不够，则作为习题来完成．）
（四）学习小结
引导学生回忆，共同作出学习小结：
1．已经知道了三角形的稳定性指的是，三角形与四边形、五边形、……可改变形状不同，它是不会改变形状的．
2．已经学习了三种判定三角形全等的公理，即边角边（S．A．S）、角边角（A．S．A）、边边边（S.S.S）公理．
3．证明两线段（或角）相等，可先证分别包含它们的两三角形全等，再证它们是全等三角形的对应边（或角）．有时需要证明两次三角形全等．
4．证明一个角是直角，可证它和它的邻补角相等．
5．寻求全等三角形中，可添辅助线造出全等三角形．
（五）布置作业
1．完成例3两种方法的证明．
2．已知：
如图，AB＝AD，DC=CB，求证：
∠B=∠D．
3．已知：
如图，△ABC和△DBC的顶点A和D在BC的同旁，AB＝DC，AC=DB，AC和DB相交于点O．
求证：
OA=OD．
教案说明
（一）教学目的方面的说明
关于在教案中所述的教学目的1．是使学生理解三角形的稳定性，……，较《教学大纲》中规定的“了解三角形的稳定性”的要求，提高了一个层次，原因是考虑到判定三角形全等的“边边边”的条件，既作为公理出现，又要求学生在学习过程中，最终达到能灵活运用的程度，因而从公理的教学开始，就应密切结合实际地进行，以使学生获得深刻的印象，而不论从实际上，还是从理论上说，三角形的某些性质（如“等边时等角”），三角形全等的判定条件（如三角形全等的判定有“边边边边”的条件，而四边形全等的判定就没有“边边边边”的条件）等都是以稳定性为基础的，同时目的定为“理解”三角形的稳定性，也是符合《教学大纲》中关于对学有余力的学生的教学要求的．
（二）教材安排方面的说明
1．根据教学目的上的考虑，在“边边边”公理的教学前，先进行三角形稳定性的教学，在教学中以三角形模型和四边形模型进行对比实验，以使学生易于认识并印象深刻．
2．例题是参照课本上的例题，按照所定的教学目的而选配的，为了贯彻《教学大纲》中规定的“要使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐步形成用数学意识”的要求，每一例题都从实际事例或具体问题出发，然后归结出抽象的数学问题，而后再进行解题的教学．
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