高等数学典型例题与解法二02第86讲 曲线积分与路径无关115.docx

1、高等数学典型例题与解法二02第86讲 曲线积分与路径无关115高等数学典型例题与解法（二）第86讲 曲线积分与路径无关理学院 朱健民 教授主要内容内容提要典型例题解析1、保守场设有平面向量场 为场中任意两点， 和 为场 中任意两条同时以 为起点、 为终点的光滑或分段光滑曲线， 若 则称 为保守场.2、曲线积分与路径无关定理 设 为 平面上的单连通区域， 函数 在 内有连续的一阶偏导数， 则下面的四种说法等价： (1)在区域 内存在可微函数 ，使得(2)在区域 内成立(3)对于任何一条完全落在区域 内的光滑或分段光滑的闭曲线 ，有2、曲线积分与路径无关定理 设 为 平面上的单连通区域， 函数 在

2、 内有连续的一阶偏导数， 则下面的四种说法等价：(4)对于区域 内的任何两点 ，积分的值只与 两点的位置有关，而与 在区域 内的路径无关.注：此定理可用来判断曲线积分是否与路径无关，是否为保守场，是否为全微分，是否存在原函数或势函数.3、原函数 对于单连通区域 上的微分式 ， 若存在 上的可微函数 使得，或者 ，则称函数 为微分式 的原函数（或势函数）.y,y , y0Ox0xx4、全微分方程若存在函数 使得 ， 则称方程为全微分方程. 方程的通解为 ，其中 为任意常数.若函数 在单连通区域 上有一阶连续偏导数， 则方程在区域 上为全微分方程，当且仅当在 内成立例86.1 计算对坐标的曲线积分

3、 ， 其中 为以 为起点、 为终点的半圆 .【解】 令 由于 所以积分与路径无关，L取有向线段 作为积分路径，则有 A 例86.2 设质点受力场 作用，将其沿曲线 由点 移动到 ,求力场 对质点所做的功 ，其中 .y【解】力场 对质点所做的功A令 则有Lo xB 于是，在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.例86.2 设质点在力场 作用下沿曲线 由点 运动到 ,求力场 对质点所做的功 ，其中 .y【续解】取圆弧 A有 Lo xB 例86.3 已知 求 .【解】 等价于 所以, , 例86.4 验证 为保守力场，并计算 沿以 为 起点、 为终点的路径所做的功.【解】（方法一）令 ， 由于所以，

4、 为保守力场. 沿 所做的功为 , , 例86.4 验证 为保守场，并计算 沿以 为起点、 为终点的路径所作的功.【解】（方法二） , , , , ,例86.5 求下列微分方程的通解：(1) ,(2)【解】(1)设 ，因为 所以，方程为全微分方程. （方法一） 因此，原方程的通解为 例86.5 求下列微分方程的通解：(1) ,(2)【续解】（方法二）将方程适当分组，使得每一组恰好是某个函数的全微分， 得到如下形式 即 d 所以，原方程的通解为 例86.5 求下列微分方程的通解：(2)【续解】(2)此方程不是全微分方程.分项组合得, 即 选择积分因子 同乘方程两边得 即有因此方程通解为:即因 也是方程的解，所以 为任意常数.再 见