高等数学典型例题与解法二02第86讲 曲线积分与路径无关115.docx

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高等数学典型例题与解法二02第86讲曲线积分与路径无关115

高等数学典型例题与解法

（二）

第86讲曲线积分与路径无关

理学院朱健民教授

主要内容

内容提要

典型例题解析

1、保守场

设有平面向量场

 为场中任意两点，和为场中任意两

条同时以为起点、为终点的光滑或分段光滑

曲线，若

则称为保守场.

2、曲线积分与路径无关

定理设为平面上的单连通区域，函数在内有连

续的一阶偏导数，则下面的四种说法等价：

（1）在区域内存在可微函数，使得

（2）在区域内成立

（3）对于任何一条完全落在区域内的光滑或分段光滑的闭曲线，有

2、曲线积分与路径无关

定理设为平面上的单连通区域，函数在内有连

续的一阶偏导数，则下面的四种说法等价：

（4）对于区域内的任何两点，积分

⌢

的值只与两点的位置有关，而与在区域内的路径无关.

注：

此定理可用来判断曲线积分是否与路径无关，是否为保守场，是否为

全微分，是否存在原函数或势函数.

3、原函数

对于单连通区域上的微分式，若存在上的

可微函数使得

，或者 ，

则称函数为微分式的原函数（或势函数）.

y

y,

y

0

O

x

0

x

x

4、全微分方程

若存在函数使得，则称方程

为全微分方程.方程的通解为，其中为任意常数.

若函数在单连通区域上有一阶连续偏导数，则方程

在区域上为全微分方程，当且仅当在内成立

例86.1计算对坐标的曲线积分

，其中为以为起点、为终点的半圆 .

【解】令 

由于所以积分与路径无关，

L

取有向线段作为积分路径，则有

A

⋅

例86.2设质点受力场

作用，将其沿曲线由点

移动到,求力场对质点所做的功，其中.

y

【解】力场对质点所做的功

A

令

则有

L

ox

B

于是，在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.

例86.2设质点在力场

作用下沿曲线由点

运动到,求力场对质点所做的功，其中.

y

【续解】取圆弧 

A

有

⌢

L

ox

B

例86.3已知 求.

【解】 

等价于所以

例86.4验证

为保守力场，并计算沿以为起点、为终点的路径所做的功.

【解】（方法一）令  

，由于

所以，为保守力场.沿所做的功为

,

,

例86.4验证

为保守场，并计算沿以为起点、为终点的路径所作的功.

【解】（方法二）

,,,

,,,

,

,

例86.5求下列微分方程的通解：

（1）,

（2）

【解】

（1）设，因为

所以，方程为全微分方程.

（方法一）

因此，原方程的通解为

例86.5求下列微分方程的通解：

（1）,

（2）

【续解】（方法二）

将方程适当分组，使得每一组恰好是某个函数的全微分，得到如下形式

即d所以，原方程的通解为

例86.5求下列微分方程的通解：

（2）

【续解】

（2）此方程不是全微分方程.

分项组合得

即

选择积分因子

同乘方程两边得即有

因此方程通解为:



即

因也是方程的解，所以为任意常数.

再见